二自由度系统振动的理论.

1、第三章第三章 二自由度系统振动的理论二自由度系统振动的理论目的要求：1、掌握振动方程的一般形式及其矩阵表达式；质量矩阵的求解；2、掌握无阻尼二自由度系统自由振动的通解、固有频率和主振型的求解。 很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。 举例： 车床刀架系统(a)、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c），只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。3.1 二二自由度系统的基本概念自由度系统的基

2、本概念 二自由度系统是最简单的多自由度系统。无论是模型的简化、振动微分方程的建立和求解的一般方法、以及系统响应表现出来的振动特性，两自由度系统与多自由度系统并没有本质区别，因此研究二自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 二自由度系统具有两个不同数值的固有频率（特殊情况下二者可能相等，或者其中之一为零）。 当系统按其中任意一个固有频率自由振动时，称为主振动。主振动是简谐振动。 系统作主振动时，任何瞬时各点位移之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 主振型和固有频率只取决于系统本身的物理性质，与初始条件无关。主振型是一切多自由度系统以及连续系统的重要特性。

3、 二自由度系统在任意初始条件下的响应是两个主振动的叠加，只有在特殊初始条件下，才按某一固有频率作主振动。 系统对于简谐激振的响应是频率与激振频率相同的简谐振动。振幅同样与系统固有频率和激振频率的比值有关。当激振频率接近于系统的任一固有频率时，就发生共振。共振时的振型是与固有频率相对应的主振型。 二自由度系统的振动微分方程一般包括两个互相耦合的二阶常微分方程组，二自由度系统的运动形态要由两个独立的坐标确定。 建立振动微分方程最常用的方法有：牛顿第二定律法、动静法、拉格朗日法等。3.2 3.2 二自由度系统振动方程二自由度系统振动方程 建立运动微分方程的方法和单自由度系统基本一样, 但难度更大。3

4、.2.1 作用力方程的一般形式及其矩阵表达式作用力方程的一般形式及其矩阵表达式 在工程中有许多实际系统都可以简化为如下图所示的力学模型图。标准的m-k-c系统，质体 和 用弹簧 联系，而它们与基础分别用弹簧 和 联系。假定两质体只沿铅垂方向做往复直线运动，两质体的任一瞬时位置只要用 和 两个独立的坐标就可以确定。因此，系统具有两个自由度。1m2m2k1k3k1x2x坐标原点仍取在静平衡位置二自由度系统作用力方程的一般形式：一般矩阵形式：)()tFxKxCxM 由此可得：1 111 11 1( )m xF tk xc x212212()()kxxc xx2323222)(xcxktFxm 212

5、212()()kxxc xx矩阵表达式矩阵表达式中：中：22211211mmmmM2100mm22211211ccccC322221cccccc22211211kkkkK322221kkkkkk21xxx)()()(21tFtFtFM称为系统的质量矩阵，K称为刚度矩阵，C称为阻尼矩阵，x为系统的位移列阵，F(t)为外激力列阵。 对于其它形式的两自由度振动系统同样可得到相应的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵。 由于矩阵M、 K、 C的非对角线元素不为0，所以振动微分方程是互相耦合的非独立方程。)()tFxKxCxM 刚度矩阵K中的元素称为刚度影响系数，其 的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义位移，

6、系统平衡时需在i坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设j坐标处的位移为1，其它各坐标的位移均为0。 ijk 质量矩阵M中的元素称为惯性（质量）影响系数，其 的力学意义是：仅在j坐标处产生单位广义加速度，需在i坐标处施加的广义力。 具体求解时，只假设j坐标处的加速度为1，其它各坐标的加速度均为0。ijm质量矩阵的求解质量矩阵的求解 对如下图所示的系统，质量为m的刚性杆，由刚度为 的弹簧分别之于A点和D点。A点支座的约束只允许刚性杆在x-y平面内运动，而限制沿x轴方向的平动。C点为刚性杆的质心， 表示绕通过C点z轴（垂直于纸面，未标出）的转动惯量。B点是满足 的特殊点，如果在B点作用有沿y轴方向

