高等数学-概率83 区间估计1

1、 第八章第三节 区间估计 （一） 引言引言 前面，我们讨论了参数点估计前面，我们讨论了参数点估计. 它是它是用样本算得的一个值去估计未知参数用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅是未知参数的一个但是，点估计值仅仅是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似值的误近似值，它没有反映出这个近似值的误差范围，使用起来把握不大差范围，使用起来把握不大. 区间估计区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷正好弥补了点估计的这个缺陷 . 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们根据一个实际样本，得到鱼数们根据一个实际样本，得到鱼数N的极大的极大似然估计为似然估计为10

2、00条条. 若我们能给出一个区间，在此区间内若我们能给出一个区间，在此区间内我们合理地相信我们合理地相信 N 的真值位于其中的真值位于其中. 这这样对鱼数的估计就有把握多了样对鱼数的估计就有把握多了.实际上，实际上，N的真值可能大于的真值可能大于1000条，条， 也可能小于也可能小于1000条条.也就是说，我们希望确定一个区间，使我也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能以比较高的们能以比较高的可靠程度可靠程度相信它包含真参相信它包含真参数值数值.湖中鱼数的真值湖中鱼数的真值 这里所说的这里所说的“可靠程度可靠程度”是用概率来度量的，是用概率来度量的，称为置信概率，置信度或置信水平称为置信概率

3、，置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作习惯上把置信水平记作 1 ，这里，这里 是一是一个很小的正数个很小的正数.置信水平的大小是根据实际需要选定的置信水平的大小是根据实际需要选定的.例如，通常可取置信水平例如，通常可取置信水平 =0.95或或0.9等等. 1 121P根据一个实际样本，由给定的置信水平，我根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 ,21 小的区间小的区间 ，使，使们求出一个尽可能们求出一个尽可能,21 1置信水平为置信水平为 的的置信区间，其中置信区间，其中 为两个统计量为两个统计量. 称区间称区间 为为 的的21, 寻找置信区间的方法寻找置信区间的方法,一般是从确定一般是从

4、确定误误差限差限入手入手. 1|P使得使得称称 为为 与与 之间的误差限之间的误差限 . 我们选取未知参数的某个估计量我们选取未知参数的某个估计量 ，根，根据置信水平据置信水平 ，可以找到一个正数，可以找到一个正数 ， 1 只要知道只要知道 的概率分布，确定误差限并不难的概率分布，确定误差限并不难. 下面我们就来正式给出置信区间的定义下面我们就来正式给出置信区间的定义,并并通过例子说明求置信区间的方法通过例子说明求置信区间的方法. 由不等式由不等式 |可以解出可以解出 ：这个不等式就是我们所求的置信区间这个不等式就是我们所求的置信区间.为便于应用，这里我们简要介绍一下概率分为便于应用，这里我们

5、简要介绍一下概率分布的上侧分位数布的上侧分位数.在求置信区间时，要查表求分位数在求置信区间时，要查表求分位数. )(xXP 设设0 1, 对随机变量对随机变量X，称满足，称满足 的点的点 为为X的概率分布的上的概率分布的上 分位数分位数. x 例如例如:0.051.645z 0.0251.96z 标准正态分布的标准正态分布的 上上 分位数分位数z z例如例如:23(0.025)9.348 23(0.975)0.216 分布的上分布的上 分位数分位数 2( )n 2 自由度为自由度为n的的F分布的上分布的上 分分位数位数 12,( )n nF自由度为自由度为n1,n2的的 书末附有书末附有 分布

6、、分布、t 分布、分布、F分布的上侧分布的上侧分位数表，供使用分位数表，供使用. 需要注意的事项在教需要注意的事项在教材上有说明材上有说明.2 至于如何由标准正态分布函数表查表求至于如何由标准正态分布函数表查表求得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，得分位数，若你对分布函数定义熟悉的话，这个问题不难解决这个问题不难解决.现在回到置信区间题目上来现在回到置信区间题目上来. 一、一、 置信区间定义：置信区间定义： 121P),(2111nXXX ),(2122nXXX )(21 满足满足 设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的两个统计量确定的

