D5-1数学模型(泛定方程)的建立

1、2022-6-241Isaac Newton Isaac Newton （英，（英，1643-1727)1643-1727)Albert EinsteinAlbert Einstein（美，（美，1879-1955)1879-1955)2022-6-2422022-6-243 物理现象物理现象 物理量物理量u 在空间和时间中的变在空间和时间中的变化规律，即物理量化规律，即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值在各个地点和各个时刻所取的值之间的联系。之间的联系。数学语言描述 数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，数学物理方程：从物理问题中导出的函数方程，特别是偏微分方程和积分方程。特别是偏微分

2、方程和积分方程。：二阶线性偏微分方程。：二阶线性偏微分方程。 例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，例：牛顿第二定律反映的是力学现象的普遍规律，跟具体条件无关。跟具体条件无关。2022-6-244三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程双曲型方程波动方程为代表波动方程为代表抛物型方程抛物型方程扩散方程为代表扩散方程为代表椭圆型方程椭圆型方程泊松方程为代表泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程退化为拉普拉斯方程2( , )ttxxua uf x t2( , , , ) uauF x y z tt2( , , ) auF x y z0F0 u2022-6-2455 1 边界问题-边界

3、条件体现边界状态的数学方程称为边界条件体现边界状态的数学方程称为边界条件2 历史问题-初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件体现历史状态的数学方程称为初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件例：一个物体做竖直上抛，一个物体斜抛。不同的初始条件 不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。不同的运动状态，但都服从牛顿第二定律。三、定解问题三、定解问题 在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在给定的区域里解出某个物理量给定的区域里解出某个物理量u，即求即求u(x,y,z,t)。：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题

4、的边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的 特殊性，即个性。特殊性，即个性。：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。 它反映了问题的共性。它反映了问题的共性。二、定解条件二、定解条件2022-6-2466具体问题求解的一般过程：具体问题求解的一般过程：1 1、根据系统的内在规律列出泛定方程、根据系统的内在规律列出泛定方程客观规律客观规律2 2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和 初始条件初始条件求解所必须的已知条件求解所必须的已知条件3 3、求解方法、求解方法 行波法、行波法、分离变量法分离变

5、量法、积分变换法、格林、积分变换法、格林函数法和变分法函数法和变分法2022-6-247建模步骤：建模步骤：（1 1）明确要研究的物理量是什么？）明确要研究的物理量是什么？ 从所研究的系统中从所研究的系统中，分析邻近部，分析邻近部分与它的相互作用。分与它的相互作用。（2 2）研究物理量遵循哪些物理规律？）研究物理量遵循哪些物理规律？（3 3）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。）按物理定律写出数理方程（泛定方程）。2022-6-248 （如图）（如图） ：沿：沿x轴绷紧的均匀柔软的细轴绷紧的均匀柔软的细弦，在平衡位置弦，在平衡位置( (x轴轴) )附近产生振幅极小的横向振动附近产生振幅极小的横

6、向振动 建立与细弦上各点的振动规律相应的方程建立与细弦上各点的振动规律相应的方程 (1)弦弦不振动时不振动时静止于静止于x轴轴;(2)用用表示表示t时刻时刻弦上弦上x在在垂直于垂直于x轴轴方向上方向上的横向位移（的横向位移（偏离偏离）情况）情况 弦的横振动弦的横振动2022-6-249 选取不包括端点的一微元选取不包括端点的一微元x, x+dx弧弧B段段作为研究对象作为研究对象.研究对象研究对象: (4) (4)设单位长度上弦受力设单位长度上弦受力F( (x,t) )，线力密度为：，线力密度为：假设与近似：假设与近似： (1) (1)弦是柔软的弦是柔软的 ( (不抵抗弯曲不抵抗弯曲),),张力

