工程弹塑性力学-第九章

1、弹塑性力学弹塑性力学重庆大学重庆大学 土木工程学院土木工程学院第九章第九章 塑性极限分析塑性极限分析9.1 梁的弹塑性分析梁的弹塑性分析9.2 梁和刚架的极限分析梁和刚架的极限分析9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理梁和刚架极限荷载的上下限定理9.4 圆板轴对称的极限分析圆板轴对称的极限分析9.5 薄板极限分析的近似方法薄板极限分析的近似方法9.6 有间断场的虚功率原理有间断场的虚功率原理9.7 塑性极限分析的上下限定理塑性极限分析的上下限定理9.8 塑性极限定理的应用塑性极限定理的应用9.0 绪论荷载增加到某一数值不再继续增加，而结构的荷载增加到某一数值不再继续增加，而结构的变形仍会继续产生

2、的状态。变形仍会继续产生的状态。极限状态的重要性质：极限状态的重要性质：1、应变率的弹性部分恒为零，即塑性流动时的应变率是纯塑性应变率。应变率的弹性部分恒为零，即塑性流动时的应变率是纯塑性应变率。2、极限状态的唯一性，即极限状态与加载历史无关，也与初始状态无关。极限状态的唯一性，即极限状态与加载历史无关，也与初始状态无关。(1)、当加载方式确定时，极限荷载是唯一确定的。当加载方式确定时，极限荷载是唯一确定的。(2)、当极限荷载给定时，级限状态是唯一的。当极限荷载给定时，级限状态是唯一的。极限状态：极限状态：极限荷载：极限荷载：极限状态相应的荷载极限状态相应的荷载(极限承载能力极限承载能力)9.

3、1 梁的弹塑性分析两个基本假定两个基本假定:1 1、平截面假定平截面假定：梁的横截面变形之后仍然保持平面：梁的横截面变形之后仍然保持平面2、只有截面上的正应力是主要的，其它应力分量都只有截面上的正应力是主要的，其它应力分量都 可忽略，问题就转化为可忽略，问题就转化为简单应力状态简单应力状态问题。问题。9.1 梁的弹塑性分析一一、矩形截面梁的理想弹塑性纯弯曲矩形截面梁的理想弹塑性纯弯曲/2/2( )0hhNby dy(9.1)lOYXMMbhYZ图图 9.1 纯弯曲梁纯弯曲梁/2/2/20( )2( )hhhMby dyby dy(9.2)截面上的应力关系：截面上的应力关系：离中性轴距离为离中性

4、轴距离为y y的一点的应变：的一点的应变：Ky(9.3)曲率曲率小变形情况：小变形情况：22dKdx (9.3)挠度挠度/2202hMbEKy dyEJK9.1 梁的弹塑性分析1 1、截面先处于弹性阶段、截面先处于弹性阶段( (图图a)a)EEKy(9.5)截面惯性矩截面惯性矩2h2hsss2h2heMMeMMseMMMsMM(a)(b)(c)(d)图图 9.2(9.6)代入（代入（9.2）代回（代回（9.5）/My J(9.7)9.1 梁的弹塑性分析2 2、上下最外层的应力最先达到屈服、上下最外层的应力最先达到屈服: :图图(b)(b)2h2hsss2h2heMMeMMseMMMsMM(a)

5、(b)(c)(d)图图 9.2代回（代回（9.5）2/ 26sesJbhMh(9.8)弹性极限弯矩弹性极限弯矩: :曲率曲率: :2/ ()esKEheeMEJK(9.9)(9.10)ss2h2hseMMMsMM(c)(d)9.1 梁的弹塑性分析3 3、MMMMe e，塑性区向截面内扩展，塑性区向截面内扩展: :图图(c)(c)(01)2shy(9.11)弹塑性交界弹塑性交界: :ssyy在处有2sshEKyEK21seeKKEhKK即即: :(9.12)K将 表示成 的函数22222202222()( )2 ( )() 622213(3)122hhshsssesbhhhMby dyydybh

6、Mbh(9.13)ss2h2hseMMMsMM(c)(d)9.1 梁的弹塑性分析3 3、MMMMe e，塑性区向截面内扩展，塑性区向截面内扩展: :图图(c)(c)(9.14)eKK将代入:2( )13() 2eeKMMK4 4、0，截面全部进入塑性状态，截面全部进入塑性状态: :图图(d)(d)211.5,4ssseMMbhM常见的截面形状系数常见的截面形状系数: :截面形状系数截面形状系数1.15 1.171.271.51.72.09.1 梁的弹塑性分析引入无量纲的量引入无量纲的量: :(9.14),eeMKmkMK211(3)2mk2,(11(3), ()2mkmk弹性阶段)弹塑性阶段(