7、的力，系统产生平动而无转动。如果在B点作用有力矩，系统只产生转动而无平动。求出质量矩阵 。ijM12kk 和CJ1 42 5k lk l图3.2 无阻尼二自由度系统图3.3 建立系统质量矩阵示意图 这里的 为质量矩阵的第i行第j列元素，称为惯性影响系数（质量影响系数）。 解：将图3.2中的A点当做刚性杆运动的参考点，为了更直观些，将加速度如同位移那样画出，A点处箭头上的双斜线表示单位加速度所需要的作用力。 如图3.3a所示，当 时，由动力平衡条件得出惯性影响系数 。根据图3.3b可求出，当 时 于是可得系统的质量矩阵M为： ijM.10Ay而.10Ay而11211,Mm Mml2211221,

8、CMml MmlJ1211CmmlMmlmlJ3.2.2 位移方程的一般形式及其矩阵表达式位移方程的一般形式及其矩阵表达式（标准（标准m-k-c振动系统）振动系统） 以柔度矩阵表示的方程为位移方程。 对标准m-k-c振动系统，质量 和 上的静位移可以表示为 =RF，而系统的动位移为11 11 121222232212() ()Fm xc xc xxxRFm xc xc xx)(xCxMFR 这就是系统振动方程的位移形式。stx1m2m 柔度意为弹簧受单位作用力而产生的变形。 柔度影响系数 的力学意义是：在j坐标处作用单位广义力，引起i坐标处的广义位移。由柔度影响系数就可以形成系统的柔度矩阵 R

9、。 由材料力学的位移互等定理可知 ，即柔度矩阵是对称的。 弹簧刚度与弹簧柔度具有互为倒数的关系。ijRijjiRR 因为R为正定矩阵，于是位移方程又可写为1xCxMFxR 与力形式的方程比较可知 ， 即对于正定系统R和K互为逆矩阵。1 KR1 RK3.2.3 用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方用拉格朗日方程建立振动系统的运动微分方程程 对于非标准的m-k-c多自由度振动系统，用传统的动力学方法建立运动微分方程比较困难，更适合使用拉格郎日方程和能量的方法。拉格朗日方程为：拉格朗日方程拉格朗日方程iiiidTTVQdtxxx1kikkkkkiirQFFrxx 其中：T为系统的动能，V为势能，

10、为非有势力的广义力， 为与非有势广义力 对应的广义虚位移。 实际计算广义力 时，通常假设与 对应的广义虚位移不等于零，其它虚位移都等于零。（i1，2）iQiQixkdrkF【例】用拉格郎日方程推导两自由度m-k-c系统微振动微分方程。 解：取静平衡位置为坐标原点和零势能位置。 221 1221()2Tm xm x静平衡位置：2222111121222223233112211()()221()2Vkxkxxkxm gxm gx2221 121232111()222Vk xkxxk x1 1122,km gk22233km gk则：1 11 11()dTdm xm xdtxdt22222()dTd

11、m xm xdtxdt10Tx20Tx1 1212121221()()Vk xkxxkkxk xx21232213222()()Vkxxk xk xkkxx 计算广义力，设m1产生虚位移 ，而 0，则 111 11212111112122()()F xc xxcxxxQxFccxc x同样设 产生虚位移 ，而 0，则 22322221222232221()()Fxc xxc xxxQxFcc xc x1dx2dx2m1dx2dx代入拉格朗日方程 1 1121221121220()()m xkkxk xFccxc x得得iiiidTTVQdtxxx22213222322210()()m xk x

