高考数学-正弦定理和余弦定理ppt课件

1、1.1.1 正弦定理正弦定理1. 复习三角形中的边角关系复习三角形中的边角关系1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系180 CBAcbacba , 大角对大边大角对大边一恣意三角形中的边角关系一恣意三角形中的边角关系二直角三角形中的边角关系二直角三角形中的边角关系 角角C为直角为直角 1、角的关系、角的关系2、边的关系、边的关系3、边角关系、边角关系90 BA222cba 2. 正弦定理正弦定理ABCabc在直角三角形在直角三角形ABC中的边角关系有：中的边角关系有：ccCcbBcaA=1sin,sin,sinCccBbcAacsin,sin,sin=CcBbAas

2、insinsin=bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB过点A作ADBC于D,此时有(1) 假设三角形是锐角三角形假设三角形是锐角三角形, 如图如图CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin可得D(2) 假设三角形是钝角三角形假设三角形是钝角三角形,且角且角C是钝是钝角角此时也有cADBsin交BC延伸线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2正弦定理正弦定理 在一个三角形中各在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等边和它所对角的正弦的比相等. as

3、inAbsinBcsinC?(3) 外接圆法外接圆法1CCABCC1abcO如图:RCcCc2sinsin1 RAaRBb2sin2sin，同理：()为外接圆半径即：RRCcBbAa2sinsinsin3. 正弦定理的运用正弦定理的运用RCcBbAa2sinsinsin 普通的，把三角形的三个角普通的，把三角形的三个角A,B,C和它们和它们的对边的对边a,b,c叫做三角形的元素。知三角形叫做三角形的元素。知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。例例1 1 在在 中，知中，知 ，求，求b b保管两个有效数字保管两个有效数字 ABC 10,45 ,c

4、A解：解： CcBbsinsin 105)(180CAB1930sin105sin10sinsin CBcb30C 知两角和任一边，求其他两边和一角知两角和任一边，求其他两边和一角变式训练：变式训练：1在在ABC中，知中，知b= ,A= ，B= ，求，求a。345602在在ABC中，知中，知c= ,A= ，B= ，求，求b。37560解： BbAasinsinaBAbsinsin=60sin45sin3=2解： =45)6075(180又 CcBbsinsinCBcbsinsin45sin60sin32230180()CAB例例2 在在 中，知中，知 ，求，求 ABC 4,4 2,abA解：由

5、解：由 BbAasinsin 得得 21sinsin bBaA 在在 中中 ABC ba A A 为锐角为锐角 30A知两边与其中一边的对角，求其它边知两边与其中一边的对角，求其它边和角和角. .45B 例例 3 知知 a=16， b= ， A=30 解三角形解三角形解：由正弦定理解：由正弦定理BbAasinsin得得231630sin316sinsinaAbB所以6060 或或120120当 时6060C=9032c C=30sin16sinaCcA316当当120120时时B16300ABC16316变式变式: a=30, b=26, A=30，解三角形，解三角形300ABC2630解：由

6、正弦定理解：由正弦定理BbAasinsin得得30133030sin26sinsinaAbB所以所以25.70,或或1800180025.70=154.3025.70=154.30由于由于154.30 154.30 +3001800+3001800故B只需一解如图C=124.30,C=124.30,57.49sinsinACac30137 .25sin变式变式: a=30, b=26, A=30，解三角形，解三角形300ABC2630解：由正弦定理解：由正弦定理BbAasinsin得得30133030sin26sinsinaAbB所以所以25.70,C=124.30,57.49sinsinAC

7、ac13sin25.730a b A B ,三角形中大边对大角baBACaB例题例题4: 三角形三角形ABC中，知中，知a=20cm,b=28cm,A=400,解三角形。解三角形。 变式：在例 4中，将知条件改为以下几种情况，角B的结果有几种？1 b20，A60，a203 2 b20，A60，a103 3 b20，A60，a15.60ABCb知边知边a,b和角，求其他边和角和角，求其他边和角为锐角为锐角absinA无解无解a=bsinA一解一解bsinAab一解一解ab无解无解babaabababab1 1在在ABCABC中中,B=0,a=2,b= ,B=0,a=2,b= ,求求A A3大边对

8、大角，故此题无解。大边对大角，故此题无解。2 2在在ABCABC中中,A=450,a=2,b= ,A=450,a=2,b= ,求求B B2oo221=,sinB= ,sin45sinB2B=30解解：3 3在在ABCABC中中,b= ,a=2,B=450,b= ,a=2,B=450,求求A A2oo22=,sinA=1,sinA sin45A=90解解：oo323=,sinA=,sinAsinA5204=6解解：4 4在在ABCABC中中,b= ,a= ,B=450,b= ,a= ,B=450,求求A A23或或120o120o练习练习1. 知两角及一边解三角形一定只需一知两角及一边解三角形一

