线性代数课件：005-第二章-向量组的线性相关-(1-1-1-2)

1、2.1 2.1 线性相关与线性无关线性相关与线性无关2.2 2.2 极大线性无关组极大线性无关组2.4 2.4 内积与标准正交基内积与标准正交基2.3 2.3 向量空间向量空间第二章第二章 向量组的线性相关向量组的线性相关1. n维向量组维向量组2. 向量组的线性相关向量组的线性相关3. 向量的线性表示向量的线性表示2.1 向量组的线性相关与线性无关向量组的线性相关与线性无关问题：问题：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL LL1. 齐次线性方程组是否有多余的方程？齐次线性方程组是否有多余的方程？所谓有多余的

2、方程，指去掉它，方程组的解不会增加。（线性相关）所谓有多余的方程，指去掉它，方程组的解不会增加。（线性相关）2. 齐次线性方程组是否没有多余的方程？齐次线性方程组是否没有多余的方程？所谓没有多余的方程，指去掉其中任何一个方程，方程组解会增加。（线性无关）所谓没有多余的方程，指去掉其中任何一个方程，方程组解会增加。（线性无关）3. 如何确定：与原方程组同解且没有多余的方程的方程组。如何确定：与原方程组同解且没有多余的方程的方程组。例：例：123412343412344320(1)2340(2)0(3)0(4)xxxxxxxxxxxxxxLLLL1. 齐次线性方程组中方程齐次线性方程组中方程(4)

3、是多余的方程，去掉解不会增加。是多余的方程，去掉解不会增加。2. 齐次线性方程组中方程齐次线性方程组中方程(1),(2)组成方程组是没有多余方程的。组成方程组是没有多余方程的。3. 齐次线性方程组中方程齐次线性方程组中方程(1),(2),(3)组成方程组即没有多余方程的，也没有组成方程组即没有多余方程的，也没有 减少方程组的解（即与原方程组同解）。减少方程组的解（即与原方程组同解）。将方程组抽象成矩阵或向量组：将方程组抽象成矩阵或向量组：432112340011111143211234,00110111 41013201,23111411TTTT 1.n1.n维向量组维向量组12 ,ninaa

4、annniai个 有 次 序 的 数所 组 成 的 数 组 称 为维 向 量 ， 这个 数 称 为 该 向 量 的个 分 量 ， 第 个数称 为 向 量 的 第 个 分 量 。L12,nna aan维行向量记为：（），即 维行矩阵；L12,Tnna aan维列向量记为：（），即为 维列矩阵。L向量有线性运算向量有线性运算彼此之间的8条运算性质：）（）（）（，）（，（）（）（），（）（），（）（）（）（，（）（87615040321 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组向量组例如例如()m nAnmija矩阵有 个

5、 维列向量:11121121222212jnjnmmmjmnAaaaaaaaaaaaaLLLLMMMMMMLLa1向量、向量组与矩阵向量、向量组与矩阵a2ajana1a2ajan12,nAa aa,()m nAmnija类似地 矩阵又有 个 维行向量11121212221212nniiinmmmnAaaaaaaaaaaaa LLMMLMLMMLML T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm12,TTTmA向量组为矩阵 行向量组成的向量组。由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵12,mnmmn 个 维列向量所组成的向量组构成一个矩阵：L12,T

6、TTmmnm n个 维行向量所组成的向量组构成一个矩阵：L12 TTTmBM12 (,)mA L向量总是习惯以列的形式给出。向量组与矩阵的区别与联系：向量组与矩阵的区别与联系：1. 矩阵的列向量打散，成为向量组（集合）矩阵的列向量打散，成为向量组（集合）2.向量组的向量，依次排成一行成为矩阵。向量组的向量，依次排成一行成为矩阵。2.2.向量组的线性相关性向量组的线性相关性向量组的线性相关性定义向量组的线性相关性定义12121122 :, 0mmmmAk kkkkk 定义 给定向量组如果存在不全为零的数使得它们的线性组合为零：LLL则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关。则称向量组是线性相关的