7、沿弦的切线方向张力沿弦的切线方向 (2) (2)振幅极小振幅极小, , 张力与水平方向的夹角张力与水平方向的夹角 1 1和和 2 2 很小，很小，仅考虑仅考虑 1 1和和 2 2的一阶小量，略去二阶小量的一阶小量，略去二阶小量 (3) (3)弦的重量与张力相比很小，可以忽略弦的重量与张力相比很小，可以忽略( , )( , )/f x tF x t 质量线密度质量线密度 ，u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxFB2022-6-2410B段段弦的原长近似为弦的原长近似为dx.振动拉伸后：振动拉伸后：222d(d )(d )d1(d /d )dsxuxuxx u(x)u+duu0 1 2T

8、2T1xx+dxBFB段段的质量的质量：弦长弦长dx ，质量线密度质量线密度 ，则，则B段段质量质量 m= dx物理规律：物理规律：用牛顿运动定律分析用牛顿运动定律分析B段段弦的受力及运动状态弦的受力及运动状态：22ddttufmmut牛顿运动定律：牛顿运动定律：2022-6-2411沿沿x- -方向方向：弦横向振动不出现弦横向振动不出现x方向平移，方向平移，得得力平衡方程力平衡方程2211coscos0TT沿垂直于沿垂直于x- -轴方向轴方向：由牛顿运动定律得由牛顿运动定律得运动方程运动方程2211sinsin( , )d( d )ttTTF x txx u 1 21 20, cos1.，1

9、1sintanxxxuux 22dsintanxxxu 在微小振动近似下：在微小振动近似下：由由（1）式，弦中各点的张力相等式，弦中各点的张力相等u(x)u+duu0 1 2T2T1xx+dxBF21TT （1 1）（2 2） 2211dsinsinxxxxxTTT uu 2022-6-2412d( , )( , )dxxxxxxxttuuTF x tTuF x tux 2/aT 波动方程：波动方程：波速波速a( , )( , )/f x tF x t d( , )d( d )xxxxxttT uuF x txx u （） 受迫振动方程受迫振动方程2( , )ttxxua uf x t单位质量

10、弦所受单位质量弦所受外力，线力密度外力，线力密度令令一维波动方程一维波动方程2022-6-241322222uuafgtx一维波动方程一维波动方程-非齐次方程非齐次方程222220uuatx-齐次方程齐次方程忽略重力和外力作用：忽略重力和外力作用：如考虑弦的重量：如考虑弦的重量：u(x)u+ uu0 1 2T2T1xx+ xBFdg x 沿沿x- -方向，不出现平移方向，不出现平移2211coscosTT 沿垂直于沿垂直于x- -轴方向轴方向2211sinsin( , )dd( d )ttTTF x txg xx u （1 1）（2 2） d02211ddsinsindddxxxxxxxuTT

11、T uuT uTx 讨论：讨论：dd( , )dd( d )dttuTF x txg xx ux 2022-6-2414电磁波传播方程电磁波传播方程 (1) 通过任一闭合曲面的电场强度电场强度等于这一闭合曲面所包围的电荷量电荷量的代数和的01VSdVSdE,10.10 E（M1）（2）通过任何一闭合曲面S的磁通量磁通量为零., 0SdBS. 0 B(M2)(3) 电场强度电场强度沿任一闭合曲线l的积分等于以该曲线为边界的任意曲面S的 磁通量磁通量对时间变化率的负值,SdtBl dESl.tBE（M3）2022-6-2415（4）磁感应强度沿任一闭合曲线l的积分等于穿过以此曲线为边界 的曲面S的

12、全电流,，SdtEJl dBSl)(00).(00tEJB(M4)(M1)-(M4)真空中麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式.2022-6-2416电磁波传播方程电磁波传播方程 010000BEtEJBtBE0000BEtEBtBE CBACABCBAEEEEE2200tEBtEEtE2200EatE222001cBctB2222022-6-2417 扩散现象扩散现象：不均匀时，将出现物质从高浓度处不均匀时，将出现物质从高浓度处向低浓度处转移的现象，称之为向低浓度处转移的现象，称之为扩散扩散。扩散定律即裴克定律：扩散定律即裴克定律：这是一条实验定律这是一条实验定律 数学建模：数学建模：建立空间

