圆锥曲线与性质学习教案

1、会计学1圆锥曲线圆锥曲线(yun zhu q xin)与性质与性质第一页，共48页。第1页/共48页第二页，共48页。第2页/共48页第三页，共48页。第3页/共48页第四页，共48页。热点考向1 圆锥曲线的方程与性质【例1】(1)(2011陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=-2，则抛物线的方程是( )(A)y2=-8x (B)y2=8x (C)y2=-4x (D)y2=4x(2)(2011福建高考)设圆锥曲线C的两个焦点分别(fnbi)为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1| |F1F2| |PF2|=4 3 2,则曲线C的离心率等于( ) 132123AB2C2D2232

2、32或或或或 第4页/共48页第五页，共48页。【解题指导】(1)由准线确定抛物线的位置和开口方向是解题的关键；(2)由于已知圆锥曲线的两个焦点，所以该圆锥曲线为椭圆或双曲线.再由离心率的定义即可求解【规范(gufn)解答】(1)选B.由准线方程x=-2得 且抛物线的开口向右(或焦点在x轴的正半轴)，所以y2=2px=8x(2)选A.当曲线为椭圆时，当曲线为双曲线时，p2,2 1 212FF31ePFPF422；1 212FF33e.PFPF422第5页/共48页第六页，共48页。1.圆锥曲线的定义(dngy)重视定义(dngy)在解题中的应用，灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等

3、的转化；椭圆和双曲线的定义(dngy)中的定值是求标准方程的基础,在已知圆锥曲线上一点及焦点,首先要考虑使用圆锥曲线的定义(dngy)求解.第6页/共48页第七页，共48页。2.求圆锥曲线方程(fngchng)常用的方法常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程(fngchng)法.而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成 (mn0),这样可以避免对参数的讨论.3.圆锥曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系,然后把b用a、c代换,求 的值；在双曲线中由于 故双曲线的渐近线与离心率密切相关.22xy1mn22be1( ) ,a ca第7页/共4

4、8页第八页，共48页。1.若椭圆 (ab0)的左、右焦点分别(fnbi)为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5 3的两段，则此椭圆的离心率为( )2222xy1ab 16212 5ABC 22D17175 第8页/共48页第九页，共48页。【解析(ji x)】选D.依题可知 而抛物线y2=2bx的焦点 且a2=5b2,又b2=a2-c2,a2=5(a2-c2),4a2=5c2,222212Fab ,0 ,Fab ,0 ,bF( ,0)22222bab52,b3ab222222 ab4b,ab2b,即242 5e,e.55第9页/共48页第十页，共48页。2.已知双曲线 (a

5、0)的左焦点在抛物线y2=16x的准线上，则a=_.【解析】依题设知：双曲线 (a0)的左焦点为抛物线y2=16x的准线方程(fngchng)为x=-4,答案： 222xy1a222xy1a2a1,0 ,2a14,a15. 15第10页/共48页第十一页，共48页。热点考向2 圆锥曲线中的存在性问题(wnt)【例2】(2011揭阳模拟)已知：向量 O为坐标原点，动点M满足： (1)求动点M的轨迹C的方程；(2)已知直线l1、l2都过点B(0，1)，且l1l2，l1、l2与轨迹C分别交于点D、E，试探究是否存在这样的直线，使得BDE是等腰直角三角形.若存在，请指出这样的直线共有几组(无需求出直线

6、的方程)；若不存在，请说明理由.OA3,0 ，uuu rOMOAOMOA4.uuu ruuu ruuu ruuu r第11页/共48页第十二页，共48页。【解题指导】(1)注意 的几何意义.(2)可先假设(jish)存在，设其斜率为k、 由等腰直角三角形满足的条件求出其值，或其值不存在，从而得出结论.【规范解答】(1)方法一：设 则动点M的轨迹为以A、A为焦点，长轴长为4的椭圆.由动点M 的轨迹C的方程为OMOAOMOA4uuu ruuu ruuu ruuu r1k，A (3,0) OMOAOMOAA MAM42 3 uuu ruuuruuu ruuu ruuuu ruuu rOMOAOMOA

7、uuu ruuu ruuu ruuu rc3 2a4a2，22bac122xy1.4第12页/共48页第十三页，共48页。方法二：设点M(x,y)，则 点 M 的轨迹(guj)C是以 为焦点，长轴长为4的椭圆动点M的轨迹(guj)C的方程为OMOAx3,y ,uuu ruuu rOMOA(x3,y)uuu ruuu rOMOAOMOA4uuu ruuu ruuu ruuu r，2222(x3)y(x3)y4 2 3(3,0)22a2,c3,bac122x y1.4第13页/共48页第十四页，共48页。(2)由(1)知，轨迹(guj)C是椭圆点B(0,1)是它的上顶点，设满足条件的直线l1、l2

