圆的切线(复习课)

1、1.1.直线与圆的位置关系有几种直线与圆的位置关系有几种? ?Ao2. 2. 圆的切线的判定定理是什么圆的切线的判定定理是什么? ?切切线的判定线的判定方法有哪几种方法有哪几种? ? (1) 当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共当已知条件中没有明确给出直线与圆有公共点时点时,常过圆心作该直线的垂线段常过圆心作该直线的垂线段,证明该垂线段的证明该垂线段的长等于半径长等于半径,也就是也就是“ ”。 (2)当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条证明该半径垂直于这条直线，直线，也就是也就是“ ”

2、。经过半径的外端并且垂直于这条半径经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线的直线是圆的切线. .CD作垂直作垂直,证半径证半径连半径连半径,证垂直证垂直切线的判定方法：切线的判定方法：方法方法具体内容具体内容几何语言几何语言适用情况适用情况距距离离法法判判定定定定理理圆心到直线的圆心到直线的距离等于圆的距离等于圆的半径半径, ,则此直线则此直线是圆的切线是圆的切线过半径的外端过半径的外端且垂直于半径且垂直于半径的直线是圆的的直线是圆的切线切线0ACD于于A,OA=d=r则则CDCD是是的切线的切线交点明确：交点明确：连连OA,OA,证证OAOACDCD 交点不明确：交点不明确： 作作O

3、AOACDCD于于A,A, 证证OA=rOA=r0A0A是是OO的半的半径，径， 0A0ACDCDCDCD是是的切线的切线, , 3.3.切线有哪些性质切线有哪些性质? ?Ao 根据切线的性质根据切线的性质 , 遇到切点遇到切点 , 连接半径连接半径 , 这是在圆中添加辅助线的常用方法之一这是在圆中添加辅助线的常用方法之一 根据切线性质根据切线性质, ,我们经常做的辅助线是什么我们经常做的辅助线是什么? ?(2)切线的性质定理切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言符号语言: :CD是的切线,点是切点 CDCD(1)圆心到切线的距离等于半径圆心到切线的距离

4、等于半径符号语言符号语言如图:CD与 相切相切,OACD d=OA=r4. 切线长定理的内容是什么切线长定理的内容是什么? 从圆外一点可以引圆的两条切线，它从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。分两条切线的夹角。OPAB想一想：想一想：根据图形，你还可以得到什么结论？. H？BHCOPAHCOPBAHCOPAHCOPBHCOPBAHCOP1、线段的中点、线段的中点2、角的平分线、角的平分线3、线段的垂直平分线、线段的垂直平分线4、等腰三角形、等腰三角形5、直角三角形、直角三角形6、全等三角形、全等三角形7、垂径

5、定理、垂径定理？ 等腰三角形“三线合一”定理垂径定理PBHAHCBA0PBHAHCBA0同学们要善于从复杂图形中分解出 数学的基本图形，再从基本图形中找寻数量关系来解决问题。例例1如图，点如图，点O是是ABC的内切圆的圆心。的内切圆的圆心。（1）若）若BAC=80，则，则BOC= 130分析:根据三角形内切圆性质OB、OC分别平分ABC、ACB，要求BOC，只要求+ ?怎么求这两个角的和呢？PFCDOAB例例1如图，点如图，点O是是ABC的内切圆的圆心。的内切圆的圆心。（2） O分别切分别切AB、AC于点于点D、F，点，点P是优弧是优弧DF上一动点上一动点(点点D、F除外除外)，若若BAC=8

6、0，则，则DPF= 思考：若点P是 O上的一动点上的一动点(点点D、F除外除外)，上面，上面的结论还成立吗？的结论还成立吗？根据切线的性质根据切线的性质 , 遇到切点遇到切点 , 连接半径连接半径 , 这是在圆中添加这是在圆中添加辅助线的常用方法之一辅助线的常用方法之一 .50当已知条件中明确指出直线与圆当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时有公共点时,常连接过该公共点的常连接过该公共点的半径半径,证明该半径垂直于这条直线，证明该半径垂直于这条直线，也就是也就是“连半径连半径,证垂直证垂直”。 例例2.2.如图：已知如图：已知PAPA是是OO的切线，的切线，A A为切点为切点, AB, AB是

7、是 O O 的直径的直径 , BC/OP交交OO于点于点C C。求证：。求证：PC与与 O相切相切.。直径所对的圆周角是直角直径所对的圆周角是直角 , 遇到直径遇到直径 , 作直角作直角 , 这也是这也是圆中添加辅助线的常用方法圆中添加辅助线的常用方法之一之一 另解：如图：已知另解：如图：已知PAPA是是OO的切线，的切线，A A为切点为切点, AB, AB是是 O O 的直径的直径 , BC/OP交交OO于点于点C C。求证：。求证：PC与与 O相切相切.当已知条件中明确指出直线与圆当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时有公共点时,常连接过该公共点的常连接过该公共点的半径半径,证明该半径垂直