7、9.16)1.01.5AB1.551.48m eMmMeKkKO图图 9.4,1.51.5,1.5ssmkkkmmk简化简化当截面全部进入塑性状态当截面全部进入塑性状态(m1.5)后，后，曲率可以任意增长。这时可将截面曲率可以任意增长。这时可将截面看作一个铰，称为看作一个铰，称为塑性铰塑性铰。塑性铰的待征：塑性铰的待征：(1)、铰上作用弯矩，弯矩值保持为极限弯矩。(2)、铰的转角可以任意增大，但必须同弯矩的方向一致。9.1 梁的弹塑性分析二二、卸载情形卸载情形-残余曲率和参与应力残余曲率和参与应力0(9.14)1*132/eeKKMM式(9.17)0*132/eeeKMKMMM(9.18)(M

8、 K完全服从弹性规律完全服从弹性规律)残余曲率：残余曲率：卸载前一时刻的曲率与卸载前一时刻的曲率与M*的关系的关系:卸载过程中的卸载过程中的M-K弹性规律弹性规律:0*2eeKMKM(9.15)9.1 梁的弹塑性分析*0*/ 220/ 2/ 2ssMhyhyJyM yyhhJ(9.19)残余应力：残余应力：ss*seMM*seMM图图 9.5 梁内的残余应力梁内的残余应力*/eKK9.1 梁的弹塑性分析三三、横向弯曲的弹塑性分析横向弯曲的弹塑性分析26eseMbhPLL(9.20)A A点点B B点将首先进入塑性：点将首先进入塑性：ABPLxxxMeMsM( )xPPP Pe e后，在后，在x

9、=x= 处梁分为两段考虑，交界线为：处梁分为两段考虑，交界线为：()( )3232()eeMP lxxxMPl (0)3232eePlPPlP x=x=0 0处的弹性域：处的弹性域：9.1 梁的弹塑性分析三三、横向弯曲的弹塑性分析横向弯曲的弹塑性分析32sePPP时 (0)=0:()seeP lMPl进入塑性区域的梁段占整梁的进入塑性区域的梁段占整梁的1/3固定端的弹性区域完全消失固定端的弹性区域完全消失,Ps,Ps即梁的即梁的极限荷载极限荷载。13esPlllP 求挠度：求挠度：ePP时个截面的曲率:eeKMLxKML 22(1)edxKKdxL (0)(0)0dxdx考虑边界条件得 =L处

10、的挠度:2/3eex LK L9.1 梁的弹塑性分析三三、横向弯曲的弹塑性分析横向弯曲的弹塑性分析3/ 2sePP时,以P/P代入式(9.20)3( )()xxxL 2222027ex LK L曲率方程：曲率方程：2230/3eLdxxKdxL(弹塑性区):223(1)32eLdxxLKdxL(弹性区):31/214()3 3eKLx232211 ()3()()427exxxK LLLL209se悬臂梁达到塑悬臂梁达到塑性极限荷载时，性极限荷载时，挠度还是弹性挠度还是弹性量级的。量级的。9.2 梁和刚架的极限分析一一、梁的极限分析梁的极限分析0ssKMMKsignMMMM-KM-K曲线假设曲线

11、假设( (图图9.8)9.8)llP(b)(a)(c)sPABCAMBM图图 9.7 一次超静定梁一次超静定梁sMsMMKO图图 9.8 理想刚塑性模型理想刚塑性模型开始梁内弯矩按弹性超静定梁计算：开始梁内弯矩按弹性超静定梁计算：5(2)(), 016( )5(2),216PlxlxxlM xPlxlxl最大弯矩截面最大弯矩截面A A处：处：3(0)8MPl (0)sMM 83seMPPl9.2 梁和刚架的极限分析一一、梁的极限分析梁的极限分析llP(b)(a)(c)sPABCAMBM图图 9.7 一次超静定梁一次超静定梁(2)(),0( )(2),2ccRlxP lxxlM xRlxlxl最

12、大正弯矩截面最大正弯矩截面B B处：处：( )22sMPlM l 3/ssPMlePP时,A点弯矩不能再增长,形成塑性铰22scMPRl点点A A、B B都变成都变成塑性铰塑性铰, ,PsPs是是塑性极限荷载塑性极限荷载对于一个对于一个n次的超静定梁，当梁内出现次的超静定梁，当梁内出现n十十1个塑性铰时，个塑性铰时，就可成为一个几何可变机构，对应的荷载即是极限荷载。就可成为一个几何可变机构，对应的荷载即是极限荷载。9.2 梁和刚架的极限分析一一、梁的极限分析梁的极限分析llP(b)(a)(c)sPABCAMBM图图 9.7 一次超静定梁一次超静定梁1.1.机动法机动法33/ssMMl假设可能破