8、存在，直线l1的方程为y=kx+1(k0) 则直线l2的方程为 将代入椭圆方程并整理得：(1+4k2)x2+8kx=0，可得22xy14 ，1yx1k 第14页/共48页第十五页，共48页。 将代入椭圆方程(fngchng)并整理得：(4+k2)x2-8kx=0，可得则由BDE是等腰直角三角形得：|BD|=|BE|2DD228k8kxy1.14k14k，则E28kx4k，E28y1.4k 2222222228k8k8k8()()()14k14k4k4k）2422222222264k64k64k64(14k )(14k )(4k )(4k )222222222222k (1k )1kk1(14k

9、 )(4k )(14k )(4k )第15页/共48页第十六页，共48页。k3+4k=1+4k2k3-1=4k2-4k(k-1)(k2+k+1)=4k(k-1) k=1或k2-3k+1=0 方程的根的判别式=50，即方程有两个不相等的实根，且不为1.方程有三个互不相等的实根.即满足条件的直线(zhxin)l1、l2存在，共有3组22k114k4k第16页/共48页第十七页，共48页。1.解决存在性问题应注意(zh y)以下几点存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成

10、立，再推出条件.(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.第17页/共48页第十八页，共48页。2.解决存在性问题的解题步骤(bzhu)第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在.第三步：得出结论.第18页/共48页第十九页，共48页。已知椭圆C： (ab0)的离心率为 其左、右焦点分别为F1、F2，点P是椭圆上一点(y din)，且 |OP|=1 (O为坐标原点).(1)求椭圆C的方程；(2)过点 且斜率为k的动直线l 交椭圆于A、B两点，在y轴上是

11、否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.2222xy1ab22，12PF PF0uur uuu rg，1S(0,)3第19页/共48页第二十页，共48页。【解析】(1)因为PF1PF2又|OP|=1c=1 b=1.因此(ync)所求椭圆的方程为：2c2e,a2c.2a2，所以即12PF PF0uur uuu rg，1 21OPFFc2 ；a2，22xy1.2第20页/共48页第二十一页，共48页。(2)动直线l的方程为：由设A(x1,y1),B(x2,y2).则假设在y轴上存在(cnzi)定点M(0，m)，满足题设，则1ykx3，22221ykx4

12、163,2k1 xkx0.39xy12得1212224k16xx,x x9(2k1)3 2k1 1122MAx ,ym ,MBx ,ym .uuu ruuu r第21页/共48页第二十二页，共48页。由假设得对于(duy)任意的kR， 恒成立，21212121212MA MBx xym (ym)x xy ym yymuuu r uuu rg21212121111x x(kx)(kx)m(kxkx)m3333221212121(k1)x xk(m) xxmm339222216(k1)14k21k(m)mm9(2k1)33(2k1)39 222218 m1 k9m6m 159(2k1)MA MB0

13、uuu r uuu rg第22页/共48页第二十三页，共48页。即 解得：m=1.因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径(zhjng)的圆恒过这个点，点M的坐标为(0，1).22m10,9m6m 150 第23页/共48页第二十四页，共48页。热点考向3 曲线中的证明问题【例3】(16分)(2011江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足(chu z)为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.22xy142第24页/共48页第二十五页，共48页。(1)当直线PA平分线段

14、MN时，求k的值；(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意k0，求证：PAPB.【解题指导】 (1)注意(zh y)PA过线段MN的中点及原点，从而可求得斜率;(2)先求P点坐标，再求AB的方程(AC的方程)，用点到直线的距离公式即可求解；(3)可证两直线的斜率之积为-1.第25页/共48页第二十六页，共48页。【规范解答】(1)依题意(t y)得M(-2，0)，N(0， ),MN的中点坐标为 4分(2)由 6分 直线AC的方程为 8分所以点P到直线AB的距离 10分22( 1),k22，所以22y2x2 424P( , )A(,)xy3 333142得，2C( ,0),32y

15、x3，242|2 2333d.322第26页/共48页第二十七页，共48页。(3)由题意设P(x0,y0)，B(x1,y1)，则A(-x0,-y0)，C(x0,0)， A、C、B三点共线(n xin)， 12分又因为点P、B在椭圆上， 两式相减得： 14分 PAPB.16分010110010yyyy,xx2xxx22220011xyxy1,1,424201PB01xxk2 yy ，1001001PAPB0011001yyxxyxxkk1x2 yyxxyy ，第27页/共48页第二十八页，共48页。 【变式备选】(3)中条件不变，问PAB的面积是否为定值？若是，求出其定值；若不是，说明理由(ly

