第九章质点动力学基本方程

1、第九章第九章 质点动力学的基本方程质点动力学的基本方程引言引言静力学研究物体在力系作用下的平衡规静力学研究物体在力系作用下的平衡规律及力系的简化；律及力系的简化；运动学从几何的观点研究物体的运动，运动学从几何的观点研究物体的运动，而不涉及物体所受的力；而不涉及物体所受的力；回顾回顾 如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，如果说，力的作用是改变物体机械运动的原因，动力学是什么动力学是什么? ? 动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 在静力学、运动学两篇中曾讨论过：在静力学、运动学两篇中曾讨论过： 当作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处当

2、作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处于平衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研于平衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是静力学的两个基本任务；究是静力学的两个基本任务；不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。 从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意从这种意义上说，动力学是理论力学中最具普遍意义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。义的部分，静力学、运动学则是动力学的特殊情况。机械运动变化是力对物体作用的结果，机械运动变化是力对物体作用的结果，那

3、么，动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。那么，动力学就是从因果关系上论述物体的机械运动。 低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。低速、宏观物体的机械运动的普遍规律。 动力学的研究对象：动力学的研究对象： 动力学的基础：动力学的基础：简称简称牛顿定律牛顿定律或或动力学基本定律动力学基本定律。牛顿定律的适用范围：牛顿定律的适用范围：（1 1）不适于微观物体；）不适于微观物体；（2 2）物体的运动速度不能太大。）物体的运动速度不能太大。牛顿的运动三定律牛顿的运动三定律牛牛 顿顿牛顿牛顿(S.I.Newton 1662 1727 )是是伟大的英国科学伟大的英国科学家。家。牛顿定律是他在牛顿定律是他

4、在开普勒、伽利略开普勒、伽利略等人所做工作的等人所做工作的基础上，于基础上，于1687年在其名著年在其名著自自然哲学的数学原然哲学的数学原理理中提出的。中提出的。 动力学的主要任务（解决的基本问题）：动力学的主要任务（解决的基本问题）： 第一类：已知物体的运动规律，求作用在此第一类：已知物体的运动规律，求作用在此 物体上的力；物体上的力；第二类：已知作用在物体上的力第二类：已知作用在物体上的力, ,求此物体求此物体产生什么样的运动。产生什么样的运动。 解决动力学两类基本问题的途径解决动力学两类基本问题的途径：直接应用牛顿定律建立质点的运动微分直接应用牛顿定律建立质点的运动微分方程。方程。从牛顿

5、定律出发，通过数学演绎，推导从牛顿定律出发，通过数学演绎，推导动力学的普遍定理。包括动量定理、动动力学的普遍定理。包括动量定理、动量矩定理和动能定理。综合应用动力学量矩定理和动能定理。综合应用动力学普遍定理。普遍定理。应用达朗伯定理。应用达朗伯定理。应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。应用动力学普遍方程和拉格朗日方程。牛顿力学牛顿力学分析力学分析力学动力学动力学*分为分为质点动力学质点动力学和和质点系动力学质点系动力学*质点：具有一定质量而几何形状和大小可以质点：具有一定质量而几何形状和大小可以忽略不计的物体。忽略不计的物体。*质点系：由几个或无限个相互有联系的质点质点系：由几个或无限个相互有联

6、系的质点所组成的系统。所组成的系统。*质点系可分为不变质点系（如单个刚体）质点系可分为不变质点系（如单个刚体）和可变质点系（如刚体系统）和可变质点系（如刚体系统）*本课程重点放在本课程重点放在质点系动力学质点系动力学。9-1 动力学的基本定律动力学的基本定律第一定律（惯性定律）第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。本定律揭示了一切物体均有保持静止或作本定律揭示了一切物体均有保持静止或作 匀速直线运动的性质，即惯性。匀速直线运动的性质，即惯性。说明：说明：匀速直线运动称为惯性运动。匀速直线运动称为惯性运动。 明确了力是改变