13、损的机构，令外载在这个机构运动过假设可能破损的机构，令外载在这个机构运动过程中所做的功与塑性铰在同一过程中所做的内力程中所做的功与塑性铰在同一过程中所做的内力功相等，可以求得要形成这个机构所需的外载。功相等，可以求得要形成这个机构所需的外载。内力功内力功: :P外力功外力功: :内力功内力功= =外力功外力功: :3/3/sssPMlPPMl1.1.静力法静力法在弯矩可能是最大的一些截面处，使弯矩达到屈服条件在弯矩可能是最大的一些截面处，使弯矩达到屈服条件M= = Ms，使结构成为一个机构，然后利用平衡方程求得整个结构的弯距分布。使结构成为一个机构，然后利用平衡方程求得整个结构的弯距分布。;A

14、sBsMMMM:20scAMPlRl点力矩平衡方程:0scBCMR l段对B点力矩平衡scMRl3sMPl9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析124353P2Pll2l图图 9.9 平面框架平面框架右图是一个平面框架。设各截面的右图是一个平面框架。设各截面的塑性极限弯矩塑性极限弯矩Ms相同，受水平力相同，受水平力3P及竖直力及竖直力2P的作用。求结构能承受的作用。求结构能承受的最大荷载的最大荷载P值。值。9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析(2,3,4)(1,2,4)(1,3,4)(1,2,3)(a)(b)(c)(d)图图 9.10 各种可能的破

15、坏机构各种可能的破坏机构机动法机动法9.2 梁和刚架的极限分析(2,3,4)(1,2,4)(1,3,4)(1,2,3)(a)(b)(c)(d)对机构对机构(a):(a):24,2/ssPlMPMl对机构对机构(b):(b):323,/ 2ssPlMPMl对机构对机构(c):(c):3225,5/8ssPlPlMPMl对机构对机构(d):(d):3225,5/ 4ssPlPlMPMl取最小的取最小的P P为为PsPs/ 2sPMl9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析124353P2Pll2l静力法静力法先取先取2，3及及4成铰作为机构，按虚功原理得：成铰作为机构，按虚功原

16、理得：23422MMMPl234,2/ssssMMMMMMPMl 取点点5处水平力：处水平力：111/ 2/ 44ssHMlPHP考虑柱考虑柱45的平衡：的平衡：再考虑柱再考虑柱12的平衡：的平衡：112sMM 违反屈服条件违反屈服条件减小减小P P至原值的至原值的1/121/121sMM 结构很安全，不成为机构结构很安全，不成为机构/6sPMl9.2 梁和刚架的极限分析二二、刚架的极限分析刚架的极限分析124353P2Pll2l取取1，2及及4成铰作为机构：成铰作为机构：1246/ 2sMMMPlPMl124,sssMMMMMM 5/ 2sHMlP考虑柱考虑柱45的平衡：的平衡：1532 ,

17、3 ,0.5sHP VP MM没有超过屈服条件没有超过屈服条件按虚功原理：按虚功原理：/ 2sPMl是结构的极限荷载9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理寻求结构所能承受外力寻求结构所能承受外力P的最大乘子的最大乘子S机动场机动场(运动可能场运动可能场)：是一组满足运动约束条件的位移场是一组满足运动约束条件的位移场*和和截面转角截面转角 i*，并且外力并且外力P在在*上做正功。上做正功。( )*( )0P xx dx机动乘子：机动乘子：*/( )*( )iiSMP xx dx*isiMM sign静力场静力场(静力许可场静力许可场)：它是一组满足平衡方程和不违背屈服条件的弯炬它是一组满足平衡方程

18、和不违背屈服条件的弯炬分布分布Mi0，与它平衡的外力为，与它平衡的外力为S0P，S0称为静力乘子。称为静力乘子。真实极限状态的外力真实极限状态的外力SP9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理上限定理上限定理:真实的安全乘子真实的安全乘子S是最小的机动乘子。是最小的机动乘子。下限定理下限定理:真实的安全乘子真实的安全乘子S是最大的静力乘子。是最大的静力乘子。0*SSS(9.21)如果找到一个乘子既满足机动场，也满足静力场，则上述定理保证如果找到一个乘子既满足机动场，也满足静力场，则上述定理保证它是真实的安全乘子，它是真实的安全乘子，SPSP是极限荷载。否则可以分别求得它的上限是极限荷载。否则可以分别求得它的上限和下限，并改进这些上下限，以得到极限荷载的一个可靠估计。和下限，并改进这些上下限，以得到极限荷载的一个可靠估计。9.3 梁和刚架极限荷载的上下限定理上限定理证明上限定理证明:*iiS PdxM(9.22)*iiSPdxM(9.23)*( *)*()iiiSSPdxMM*SS以机动场为虚位移，将真实应力和外力场作用在机动场以机动场为虚位移，将真