12、kkxFccxc x整理写成矩阵形式即可。 3.3 3.3 弹性耦联和惯性耦联弹性耦联和惯性耦联 通过弹性项耦联的方程组称为弹性耦联或静力耦联。 通过惯性项耦联的方程组称为惯性耦联或动力耦联。 耦联使方程组求解复杂化。 如图3.2无阻尼二自由度系统，以A点的平动 和刚体绕A点的转动 为系统的位移坐标，如图3.4所示 AyA图3.4 图3.4中给出在A点处作用的力 与力矩 ，以及A点 和D点的弹性力与C处的惯性力。 如果将惯性力加在刚性自由体上，可以认为该自由体处于动平衡状态。于是运用达伦培尔原理，得出两个平衡方程并加以整理，则得：aFaM.1122()AAAAAm ymlkkyk lF.221

13、122()ACAAAAml ymlJk lyk lM.112222.1122AAACAAAyyFmmlkkkmlmlJk lk l其矩阵形式为： 在矩阵形式的方程式中，质量矩阵和刚度矩阵的非对角元素都不为零，既出现惯性耦联又出现弹性耦联，前者表明两个加速度彼此并非独立，就是说系统在动力上或质量上是耦联的。后者则说明一个位移不仅引起对应于自身的反力，而且引起对应其他位移的力，系统在静力上或刚度上是耦联的。 方程组的耦联取决于所选用的坐标，而不是取决于系统本身的特性。由此推论，只要位移坐标选取得适当，总可以使系统既无惯性耦联又无弹性耦联，这样使振动方程彼此独立，给求解多自由度系统振动带来很大的方便

14、。这样的坐标称为固有坐标或主坐标。自由振动微分方程组为：m xkkxk xm xk xk x111212222212200()m xk xkxxm xkxx111122122221()() 取两物体为研究对象，物体离开其平衡位置的位移用x1、x2表示。在水平方向的受力如图示，由牛顿第二定律得 两自由度的弹簧质量系统。两物体均作直线平移，略去摩擦力及其它阻尼。5.1.1 运动微分方程3.4 3.4 无阻尼二自由度系统的自由振动无阻尼二自由度系统的自由振动mmxxkkkkkxx121212222120000 MxKx 0Mmmmm11122122质量矩阵 Kkkkk11122122刚度矩阵mij质

15、量影响系数kij刚度影响系数 xxx12 xxx12加速度列阵 坐标列阵5.1.1 运动微分方程根据微分方程的理论，设方程的解为1122sin()sin()xAtxAt 1122sinsinxAtaxAxAta这组解可写成的矩阵形式：加速度矩阵为： 20KMA211111122221222200AkmkAkkm 代入微分方程后，化简可得代数齐次方程组 2()KM A05.1.2 频率方程 112222sinsinxAtaxAxAta 211111122221222200AkmkAkkm 20KM211111221222220kmkkkm 要使系统的振幅A1和A2有非零解，其方程的系数行列式等于

16、零 。即这就是两自由度系统的频率方程，也称系统的特征方程。 5.1.2 频率方程 22111122221221()()0kmkmk k42()0adadbc221,2()22adadadbc222adadbc则特征方程可改写为：这就是特征方程的两组特征根。特征根2122正值2da 小于是两个大于零的不相等的正实根5.1.2 频率方程 引入记号 akmbkmckmdkm1111121121222222,24221122112222 111122120m mm km kk kk令： w1、w2就是系统的自由振动频率，即固有频率。较低的频率w1称为第一阶固有频率(或称基频)；较高的频率w2称为第二阶

17、固有频率。由式看出，固有频率w1、w2与运动的初始条件无关，仅与振动系统固有频率的物理特性，即物体的质量、弹性元件的刚度有关。 系统以某一固有频率按其相应的主振型做振动，称为系统的主振动。在振动过程中各点位移的相对比值都可由振幅比确定，也就是说振幅比决定了整个系统的振动形态，因此称为主振型。5.1.2 频率方程 111111112211sin()sin()xAtxAt第一主振动 221122222222sin()sin()xAtxAt第二主振动 将第一固有频率w1代入1122sin()sin()xAtxAt5.1.3 主振型 40振幅比 222222221AacbdA第二主振型 1221121