7、，否则称它线性无关。 注注1 1：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量是线性相关的，：所有的向量组分成两大类，一类是组内的向量是线性相关的，一类是组内的向量是线性无关的；所谓讨论向量组的一类是组内的向量是线性无关的；所谓讨论向量组的线性相关性线性相关性指的是指的是要判断该向量组属于哪一类。要判断该向量组属于哪一类。 注注2 2：向量组线性相关，则一定有一个向量是其它向量的一个线性组：向量组线性相关，则一定有一个向量是其它向量的一个线性组合，反之亦然。合，反之亦然。注注3 3：所有含零向量的向量组一定是线性相关的。：所有含零向量的向量组一定是线性相关的。例例101110000A ，0111由

8、于由于1 0 1 , 0 1 0 , 111 B （ ， ） （ ， ，） （ ， ， ）所以是线性相关的。所以是线性相关的。0111由于由于所以是线性相关的。所以是线性相关的。线性无关的等价定义11220nn 如果，必有L12,n如果向量组：线性无关,L10nL12,n则向量组：线性无关。L11220nn 且，必有L1 0n 。L例例100010001A ，1231000100001kkk令，1230kkk得，A所 以 向 量 组是 线 性 无 关 的 。123(1,0,0)(1,1,0)(1,1,1)0,kkk令(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)B 12323300 ,0kkk

9、kkk1230kkk得，B向 量 组是 线 性 无 关 的 。1230kkk即，向量组的线性相关性与齐次线性方程组的解的关系：线性齐次方程组：线性齐次方程组：矩阵形式：矩阵形式：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL LL.Ax0 线性组合形式：线性组合形式：11220nnx x x L12,n 向量组，线性相关当且仅当：线性齐次方程组有结论1。.非零解L12,. ,2n 向量组，线性无关当且仅当：线性齐次方程组只结论有零解。L例例 讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性对应的线性齐次方程组对应矩阵形式：

10、123(1,1,1) ,(2,1,0) ,(3,2,1)TTTaaa1231231120.101xAxxx1122330 x x x 解 设有 使123,xxx1231231232302000 xxxxxxxxx线性齐次方程组有非零解：1231,1,1,xxx 即有线性组合1230，所以向量组线性相关。例例 讨论向量组的线性相关性讨论向量组的线性相关性123(1,1,1) ,(2,1,0) ,(3,2,1)TTTaaa123111210321aaa解法二 作增广矩阵并化为行阶梯形得线性组合12301213121111012200032raaaaaaa，所以向量组线性相关。12131111012

11、20123raaaaa向量组中向量的增减对相关性的影响向量组中向量的增减对相关性的影响1 1、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。、线性相关的向量组：增加向量后的向量组仍然线性相关。2 2、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。、线性无关的向量组：去掉向量后的向量组仍然线性无关。11220nnk k k L1122100nnnk k k L直观理解：向量越多越容易线性相关，向量越少越容易线性无关。向量组中向量的分量（维数）增减对相关性的影响向量组中向量的分量（维数）增减对相关性的影响1 1、线性相关的向量组：减少分量后的向量组仍然线性相关。、线性相关的向量组：减少分量

12、后的向量组仍然线性相关。2 2、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。、线性无关的向量组：增加分量后的向量组仍然线性无关。3 3、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。（对分量进行、向量组向量同时交换两分量，向量组线性相关性不变。（对分量进行初等行变换也是一样）初等行变换也是一样）线性齐次方程组：11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxLLL LL线性组合形式：11220nnx x x L3. 3. 向量的线性表示向量的线性表示12:,mAb 给定向量组和向量如果存在一组数L1122mmb L12

13、,m， ，Lb使得向量 是它们的一个线性组合，即bA称向量 可有向量组 线性表示。例例1011110,30000Ab ，1 0 1 , 0 1 0 , 111,(1, 2,1)Bb（ ， ） （ ， ，） （ ， ， ）120b120b011b1122 nna xa xa xbL线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示11112211211222221122,.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL LL方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应。向量组的线性相关性与非齐次线性方程组的解的联系向量组的线性相关性与非齐次线性方程组的解的联系线性非齐次方