7、（而不是维持！）物体运明确了力是改变（而不是维持！）物体运动动 的原因。的原因。第二定律（力与加速度之间的关系的定律）第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质质点的质量与加速度的乘积，等于作用于质点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。点的力的大小，加速度的方向与力的方向相同。ma = F此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间此式建立了质点的加速度、质量与作用力之间 的定量关系。的定量关系。质量是质点惯性的度量。质量是质点惯性的度量。说明：说明：即即（91）在地球表面，物体受重力作用，有在地球表面，物体受重力作用，有P = mg式中，式中，g 重力加速

8、度，一般取重力加速度，一般取 g = 9.80 m/s2。（92）第三定律（作用与反作用定律）第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间的作用力与反作用力总是大小两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。作用在这两个物体上。说明：说明：（1 1）牛顿三定律适用的坐标系称为）牛顿三定律适用的坐标系称为惯性坐标系惯性坐标系。 工程问题中，工程问题中，取固于地面或相对于地面取固于地面或相对于地面作匀速直线运动的坐标系为惯性坐标系作匀速直线运动的坐标系为惯性坐标系. .（2 2）以牛顿三定律为基础的力学称为）以

9、牛顿三定律为基础的力学称为古典力学古典力学。根据牛顿第二定律，若质点根据牛顿第二定律，若质点M 的 质 量 为的 质 量 为 m ， 受， 受 n 个 力个 力 F1 , F2 ,., Fn 作用，作用，9-2 质点的运动微分方程质点的运动微分方程根据质点的加速度的表示形式，根据质点的加速度的表示形式，则则xozyrFR Mijk若若F1Fn矢量形式的质点运动微分方程。（93）FiaFRFRFRa a a或或则有则有矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点运动微分方程。矢量形式的质点矢量形式的质点运动微分方程。运动微分方程。 M M M1.质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影在直角坐标系在直

10、角坐标系Oxyz中，有中，有则：则：直角坐标形式的质点运动微分方程。xozyrijkFi MaF1Fn将式将式向坐标轴投影，得向坐标轴投影，得（94）直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的质点运动微分方程。直角坐标形式的直角坐标形式的质点运动微分方程。质点运动微分方程。2.质点运动微分方程在自然轴上的投影自然轴系的质点运动微分方程。则则在质点在质点M的运动轨迹上建立自然轴系的运动轨迹上建立自然轴系M bn， 根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹根据点的运动学知，质点的加速度在运动轨迹的密切面内，即的密切面内，即bnaF所以作用在该质点上力系的合力也应该在此密切面内，所以作用在该质点

11、上力系的合力也应该在此密切面内，()()m（95）式中，式中， Fti，Fni和和Fbi分别是作用于质点的各力在切线、主法线分别是作用于质点的各力在切线、主法线和副法线上的投影。和副法线上的投影。自然轴系的质点运动微分方程。自然轴系的质点运动微分方程。自然轴系的质点自然轴系的质点运动微分方程。运动微分方程。bnaFmbnaFmbnaFm3 、 质点动力学的两类基本问题质点动力学的两类基本问题一、质点动力学的第一类基本问题一、质点动力学的第一类基本问题已知质点的运动，求此质点所受的力已知质点的运动，求此质点所受的力。 如果知道质点的运动规律，通过导数如果知道质点的运动规律，通过导数运算，求出该质

12、点的速度和加速度，代入运算，求出该质点的速度和加速度，代入质点的运动微分方程，得一代数方程组，质点的运动微分方程，得一代数方程组，即可求解。即可求解。二、二、质点动力学的第二类基本问题质点动力学的第二类基本问题已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。已知作用在质点上的力，求解此质点的运动。 求解质点动力学的第二类基本问题，如求求解质点动力学的第二类基本问题，如求质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程质点的速度、运动方程等，归结为解微分方程或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因或求积分问题，还需确定相应的积分常数。因此，需按作用力的函数规律进行积分，并根据此，需按作用力的函数规律进行积分，并

13、根据具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问具体问题的运动条件确定积分常数。在实际问题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出题中，只有在一些比较特殊的情况下，能解出微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只微分方程，获得解析解；更多情况下，往往只能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似能通过逐步逼近或数值计算的方法，获得近似解或数值解。解或数值解。yxoryx解：解： 求质点的轨迹方程：求质点的轨迹方程：即质点的轨迹是椭圆。即质点的轨迹是椭圆。XY例例9-1 质点质点M的质量为的质量为m，运动方程是，运动方程是x = bcost, y = dsint，其中其中b, d, 为常量。求作用在此质点上