7、两个统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平（置信的置信水平（置信度、置信概率）为度、置信概率）为 的置信区间的置信区间. ,21 121 和分别称为置信下限和置信上限分别称为置信下限和置信上限. 一旦有了样本，就把一旦有了样本，就把 估计在区间估计在区间 ,21 内内.自然地，这里有两个要求自然地，这里有两个要求:可见，可见，11 对参数对参数 作区间估计，就是要设法找出作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限两个只依赖于样本的界限(构造统计量构造统计量) 22 )(21 (X1,Xn) (X1,Xn)2. 估计的精度要尽可能的高估计的精度要尽可能的高. 如要求区间如要求区间12 长

8、度长度 尽可能短，或能体现该要求的其尽可能短，或能体现该要求的其它准则它准则.,21 1. 要求要求 以很大的可能被包含在区间以很大的可能被包含在区间 21 P内，就是说，概率内，就是说，概率 要尽可能大要尽可能大.即要求估计尽量可靠即要求估计尽量可靠. 可靠度与精度是一对矛盾，可靠度与精度是一对矛盾， 一般是在保证可靠度的条件下一般是在保证可靠度的条件下 尽可能提高精度尽可能提高精度. N(0, 1) 选选 的点估计为的点估计为X求参数求参数 的置信度为的置信度为 的置信区间的置信区间. （1）设）设X1,Xn是取自是取自 的样本，的样本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取二、置信区间的

9、求法二、置信区间的求法 寻找未知参数的寻找未知参数的 一个良好估计一个良好估计. 解：解： 寻找一个待估参数和寻找一个待估参数和 估计量的函数估计量的函数 ，要求，要求 其分布为已知其分布为已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率取值于任意区间的概率. ,1 对给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 Z对于给定的置信水平对于给定的置信水平(大概率大概率), 根据根据U的分布，的分布， 确定一个区间确定一个区间, 使得使得U取值于该区间的概率为取值于该区间的概率为 置信水平置信水平. 1|2ZnXP使使为什么为什么 这样取？这样取？ ,1 对

10、给定的置信水平对给定的置信水平查正态分布表得查正态分布表得,2 Z 122ZnXZnXP 1|2ZnXP使使从中解得从中解得,22 ZnXZnX 也可简记为也可简记为2 ZnX 122ZnXZnXP于是所求于是所求 的的 置信区间为置信区间为 从解题的过程，我们归纳出求置信区间从解题的过程，我们归纳出求置信区间的一般步骤如下的一般步骤如下: 1. 明确问题明确问题, 是求什么参数的置信区间是求什么参数的置信区间? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 寻找参数寻找参数 的一个良好的点估计的一个良好的点估计T (X1,X2,Xn) 3. 寻找一个待估参数寻找一个待估参数 和估计量和估计量 T

11、 的函的函数数 S ( T, ), 且其分布为已知且其分布为已知. 4. 对于给定的置信水平对于给定的置信水平 ，根据，根据S(T, )的分布，确定常数的分布，确定常数a, b，使得，使得 1 1 P(a S(T, )b)= 5. 对对“aS(T, )b”作等价变形作等价变形,得到如下得到如下 形式形式: 121P,21 1 则则 就是就是 的的100( )的置信区间的置信区间. 这里，我们主要讨论总体分布为这里，我们主要讨论总体分布为正态正态的的情形情形. 若样本容量很大，即使总体分布未若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限定理，可得总体的近似知，应用中心极限定理，可得总体的近似分布

12、，于是也可以近似求得参数的区间估分布，于是也可以近似求得参数的区间估计计. 某工厂生产的零件长度某工厂生产的零件长度X被认为服从被认为服从N( ,0.04), 现从该产品中随机抽取现从该产品中随机抽取6个个, ,其长其长度度的测量值如下的测量值如下( (单位毫米单位毫米): ): 14.6, 15.l, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 求求: :该零件长度的置信系数为该零件长度的置信系数为0.95的区间估的区间估计计. . n=6, =0.05, Z /2 =Z0.025=1.96 2=0.22 .解解:例例1 114.95,0.20.214.951.96 , 14.951.96