14、程组线性非齐次方程组矩阵形式：矩阵形式：.bAx 线性组合形式线性组合形式1122nnx x x bL12,nb向 量可 以 由 向 量 组，线 性 表 示的 充 分 必 要 条 件 是 对 应 的 非 齐 次 线 性 方 程结.。论 3组 有 解L11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xbLLL L L L L L L L L L L LL向量组的线性相关性与线性表示之间的关系向量组的线性相关性与线性表示之间的关系例例113202A ，2 定理向量组线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可以由其它的向

15、量线性表示。2 定理向量组线性无关的充分必要条件是向量组中任何一个向量都不可以由其它的向量线性表示。3. bb 定理线性无关的向量组增加向量 后，向量组线性相关，则向量可以由向量组的其它成员线性表示，且表示法唯一。由一个向量组成的向量组的线性相关性：由一个向量组成的向量组的线性相关性： A向量组线性相关00 A向量组线性无关由两个向量组成的向量组的线性相关性：由两个向量组成的向量组的线性相关性：A向量组，线性相关, 的分量对应成比例。例例321-1-7214A ，(31,2),(21,7,2)B ，关于抽象向量组的线性相关性问题：关于抽象向量组的线性相关性问题：1231223123,+3,1.

16、已知线性无关，证明2线性无关。121212,+ ,bbb 2.已知线性无关，线性相关，证明 可以由线性表示。 解12+ , bb由线性相关， （用线性相关建立等式关系式）121122(+ )()0k kkbkb存在不全为零常数 ,使得，112212()0kkkk b即：，12,bb （ 可以由线性表示， 的组合系数不会为零）120kk假如，11220kk则，12, 由线性无关条件，120kk ，矛盾，112212()kkbkk 所以，。证明123,kkk假如有常数使得线性组合：1122233123+3)()()0,kkk(21311232233)+(3)()0,kkkkkkk (2(合并同类项

17、)123,由线性无关，1230,kkk解出1312323)(3)()0,kkkkkkk 组合系数全为零(21223123+3,所以，2线性无关。关于含参数向量组的线性相关性问题：关于含参数向量组的线性相关性问题：123=(2,1,0) ,(3,2,5) ,(10,6, )TTTtt1.已知线性相关，求 。 解123210325106TTTtr1213121000.551.5015TTTTTtr121312121000.551.5001052(1.5)TTTTTTTt10t 所以时，312152(1.5)0TTTT 。关于含参数向量组的线性相关性问题：关于含参数向量组的线性相关性问题：123(1

18、,2, )=(2,1,1) ,( 1,2,7) ,(1, 1, 4)TTTTtt 2.已知可由线性表示，求 。 解31211421112712TTTTtbr3132331140392013034TTTTTTTtbr313232332311400023()0130053()TTTTTTTTTTTtb5t 所以时，323=3()TTTTb。小结小结两个概念：两个概念：四个定理：四个定理：1 1、向量组增减向量对线性相关性影响定理、向量组增减向量对线性相关性影响定理2 2、向量组增减向量分量对线性相关性影响定理、向量组增减向量分量对线性相关性影响定理3 3、线性相关向量组中必有向量可以被其它向量表示定理、线性相关向量组中必有向量可以被其它向量表示定理4 4、线性无关向量组加一个向量变成线性相关，则新加向量可以被、线性无关向量组加一个向量变成线性相关，则新加向量可以被其它向量唯一表示定理。其它向量唯一表示定理。向量组的线性相关线性无关；向量组的线性相关线性无关；向量的线性表示向量的线性表示1. 1. 设设 ( 2 1 0 ), (3 2 5 ), (1 0 6 ,1 0 )A ，向量组，向量组 ( 2 1 0 ), (3 2 5 ), (1 0 6 ,1 0 ), (1,1, 2 )B ，线性相关性如何？线性相关性如何？2. 2