重修高数导数的应用学习教案

1、会计学1第一页，共27页。 如果在某极限过程下如果在某极限过程下, ,函数函数(hnsh) f ( (hnsh) f ( x)x)与与g(x) g(x) 同时同时趋于零或同时趋于无穷大，则可能存在趋于零或同时趋于无穷大，则可能存在也可能不存在也可能不存在, ,通常把这类极限称为不定式，通常把这类极限称为不定式，并分别简记为常用洛必达法则来求解并分别简记为常用洛必达法则来求解. .或或，( )lim( )f xg x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第1页/共27页第二页，共27页。0000( )lim( )lim( )0 xxxxf xg x

2、0( )( )xg x 在在的的某某一一去去心心邻邻域域内内可可导导，且且，0( )(3)lim( )xxfxg x 存存在在或或为为00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 则则定理、定理、如果函数如果函数 满足：满足：( )( )f xg x和和机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第2页/共27页第三页，共27页。011()limxxx 求求为为例例1 1、任任意意实实数数100111001()()limlimxxxxx 型型解：解：机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 202l

3、imxxxeex练练求求习习1 1、200000222001limlimlimxxxxxxxxxeexeeeex型型型型解：解：第3页/共27页第四页，共27页。221arctanlimxxx 例例求求、22222121111010111arctanlimlimlimlimxxxxxxxxxxx解解：型型 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3023tanlimsinxxxx练练、求求习习3300222200331199009tantanlimlimsinsectanlimlimxxxxxxxxxxxxxx解解：型型第4页/共27页第五页，共27页。

4、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 00( )lim( )lim( )xxxxf xg x 0( )( )xg x 在在的的某某一一去去心心邻邻域域内内可可导导，且且，0( )(3)lim( )xxfxg x 存存在在或或为为00( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 则则定理、定理、如果函数如果函数 满足：满足：( )( )f xg x和和第5页/共27页第六页，共27页。22222313333333300 tansincossinlimlimlimtansincossincossinlimlim,.cossinx

5、xxxxxxxxxxxxxxxx, ,型型又又，所所以以原原式式型型机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 233tanlimtanxxx例例 、求求解解3lnlimnxxx求求练练习习 、1110lnlimlimlimnnnxxxxxxnxnx解解：型型第6页/共27页第七页，共27页。注：如果反复使用注：如果反复使用(shyng)(shyng)洛必达法则也无法确定洛必达法则也无法确定则洛必达法则失效，需用则洛必达法则失效，需用(x yn)(x yn)别的方法求极限别的方法求极限. .)()(xgxf或能断定或能断定)()(xgxf 的极限，的极限，无极

6、限，无极限，机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 200001112sinsincoslimlimsincosxxxxxxxxx极极限限不不存存在在，洛洛必必达达法法则则失失效效，此此题题可可用用别别的的办办法法求求例例如如型型解解如如下下：220001110sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxx第7页/共27页第八页，共27页。机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 011512341sinlimsinsinlimsinlnlimln()limxxxxxxxxxxxxxxxex求求

7、求求求求求求、第8页/共27页第九页，共27页。00001 型型，型型，型型，型型，型型机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 00 它它们们都都可可以以通通过过适适当当变变形形转转化化为为或或型型求求解解. .不定式除不定式除00 型外，还有型外，还有和和第9页/共27页第十页，共27页。型或者型或者(huzh) (huzh) 型型型：型： 0 110000( 型型) )0 变为变为xxxlnlim30 30lnlimxxx 4013limxxx 3lim30 xx xxxlnlim30 例例4 4、求求解：解：机动机动 目录目录(ml) (ml

8、) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第10页/共27页第十一页，共27页。 型型:通分相减变为通分相减变为 型型00例例5 5、求求)ln11(lim1xxxx （ 型）型）解：解： )ln11(lim1xxxx 1ln1lim(1)lnxxxxxx (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 21 (0)0型型机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第11页/共27页第十二页，共27页。 1000 型不定型不定式式: :通常通常(tngchng)(tngchng)用取对数的方法或利用用取对

9、数的方法或利用 ( )( )ln( )( )g xg xf xf xe 00 化为化为 型不定式，再化为型不定式，再化为 型或型或 型求型求解解(qi ji)(qi ji)。 0例例6 6、 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim 0limlnxxx 又又xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解: :所以所以(suy)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第12页/共27页第十三页，共27页。例例7 7、求求xxxsin0)(cotlim ,)(cotsinxxy lnsi

10、nlncotyxx 则则 yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解：解：设设xxxcotlnsinlim0 0 型型所以所以(suy) xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 () 型型第13页/共27页第十四页，共27页。例例8 8、求求xexxln11)(lnlim 1 型型,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy 11110(0ln(ln)lnlimlnli

11、mliml)nxexexexx xyxx 型型1)ln1(lim xex所以所以(suy(suy) ) 1ln11)(lnlim exxex解法解法(ji f)(ji f)一：一：机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解法二：解法二：11111111lnlnlim(ln )lim (ln)xxxexexxe 第14页/共27页第十五页，共27页。1 1、定理、定理(dngl)1(dngl)1：设函数：设函数 f (x) f (x) 在闭区间在闭区间 a,b a,b 上连续，上连续， 在开区间在开区间 (a,b) (a,b) 内可导，则内可导，则 若在若在