13、 ,14.79,15.1166X 置信区间为就是未知22,),(NX(2) 已知已知1nXttSn 因方差未知，取因方差未知，取 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 11(),2nt 使使1| |()12nPtt 1|()12nXPtSn 即即 先求均值先求均值 的区间估计的区间估计: 1、11(),()22nnSSXtXtnn 均值均值 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计.即为即为 1从中解得从中解得11()()122nnSSP XtXtnn 2212(1)nnS 由于由于222112(1)(12)(2)1nnnSP 从中解得从中解得2222211(1)(1)1

14、(2)(12)nnnSnSP 2 2 求方差求方差 的置信水平为的置信水平为 的区间估计的区间估计. 1 对给定的置信度对给定的置信度 ,确定分位数确定分位数 121(2) ,n 使使21(12) ,n 于是于是 即为所求即为所求.222211(1)(1),(2)(12)nnnSnS 为了估计一件物体的重量为了估计一件物体的重量 , ,将其称了将其称了1O1O次次, ,得到的重量得到的重量( (单位：千克单位：千克) )为为: : 10.l, 10, 9.8, 10.5, 9.7,l0.l, 9.9, 10.l, 10, 9.8, 10.5, 9.7,l0.l, 9.9, 10.2, 1O.3

15、, 9.9 10.2, 1O.3, 9.9 设所称出的物体重量设所称出的物体重量X X服从服从N(N( , , 2 2). ). 求求: :该物体重量该物体重量 的置信系数为的置信系数为0.950.95的置信区间的置信区间解解:例例2 2 n=10, =0.05, t10-1( /2)=t9(0.025)=2.2622 210.05,0.0583,0.24150.24150.241510.052.2622 , 10.052.2622,10109.87, 10.22XSS置信区间为即 求求: : 2 2的置信系数为的置信系数为0.950.95的置信区间的置信区间. .解解:例例3( (续例续例2

16、)2)n=10, =0.05, S2=0.0583,查附表得查附表得: 2299(0.025)19.023(0.975)2.7090.058390.0583,19.0232.700.028,0.194置信区间为即三、单侧置信区间三、单侧置信区间 上述置信区间中置信限都是双侧的，但对上述置信区间中置信限都是双侧的，但对于有些实际问题，人们关心的只是参数在一于有些实际问题，人们关心的只是参数在一个方向的界限个方向的界限. 例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均例如对于设备、元件的使用寿命来说，平均寿命过长没什么问题，过短就有问题了寿命过长没什么问题，过短就有问题了. 这时，可将置信上限取这时，可将

17、置信上限取为为+，而只着眼于置信下，而只着眼于置信下限，这样求得的置信区间限，这样求得的置信区间叫单侧置信区间叫单侧置信区间.于是引入单侧置信区间和置信限的定义：于是引入单侧置信区间和置信限的定义： 11P),(2111nXXX 满足满足 设设 是是 一个待估参数，给定一个待估参数，给定, 0 若由样本若由样本X1,X2,Xn确定的统计量确定的统计量则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的的单侧置信区间单侧置信区间. ),1 11 称为单侧置信下限称为单侧置信下限.),(2122nXXX 又若统计量又若统计量 满足满足 12P2 则称区间则称区间 是是 的置信水平为的置信水平为 的单侧置信区间的单侧置信区间. ,(2 1 称为单侧置信上限称为单侧置信上限.设灯泡寿命服从正态分布设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均求灯泡寿命均值值 的置信水平为的置信水平为0.95的单侧置信下限的单侧置信下限. 例例4 从一批灯泡中随机抽取从一批灯泡中随机抽取5只作寿命试只作寿命试验，测得寿命验，测得寿命X（单位：小时）如下：（单位：小时）如下： 1050，1100，1120，1250，1280 1nXtSn 由于方差由于方差 未知，取枢轴量未知，取枢轴量2 解：解： 的点估计取为样本均值的点估计取为样本均值 X 对给定的置信水平对给定的置信水平