8、于这条直线，证明该半径垂直于这条直线，也就是也就是“连半径连半径,证垂直证垂直”。2、 如图如图, 直角梯形直角梯形ABCD中中 , A=900 , AD/BC, E为为AB的中点的中点, 以以AB为直径的圆与边为直径的圆与边CD相切相切于点于点F.求证求证:(1)DECE,(2)CD=AD+BCABCDE F我思考，我进步我思考，我进步!解：解： 连结连结EF A= 900 , AB为为 E的直径的直径 AD与与 E相切相切. CD与与 E相切相切. FDE= ADC, AD=DF12 同理得同理得: ECF= BCD, CF=BC12 AD/BC ADC+ BCD=1800. EDF+ E

9、CF=900. DEC=900. CEDE CD=DF+CF=AD+BC. CEDE ,CD=AD+BC .(变式变式) 如图如图, 直角梯形直角梯形ABCD中中 , A=900 , AD/BC, 且且CD=AD+BC, 以以AB为直径的圆为直径的圆 与边与边CD有怎样的位置关系有怎样的位置关系,说明理由说明理由.ABCDFE M解：解： 以以AB为直径的圆与为直径的圆与CD相切相切.方法一、取方法一、取AB的中点的中点E, 则点则点E即即为以为以AB为直径的圆的圆心为直径的圆的圆心,过点过点E作作 EFCD 于于 F,连接连接DE并延长交并延长交CB的延长线于点的延长线于点M.当已知条件中当

10、已知条件中没有明确给出直线与没有明确给出直线与圆有公共点圆有公共点时时,常常过圆心作该直线过圆心作该直线的垂线段的垂线段,证明该垂线段的长等于证明该垂线段的长等于半径半径.即即“作垂直,证半径”.ABCDF.变式变式: 如图如图, 直角梯形直角梯形ABCD中中 , A=900 , AD/BC, 且且CD=AD+BC, 以以AB为直径的圆与边为直径的圆与边CD有怎样的位有怎样的位置关系置关系,说明理由说明理由.ABCDFE 解：解： 以以AB为直径的圆与为直径的圆与CD相切相切.方法二、取方法二、取AB的中点的中点E, 则点则点E即即为以为以AB为直径的圆的圆心为直径的圆的圆心,过点过点E作作

11、EFCD 于于 F,连接连接DE、EC.面积相等法面积相等法-构造等式构造等式驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸已知已知,如图如图,D(0,1), D交交y轴于轴于A、B两点两点,交交x负半负半轴于轴于C点点,过过C点点的直线的直线:y=2x4与与y轴交于轴交于P. 试猜想试猜想PC与与 D的位置关系，并说明理由的位置关系，并说明理由.分析：做此类题，尤其强调分析：做此类题，尤其强调数形结合数形结合，同学们应把题中，同学们应把题中数据数据“放入放入”图中。猜想直线图中。猜想直线PC与与 D相切。怎么证？联相切。怎么证？联想想证明切线证明切线的两种方法。点的两种方法。点C在圆上，即证：在圆上，即证：D

12、CP=90利用利用勾股及逆定理勾股及逆定理可得。可得。切切线线判判定定令令x=0，得得y=-4;令令y=0,得得x=-2C(-2,0), P(0,-4)又又D(0,1) OC=2, OP=4 ,OD=1, DP=5又又在在RtCOD中中, CD2=OC2+OD2=4+1=5 在在RtCOP中中, CP2=OC2+OP2=4+16=20在在CPD中中, CD2+CP2=5+20=25, DP2=25CD2+CP2=DP2即：即：CDP为直角三角形为直角三角形,且且DCP=90PC为为 D的切线的切线.证明：证明：直线直线y=-2x-4解：解： PC是是 O的切线，的切线，勾股（逆）定理勾股（逆）定理已知已知,如图如图,D(0,1), D交交y轴于轴于A、B两点两点,交交x轴负轴负半轴于半轴于C点点,过过C点点的直线的直线:y=2x4与与y轴交于轴交于P. 判断在直线判断在直线PC上上是否存在是否存在点点E，使得，使得SEOC=4SCDO,若存在，求出点若存在，求出点E的坐标；若不存在，的坐标；若不存在，请说明理由请说明理由. 存存在在性性问