12、(a,b)(a,b)内内 则则 f (x) f (x)在区间在区间a,ba,b内单调增加内单调增加(zngji)(zngji)（或单调减少）或单调减少） ( )0( )0fxfx或或abab机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第15页/共27页第十六页，共27页。2、单调、单调(dndio)区间求法区间求法(2)(2)求求 不存在的点，不存在的点， 以这些点为分界点，将定义域分成若干区间，以这些点为分界点，将定义域分成若干区间，0( ),( )( )fxfxfx 找找出出和和(1)确定函数的定义域（有时是给定(i dn)的区间）( )fx (3)(3)在各区间上判断在各

13、区间上判断 的符号，确定单调性的符号，确定单调性机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 第16页/共27页第十七页，共27页。例例1 1、确定函数确定函数 的单调区间的单调区间. .xxxf3)(3 解：解： 233311( )()()fxxxx 机动机动 目录目录(ml) (ml) 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 , 函函数数的的定定义义域域为为12011( )fxxx 令令得得，用用这这两两点点将将定定义义域域分分成成三三个个区区间间，讨讨论论如如下下：11111100(,)(, )( ,)( )( )xfxf x 1111( )(,)

14、( ,)(, )f x 故故在在和和上上单单调调增增加加，在在上上单单调调减减少少. .第17页/共27页第十八页，共27页。解：解：函数的定义域为函数的定义域为(,), 练习练习1 1、确定函数确定函数的单调区间。的单调区间。32yx 332xy 当当 时时 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的点的点, ,0 xy 0 y用用 将定义域分成两个区间，讨论如下：将定义域分成两个区间，讨论如下：0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 000(, )( ,)( )( )xfxf x 不不存存在在00( )(, )( ,)f x故故在在上上单单

15、调调减减少少，在在上上单单调调增增加加. .第18页/共27页第十九页，共27页。000000001( )()( )(),( )( )( )(),( )( )f xxx xxf xf xf xxxf xf xf xf xxxf x 设设在在点点的的某某邻邻域域内内有有定定义义，若若对对该该邻邻域域内内的的任任一一点点(1)(1)恒恒有有则则称称在在点点取取得得极极大大值值, ,点点称称为为的的一一个个极极大大值值点点；(2)(2)恒恒有有则则称称在在点点取取得得、定定极极小小值值, ,点点称称为为的的一一义义：个个极极小小值值点点. .函数函数(hnsh)(hnsh)的极大值极小值统称为极值，

16、的极大值极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。极大值点和极小值点统称为极值点。机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 第19页/共27页第二十页，共27页。注注2 2：极大值点与极小值点一般：极大值点与极小值点一般(ybn)(ybn)不唯一。不唯一。 如下图中如下图中A A、C C、E E都是极大值点，都是极大值点， B B、 D D都是极小值点。都是极小值点。ab1x3x5x2x4xABCDE机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 注注1：极值：极值(j zh)是局部性的，并非在整个区间上

17、最大最小是局部性的，并非在整个区间上最大最小注注3：极大值未必大于极大值未必大于极小值，如左图极小值，如左图A、D第20页/共27页第二十一页，共27页。2 2、定理、定理(dngl)1(dngl)1（极值第一判（极值第一判别法）：别法）：机动机动(jdng) (jdng) 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设函数设函数 在点在点 的某邻域内可导，且的某邻域内可导，且)(xf0 x00(),fx 000100( )( );( );( )xxfxxxfxf xx 若若在在该该邻邻域域内内, ,当当时时，当当时时，则则在在点点取取得得极极大大值值. .000200( )( );(

18、);( )xxfxxxfxf xx 若若在在该该邻邻域域内内, ,当当时时，当当时时，则则在在点点取取得得极极小小值值. .03( )( )( )fxf xx 若若在在该该邻邻域域内内, ,恒恒为为正正或或恒恒为为负负, ,则则在在点点没没有有极极值值. .第21页/共27页第二十二页，共27页。3 3、求极值、求极值(j zh)(j zh)的的步骤：步骤：(1)(1)求函数的定义域求函数的定义域( (有时是给定有时是给定(i dn)(i dn)的区的区间间););(3)(3)以这些点为分界点，将定义域分成若干以这些点为分界点，将定义域分成若干(rugn)(rugn)区间，区间， 讨论各个区间

19、分界点两侧导数的符号以判别讨论各个区间分界点两侧导数的符号以判别机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 (2)(2)求求 不存在的点，不存在的点，0( ),( )( )fxfxfx 找找出出和和第22页/共27页第二十三页，共27页。例例1 1、求函数求函数 的单调区间和极值的单调区间和极值. .32)1()1()( xxxf解：解：函数的定义域为函数的定义域为),(223)1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf)15()1)(1(2 xxx12310115( ),fxxxx 令令得得驻驻点点：，用这三个点将定义域分成四个部分用这三个点将定义域分成四个部分(b fen

20、)区间，讨论如下区间，讨论如下极大值极大值,3125345651 f极小极小值值0)1( f机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回(fnhu) (fnhu) 结束结束 1 511 51(, / ) ( ,)( /),故故单单调调增增加加区区间间为为，单单调调减减少少区区间间为为，1111 51 51 5 111000(,)(, / )/( / , )( ,)( )( )xfxf x 第23页/共27页第二十四页，共27页。)(xf0 x233311( )()(),fxxxx xxf6)( 12011( )fxxx 令令得得驻驻点点，由于由于(yuy)160(),f 06)1( f定理定理2(2(极值第二判别极值第二判别(pnbi)(pnbi)法法) )设函数设函数 在点在点 具有具有二阶导数，且二阶导数，且 ， 0)(0 xf000()()fxfx 存存在在, ,例例2 2、求函数求函数 的极值的极值. . xxxf3)(3 解：解：函数的定义域为函数的定义域为(,), 所以所以 为极大值为极大值, , 为极小值为极小值. .2) 1( f2)1( f机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返