13、各点建立空间各点的方程的方程 物理规律：物理规律：以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础以扩散定律和粒子数守恒定律为研究基础粒子数守恒粒子数守恒定律：定律：单位时间内流入某一体积的单位时间内流入某一体积的粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积粒子数与流出这一体积的粒子数之差等于此体积内的单位时间内粒子数的增加量内的单位时间内粒子数的增加量处理方法：处理方法：在在浓度不均匀的无源空间，划浓度不均匀的无源空间，划出出为研究对象，分析浓度变化规律为研究对象，分析浓度变化规律。 2022-6-2418浓度不均匀浓度不均匀: ；u扩散流强弱（强度）扩散流强弱（强度）：用单位时间通用单位时间通过单位面积

14、的物质的量过单位面积的物质的量 表示；表示；q扩散（裴克）实验定律：扩散（裴克）实验定律： qDuuuuDijkxyzxyz),(zyx(,)xdx ydy zdzdxdydzxqdxxq扩散系数扩散系数设定：设定：处理方法：处理方法：在在浓度不均匀的无源空间，划浓度不均匀的无源空间，划出出为研究对象，为研究对象，分析浓度变化规律分析浓度变化规律。 扩散流强度与浓度梯度间关系：扩散流强度与浓度梯度间关系：采用裴克实验定采用裴克实验定律确定律确定体元体元内粒子数：内粒子数：zyxtxyxuddd,2022-6-2419xyz),(zyx(,)xdx ydy zdzdxdydzxqdxxq单位时间

15、沿单位时间沿x- -方向净流入量方向净流入量()x dxxqqqdydzdxdydzx 同理沿同理沿y 和沿和沿z方向净流入量方向净流入量由粒子数守恒定律，有由粒子数守恒定律，有单位时间内向单位时间内向V的净流入量的净流入量d d d ,qx y zyd d dqx y zzd d dd d dd d dqqqx y zx y zx y zxyz单位时间内单位时间内V内粒子数的增加量内粒子数的增加量d d dd d dd dd d ddqqqx y zx y zx y zxuxtyyzzd d dux y zt2022-6-2420如果如果扩散是均匀的扩散是均匀的, ,即即D是一常数，则可以令

16、是一常数，则可以令D= =a2 2，则有则有23( , , , )tuauF x y z t222222322220 xuuuuaauuatztyuut0()()()uuuuDDDtxxyyzz代入扩散定律代入扩散定律 如果所如果所研究的空间存在扩散源，源强度与研究的空间存在扩散源，源强度与u(x,y,z,t)无关，无关，且为且为F(x,y,z),这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为 如果所如果所研究的空间存在源，源强度与研究的空间存在源，源强度与u(x,y,z,t)成正比，成正比，即即F(x,y,z)= =b2u( (x,y,z) )这时扩散方程修改为这时扩散方程修改为223( , , ,

17、)tuaub u x y z txqDuuqDx qqqudxdydzdxdydzdxdydzdxdydzxyzt2022-6-242123 auF密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。密度场：密度在空间的分布构成一个标量场。23uauFt有扩散源时系统的密度场满足有扩散源时系统的密度场满足非齐次扩散方程非齐次扩散方程稳定状态：密度稳定状态：密度u 不随时间变化，则不随时间变化，则泊松方程泊松方程无扩散源：无扩散源： F=030u拉普拉斯方程拉普拉斯方程2022-6-2422介质方程介质方程: :0DE xyz ijk其中其中: :10)(2) ED高斯定理高斯定理: :环路定理环路定理: :物理规律物理规律：由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、由电磁学可知，静电场满足静电学高斯定理、环路定理和介质方程。环路定理和介质方程。数学建模数学建模：建立电势：建立电势u(x,y,z)与电荷密度与电荷密度(x,y,z)的关系。的关系。由电场的高斯定理由电场的高斯定理/DE 物理问题物理问题：在介电常数为在介电常数为的介质的介质空