14、的力。为常量。求作用在此质点上的力。 从运动方程中消去从运动方程中消去 t，得，得ij求质点的加速度求质点的加速度求质点所受的力求质点所受的力由由得得rXYrXYrXYMMMM所以，质点所受的力可表示为所以，质点所受的力可表示为力的方向永远指向椭圆中心，为力的方向永远指向椭圆中心，为有心力有心力；力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比力的大小与此质点至椭圆中心的距离成正比。易知：易知：yxorMyxijXY已求得已求得XYXYXYF F F F例例9-2 已知桁车吊的重物重为已知桁车吊的重物重为G，以匀速度，以匀速度v0前进，绳长前进，绳长为为 l 。求突然刹车时，绳子所受的最大拉力。求突然刹

15、车时，绳子所受的最大拉力。 vv0解：研究重物，解：研究重物， 突然刹车后，重物突然刹车后，重物做圆弧摆动。做圆弧摆动。当其摆至当其摆至角处，角处，受力如图。受力如图。TG由自然轴系的质点运动微分方程，有由自然轴系的质点运动微分方程，有(a)(b)可知，拉力可知，拉力 T 与重物的速度与重物的速度 v 、摆角、摆角有关，有关，v0v0v0 TGTGTG n n n nv v v对对(a)式进行分离变量并积分：式进行分离变量并积分：得：得：(c)v0TGnv和和已推得已推得(b)将将(c)式代入式代入(b)式，得式，得当当 = 0 时，时，l本例的实际指导意义本例的实际指导意义：v0桁车行进的速

16、度不宜过快；桁车行进的速度不宜过快；绳子不宜太短；绳子不宜太短；实际数据例如：实际数据例如：则可求得则可求得式中式中G前的系数即前的系数即动荷系数动荷系数。 已求得：突然刹车时，绳已求得：突然刹车时，绳子所受的最大拉力为子所受的最大拉力为由此可知：由此可知：l例例9-3 曲柄滑块机构中，曲柄曲柄滑块机构中，曲柄OA= r =1m，连杆，连杆AB=2r，滑块质量为，滑块质量为 m =50Kg，OA、AB杆质量不计。杆质量不计。图示瞬时图示瞬时OA杆的角速度杆的角速度= 2 rad/s，角加速度，角加速度 = 2 rad/s2 ，求该瞬时，求该瞬时AB杆及滑道对滑块的作用力。杆及滑道对滑块的作用力

17、。 本题属于动力学第一类基本问题，即已知运动求本题属于动力学第一类基本问题，即已知运动求力。但在求滑块的受力前还应先进行运动分析，求出力。但在求滑块的受力前还应先进行运动分析，求出滑块的加速度。滑块的加速度。ABO分析分析ABOvAvBvAvBvAvBvAvB解：解：运动分析：运动分析： OA作定轴转动；作定轴转动；AB作瞬时平动作瞬时平动, AB =0；滑块滑块B作直线平动作直线平动。根据求平面图形内各点加速度的基点法，有根据求平面图形内各点加速度的基点法，有BaB在图示瞬时，在图示瞬时， 已知已知 = 2 rad/s， = 2 rad/s2 ， OA= r =1m，AB=2r；求求:滑块滑

18、块 B 所受的力。所受的力。 式中：式中：aBaBaBaBaBaBaB 投影至投影至轴上，得轴上，得aBB=30将式将式代入数据，计算得滑块代入数据，计算得滑块B B的加速度为的加速度为动力分析：滑块动力分析：滑块B受力如图，受力如图， 根据质点动力学基本定律，有根据质点动力学基本定律，有AOmgBFABFNmgFABFNmgFABFNmgFABFN得得负号说明负号说明AB杆受杆受10.4N的压力；的压力；滑道对滑块的作用力为滑道对滑块的作用力为495.2N。aB例例9-4 质量为质量为m的小球，在静止的水中缓慢下沉，的小球，在静止的水中缓慢下沉， 如如图所示。设液体阻力图所示。设液体阻力F=