18、11AacbdA第一主振型5.1.3 主振型 211111122221222200AkmkAkkm 由 (1)2211111211(1)211222122(2)2211211212(2)211222222AkmkAkkmAkmkAkkm系统作主振动时，任意瞬时的位移比和其振幅比相同，即2)2(1)2(21)1(1)1(2,xxxx这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。 将w1、w2之值代入，得022102212221bcdadabbcdadab这表明，在第一主振动中，质量m1与m2沿同一方向运动；在第二主振动中m1、m2的运动方向则是相反的。系统作主振动时，各点同时经过平衡位置

19、，同时到达最远位置，以与固有频率对应的主振型作简谐振动。 5.1.3 主振型 根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)222211222( )sin()sin()( )sin()sin()x txxAtAtx txxAtAt(1)(2)1111122(1)(2)222sin()sin()xAAttxAA(1)(2)11111(1)(2)22222sin()sin()xtAAxtAA 21)2(1) 1 (1,AA由运动的初始条件确定。写成矩阵形式5.1.3 主振型 435.1.4 无

20、阻尼系统对初始条件的响应 四、无阻尼系统对初始条件的响应 系统在任意时刻所作的运动是第一阶主振动和第二阶主振动的叠加，是两个不同频率简谐振动的叠加，即：(1)(2)(1)(2)111111122(1)(2)(1)(2)222211222( )sin()sin()( )sin()sin()x txxAtAtx txxAtAt当t=0时，系统的初始条件为：)0(),0(),0(),0(220110220110 xxxxxxxx2)2(21)1 (22202)2(11)1 (1110sinsin)0(sinsin)0(AAxxAAxx)2(sinsin) 1 (sinsin)0(2)2(121)1

21、(11202)2(11)1 (1110AvAvxAAxx同理，可得系统的初始速度为：(1)(2)10111212(1)(2)20121222coscoscoscosxAAxAA(1)(2)10111212(1)(2)2011112212coscos(3)coscos(4)xAAxvAvA445.1.4 无阻尼系统对初始条件的响应 对（1）式v2-(2)式，得：1)1(11220102sin)(Avvxxv对（3）式v2-(4)式，得：1)1(111220102cos)(Apvvxxv (1)222102021020121211()()v xxv xxAvvvv同理，可得：(2)22110201

22、1020112121()()v xxv xxAvvvv当00)1(12010220102Axxvxxv时，即：0)1 (1210201020Avxxxx时，此时系统做二阶主振动。即：0)1 (2110201020Avxxxx时，此时系统做一阶主振动。例 题k3 x2 例 试求图示两个自由度系统振动的固有频率和主振型。已知各弹簧的弹簧常量k1k2k3k，物体的质量m1m，m22m。 分别以两物体的平衡位置为坐标原点，取两物体离开其平衡位置的距离x1、x2为广义坐标，两物体沿x方向的受力如图示，它们的运动微分方程分别为022022122111kxkxxmkxkxxm 解：（1）建立运动微分方程式例

23、 题00222002121xxkkkkxxmm mm200M质量矩阵刚度矩阵222222022(2)(22)0kmkkkmkmkmk将M和K代入频率方程，得kkkk22K（2）解频率方程，求wi47例 题系统的第一阶和第二阶固有频率为：210.634km10.6340.796kkmm22.366 .1.538kkmm222.366km24222m630mkk222221,226364 2m34mmkm kk 例 题将 、 分别代入，得2122(1)2221111111(1)112210.732AkmkmAkk (2)2221121122(2)112212.732AkmkmAkk 732. 01) 1 (1) 1 (2) 1 (AAA（3）求主振型主振型为732. 21)2(1)2(2)2(AAA节点49例 题732. 01) 1 (1) 1 (2) 1 (AAA（4）振型图主振型为732. 21)2(1)2(2)2(AAA节点 振型图的物理意义： 1、横坐标表示系统各点的静平衡位置，纵坐标表示各点的 振幅比； 2、第二振