9、定只需一解。解。2. 知两边及一边的对角解三角形，能够知两边及一边的对角解三角形，能够无解、一无解、一 解或两解。解或两解。 归纳：归纳：(1)(1)正弦定理可以处理三角形中的问题：正弦定理可以处理三角形中的问题： 知两角和一边，求其他角和边知两角和一边，求其他角和边 知两边和其中一边的对角，求另一边知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin 正弦定理：正弦定理：知识小节：知识小节：(3) 正弦定理的变形：正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sinc

10、baCBA:sin:sin:sin(2) 三角形面积公式：三角形面积公式：111sinsinsin222ABCSbcAcaBabC2sinsinsinabcRABC 假设知一个三角形的两条边及其夹假设知一个三角形的两条边及其夹角，根据三角形全等的定理，该三角形角，根据三角形全等的定理，该三角形大小外形完全确定，那么如何解出这个大小外形完全确定，那么如何解出这个三角形呢？三角形呢？思索：思索：CBAcab思索：思索： 在在ABCABC中，知中，知CB=a,CA=bCB=a,CA=b，CBCB与与CA CA 的夹角为的夹角为CC， 求边求边c.c.cABbCAaCB,设设)()(babaccc2b

11、abbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法那么得由向量减法的三角形法那么得Cbabacos222bac2.余弦定理余弦定理1 1向量法向量法CBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法那么得由向量减法的三角形法那么得Cbabacos222bac思索：思索： 假设假设ABCABC为恣意三角形，知角为恣意三角形，知角C C， BC=a,CA=b, BC=a,CA=b,求求AB AB 边边 c. c.cABbCAaCB,设设CBAcabBaccabcos2222余

12、弦定理余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法那么得由向量减法的三角形法那么得Cbabacos222思索：思索： 假设假设ABCABC为恣意三角形，知角为恣意三角形，知角C C， BC=a,CA=b, BC=a,CA=b,求求AB AB 边边 c. c.cABbCAaCB,设设bacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两的和

13、减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。倍。C CB BA Ab bac cbAacCB证明：以证明：以CB所在的直线为所在的直线为x轴，过轴，过C点垂直于点垂直于CB的直线的直线为为y轴，建立如下图的坐标系，轴，建立如下图的坐标系，那么那么A、B、C三点的坐标分三点的坐标分别为：别为：( cos, sin)A bC bCxy( ,0)B a(0,0)C2解析法解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos2222222coscababC ABCabcD当角当角C为锐角时为锐角时3几何法几何法bAacCBD当角当角C为钝角时为钝角时

14、CBAabc 余弦定理作为勾股定理的推余弦定理作为勾股定理的推行，思索借助勾股定理来证明行，思索借助勾股定理来证明余弦定理。余弦定理。证明：在三角形证明：在三角形ABC中，知中，知AB=c,AC=b和和A, 作作CDAB，那么，那么CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有：2222cosacBacb2222cosabCcabDCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB222

15、2cosabcbaC2cos222推论：推论：1 1知两边和它们的夹角，求第三边和其知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；他两个角；3.3.余弦定理的运用余弦定理的运用2222cosbcaacB解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或22 3202sin30a bxxA BA BCcABC 3 3. .锐锐角角三三角角形形中中，边边 、 是是方方程程 的的两两根根，角角 、 满满足足（），求求角角 的的度度数数，边边 的的长长度度及及的的面面积积2si32n3si0nAABB解：（），（为锐角三角形为锐角三角形ABC oBA12

16、0 60oC22 320abxx边 、 是方程 的两根232 abba，Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 2323221sin21 CabSABC6 c2 2知三边，求三个角。知三边，求三个角。例题例题1 1 在在ABCABC中，知中，知a= ,b=2,a= ,b=2,c= ,c= ,解三角形解三角形解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223 161222 23 1()()cos()bcaAbc 60A22222263122222631acbBac()()cos()45B180180604755CAB6312 21a 00060 ,45 ,75ABC3 3判别三角形

17、的外形判别三角形的外形例、在例、在ABC中，中， 那么是那么是222cba. 钝角钝角. 直角直角. 锐角锐角. 不能确定不能确定提炼：设提炼：设a是最长的边，那么是最长的边，那么ABC是钝角三角形是钝角三角形222cbaABC是锐角三角形是锐角三角形222cbaABC是直角三角形是直角三角形222cba7. 在在ABC中，知中，知a=7,b=10,c=6, 断定断定ABC的外形的外形分析：分析： ABC的外形是由大边的外形是由大边b所对的大角所对的大角 B决议的。决议的。222(,)90 180cBba练习：练习：8.一钝角三角形的边长为延续自然数，那么一钝角三角形的边长为延续自然数，那么这

18、三边长为这三边长为 分析：分析： 要看哪一组符合要求，只需检验要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项中的最大角是钝角，即该角哪一个选项中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于的余弦值小于0。BA. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，69.9.在在ABCABC中，知中，知a=7,b=8,cosC= , a=7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判别分析：求最大角的余弦值，最主要的是判别哪个角是最大角。由大边对大角，知两边可哪个角是最大角。由大边对大角，知两边可求出第三边求出第三边,找到最大角。找到最大角。2222cosabCbca221314278987 解：解：3c 那么有：那么有：b是最大边，