19、v, 其中其中为阻尼系数，忽略为阻尼系数，忽略液体对小球的浮力。试分析该物体的运动规律及其特液体对小球的浮力。试分析该物体的运动规律及其特征。征。解：解：取物体取物体M M为研究对象为研究对象；物体在运动中受力有：物体在运动中受力有：建立坐标系如图。建立坐标系如图。由由重力重力mg、阻力阻力F；OyxmgmgmgmgF有有令令v v v vv0= 0上式的不定积分为上式的不定积分为可得可得所以所以v0= 0v0= 0已知已知m，v0 = 0 ，F= v , 求运动规律求运动规律已求得物体自液体表面自由下落已求得物体自液体表面自由下落后速度随时间的变化规律为后速度随时间的变化规律为: :vcto

20、作出物体自液体表面自由下落后作出物体自液体表面自由下落后速度随时间的变化曲线：速度随时间的变化曲线：对速度表达式再积分一次，即可得质点的运动微分方程：对速度表达式再积分一次，即可得质点的运动微分方程： 从曲线可以看出，当时间从曲线可以看出，当时间时，时，即，即v mg/ ，称为称为极限速度极限速度。事实上，在静止的阻尼介质中，不论初事实上，在静止的阻尼介质中，不论初速度如何，落体都将趋于以极限速度而速度如何，落体都将趋于以极限速度而下落。此时重力等于阻力。下落。此时重力等于阻力。讨讨 论论 根据根据当当 mgv 时，时，物体加速下落。物体加速下落。当当 mg =v 时，时，物体匀速下落物体匀速

21、下落.vlim 称为极限速度。称为极限速度。此时此时应用：应用：分离混合物分离混合物跳伞问题分析跳伞问题分析 若跳伞员的体重若跳伞员的体重 mg=750N，空气阻力，空气阻力 R=v2，阻力系数，阻力系数在未撑降落伞时在未撑降落伞时1=0.3，撑开降落伞时，撑开降落伞时2=24，则则跳下不张伞，跳下不张伞，mg 1v2 ，加速下落；，加速下落；mg =1v012 ，相当于物体自由下落相当于物体自由下落时达到的速度。时达到的速度。张伞后，张伞后， mg 1v2，减速下落减速下落；mg =2v022 ，相当于不到相当于不到2m处自由落体落地时的速度。处自由落体落地时的速度。 若质量为若质量为 m

22、的小球以水平速度的小球以水平速度 v0 射入静水中，射入静水中， 阻力阻力F =v，则小球在重力和阻力的作用的运动，则小球在重力和阻力的作用的运动规律将如何？规律将如何？vv0MM0vv0MM0vv0MM0mgxoyFvv0MM0解：解：F=vvx i vy j，研究小球，研究小球，在任意位置处小球受力如图，在任意位置处小球受力如图，则阻力则阻力建立坐标系，建立坐标系，mgFmgFmgF对以上两式分离变量，再积分，可得对以上两式分离变量，再积分，可得根据动力学基本方程，有根据动力学基本方程，有已知已知m，v0 ，F= v , 求运动规律求运动规律.再积分一次，即可得质点的运动微分方程再积分一次

23、，即可得质点的运动微分方程：积分可得积分可得xmaxxoy作出小球的运动轨迹：作出小球的运动轨迹：可见，当可见，当时， x xmax= mv0/，即小球的运动轨迹即小球的运动轨迹趋于一铅垂线。趋于一铅垂线。n例例9-5 粉碎机滚筒半径为粉碎机滚筒半径为R，绕通过中心的水平轴匀，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在为了使铁球获得粉碎矿石的能量，铁球应在=0时才掉下来。求滚筒每分钟的转数时才掉下来。求滚筒每分钟的转数 n。n n nv v v v质点在未离开筒壁前的速度等于质点在未离开筒壁前的速度等于筒壁的速度，即筒壁的速度，即nFSmgFN解：解：研究对象：研究对象：运动分析：运动分析：铁球（视为质点），铁球（视为质点），受力分析：受力分析：质点在上升过程中受