16、u).【解析】由(2)知，当k=2时，点P到AB的距离为 此时 PAB的面积为当k=1时， 点P到AB的距离为此时 PAB的面积为由此可得PAB的面积不是定值.2 4P()3 3， ，2 23，20 2AB9，4027；2 3 2 3P()33，4 1515，2 15AB3，4.3第28页/共48页第二十九页，共48页。1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题(wnt)的步骤第一步：设方程及点的坐标.第二步：联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得出方程.(注意二次项系数是否为零)第三步：应用根与系数的关系及判别式.第四步：结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.第29页/共48页第三十页

17、，共48页。 当二次项系数(xsh)为零时，抛物线、双曲线都有特殊情况，一定要注意.第30页/共48页第三十一页，共48页。2.有关弦的中点问题的求解(qi ji)策略(1)通法即根与系数关系：将直线方程代入圆锥曲线的方程消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式建立等式求解(qi ji).第31页/共48页第三十二页，共48页。(2)点差法点差法是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率.点差法的步骤：第一步：将两交点A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标代入曲线的方程.第二步：作差消去常数项得到关于(guny)x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的关系式.第三步：应

18、用斜率公式及中点坐标公式求解. 一定要注意验证所求得的直线与圆锥曲线是否相交.第32页/共48页第三十三页，共48页。椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 并与直线y=x+2相切.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，过圆D：x2+y2=4上任意一点(y din)P作椭圆C的两条切线m,n 求证：mn63，第33页/共48页第三十四页，共48页。【解析(ji x)】(1)由 知a2=3b2椭圆方程可设为直线y=x+2与椭圆相切，代入方程后得4x2+12x+12-3b2=0满足=0 .由此得b2=1.故椭圆C的方程为6e32222xy1.3bb22xy1.3第34页/共48页第三十五页，共48

19、页。(2)设P(x0,y0).当 时，有一条切线斜率不存在(cnzi)，此时，刚好y0=1，可见，另一条切线平行于x轴，mn；设 则两条切线斜率存在(cnzi).设直线m的斜率为k，则其方程为y-y0=k(x-x0)即y=kx+y0-kx0，代入并整理得：(1+3k2)x2+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)2-3=0.由=0可得：(3-x02)k2+2x0y0k+1-y02=0注意直线n的斜率也适合这个关系，所以m,n的斜率k1,k2就是上述方程的两根，0 x3 0 x3 ，22xy13第35页/共48页第三十六页，共48页。由根与系数的关系(gun x)得，由于点P在圆D：x2+y

20、2=4上，3-x02=-(1-y02)，所以k1k2=-1.这就证明了mn.综上所述，过圆D上任意一点P作椭圆C的两条切线m,n，总有mn.2012201yk k.3x第36页/共48页第三十七页，共48页。第37页/共48页第三十八页，共48页。分类讨论思想解析几何中含参数问题 解析几何中含参数问题类型： (1)求直线的方程时，对直线斜率的讨论； (2)求直线与圆锥曲线交点个数问题时，对参数的讨论； (3)求线段长度、图形面积的最值时，对解析式中含有的参数进行讨论； (4)二元二次方程表示(biosh)曲线类型的判定等.第38页/共48页第三十九页，共48页。 求解时注意(zh y)的问题：

21、 (1)含参数的问题在求解时要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论，在分类时要本着最简原则，做到分类合理、不重不漏. (2)对参数的分类讨论，最后仍然分类写出答案；如果是对所求的字母进行分类求解，最后一般要整理得出并集.第39页/共48页第四十页，共48页。【典例】(14分)(2011广东高考)在平面直角坐标系xOy中，直线l：x=-2交x轴于点A设P是l上一点(y din)，M是线段OP的垂直平分线上一点(y din)，且满足MPO=AOP(1)当点P在l上运动时，求点M的轨迹E的方程；(2)已知T(1,-1)，设H是E上的动点，求|HO|+|HT|的最小值，并给出此时点H的坐标；(3)过点T(1,-1)且不平行于y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线l1的斜率k的取值范围 第40页/共48页第四十一页，共48页。【解题(ji t)指导】(1)依题设应对动点M所处的位置进行讨论；(2)由(1)得到的轨迹分别求解，注意各曲线的性质；(3)可根据直线的斜率，讨论直线与曲线E有且只有两个交点的情况.【规范解答】(1)连接OM，则|PM|=|OM|MPO=AOP，动点M满足MPl或M在x的负半轴上，设M(x,y)2分第41页/共48页第四十二页，共48页。当MPl时，|MP|=|x+