2010年安徽高考理科数学试题及答案分析

1、20XX 年高考安徽卷理科数学试题及答案分析参考公式：如果事件A与B互斥，那么P A B i=P A P B那么如果事件A与B相互独立，那么P AB =P A P B第I卷(选择题，共50分)、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(4 )若f(x)是 R 上周期为 5 的奇函数，且满足f (1) =1, f(2) = 2,则f(3)- f(4)=(A) -1(B) 1(C) -2(D) 2(5)双曲线方程为x2-2y2=1，则它的右焦点坐标为(1)i是虚数单位,3 3i(2)(3)(A)412(B)丄-迢412(C)

2、1若集合A =x | log1x ，则CRA22(C)(-：(B)(D)1 1设向量a =(1,0),b =(,)，则下列结论中正确的是2 2(A)|ab|(B)a b -(C)a -b与b垂直2(D)a/b如果A与B是两个任意事件，PA O,PAB二PAPB|A2(A)(,0)2；5(B)L) 6(C)(亍)(D) (、3,0)（6）设abc. 0,二次函数f （x） = ax2- bx c的图象可能是x = 2 + 3cos日,（7）设曲线 C 的参数方程为丿（日为参数），直线l的方程为x3y + 2 = 0,y = -1 +3s inT7JIO则曲线 C 到直线I的距离为的点的个数为10

3、（A）1（ B）2（C） 3（ D）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为（A）280（ B）292（C）360（ D）372（9）动点A（x, y）在圆x21上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,一1 J312 秒旋转一周.已知定时 t=0 时，点 A 的坐标是（一，），则当220 _t _12时，动点 A 的纵坐标 y 关于 t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A） 0，1（ B） 1，7（ C） 7，12（ D） 0，1和7, 12、（10）设an是任意等比数列，它的前 n 项和，前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X，Y，Z， 贝U下列等式中恒成立的是（A）X Z =2

4、Y（B）Y（Y-X）二Z（Z -X）2(C)Y二XZ(D) Y(Y -X)二X(Z -X)第H卷(非选择题共 100 分)考生注意事项：请用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上.作答，在试题卷上答题无.效.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置.(11)命题“对任何xR,| x2|x4|.3”的否定是 _|2x - y 2 _ 0,(13 )设x, y满足约束条件8xy4 兰 0,若目标函数z = abx + y(a 0, b 0)的最大值x 狂 0, y 启 0,为 8，则a b的最小值为_.(14 )如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值

5、x二_ .(开跆)IC蹈束)(15)甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球, 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1, A2和 A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 _ (写出所有正确结论的编号).1PQ)；52P(B| AJ今；113事件 B 与事件 A1相互独立；4A1, A2, A3是两两互斥的事件；5P(B)的值不能确定，因为它与 A1, A2, A3中究竟哪一个发生有关.三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明

6、、证明过程或演算步骤，解 答写在答(12) _L_厶的展开式中,IJy点丿3x的系数等于.12题卡上的指定区域内.(16)(本小题满分 12 分)设ABC是锐角三角形，a,b,c分别是内角 A , B , C 所对边长，并且sin2A二sin(B)sin(B) sin2B.33(I)求角 A 的值；(n)若AB AC =12,a=2.7，求b,c(其中b c).(17)(本小题满分 12 分)设 a 为实数，函数f (x)二ex-2x 2a,xR.(I)求f (x)的单调区间与极值;(II )求证：当a ln 2 -1 且 x - 0时,(18)(本小题满分 13 分)BFC二90 ,BF=F

7、C , H 为 BC 的中点.(I)求证：FH/平面 EDB ;(II)求证：AC 丄平面 EDB ;(III )求二面角 B DE C 的大小.(19)(本小题满分 13 分)已知椭圆 E 经过点 A (2, 3),对称轴为坐标轴，焦点 F1, F2在 x1轴上，离心率e .2(I) 求椭圆 E 的方程；(II) 求.F1AF2的角平分线所在直线丨的方程；(III )在椭圆 E 上是否存在关于直线丨对称的相异两点？若存在， 请 找出；若不存在，说明理由.exx2- 2ax 1.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF/AB , EF 丄 FB , AB=2EF ,C(2

8、0)(本小题满分 12 分)设数列a1,a2r, an,中的每一项都不为 0.证明，an为等差数列的充分必要条件是：111n对任何n：= N，都有一aia2a2a3anan +aian-1（21）（本小题满分 13 分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这 n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分现设 n=4,分别以a1,a2,a3,a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4 的四种酒在第二次排序

9、时的序号，并令X二|1 -aj |2-a2| |3-a3| |4-&4丨.则 X 是对两次排序的偏离程度的一种描述 （I）写出 X 的可能值集合；（II） 假设a1,a2,a3,a4等可能地为 1，2，3，4 的各种排列，求 X 的分布列；（III） 某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X _ 2，（i） 试按（II）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；（ii） 你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由20XX 年高考安徽卷理科数学参考答案10 个小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. B 解析：本题考查了复

10、数的四则运算问题。i(.3 -3i).3i 31 =x|log1xlog1( )=x|0 x 0，那么当 a0 时，对应的图象开口朝上，有 bc0 ,对称轴X=-0,此时 c0，选项 C 错误；对称轴 x= b0 时，有 b0,此时 c0,选项 D 正确；2a7. B 解析：本题考查了圆的参数方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等。由曲线 C 的参数方程得对应的圆的圆心坐标为C(2， 1)，半径 r=3,那么 C(2，1)到直线 x 3y+2=0 的距离 d=l2：3-1) +2|=7、10，那么曲线C与直线丨相切，则#+(_3)210-C 上到直线 I 距离为7 10的点有 2 个；

11、108. C 解析：本题考查了简单几何体的三视图与直观图的转化，以及简单几何体的表面积计 算问题。由图中的三视图知，该几何体是由两个长方体组成的简单组合体，下面是一个长、宽、 高分别为8、10、2 的长方体，上面竖着是一个长、宽、高分别为6、2、8 的长方体，那么其表面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和，即S=2 (8X10+8X2+10X2)+2 ( 6X8+2 X8) =360;9. D 解析：本题考查了平面解析几何的创新应用，三角函数概念及其三角函数的图象与性 质等。f由于 12 秒旋转一周，则每秒转过2，而 t=0 时，y=3=sin，那么动点 A 的12623纵坐标关于

12、 t 的函数关系式为 y=si n(工 t+ = )( t 0,12),则对应的单调递增区间为 t+ 6363兀兀 2k n,2k 时一,k Z,则有 t 12k 5, 12k+1 , k Z,由于 t 0 , 12，则当 k=022时，t 0, 1,当 k=1 时，t 7, 12;10. D 解析：本题考查了等比数列前n 项的相关性质及其应用。由于等比数列an中 Sn=X , S2n=Y , S3n=Z，根据等比数列的相关性质，对应的 Sn, S?nSn,S3n S2n也成等比数列，即 X , Y X , Z Y 成等比数列，则有(Y X )2=X (Z Y ), 即 Y (Y X) =X

13、(Z X);二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在答题卡的相应位置.(11) 存在R,使得| X-2| + | x-4|E3(12) 15 (若只写C：或 C：，也可)(13) 4(14) 12(15)11.“存在 x R,有|x 2|+|x 4|3”的否定就是“存在 x R，有 |x 2|+|x 4|0作出平面区域*8x_y_40，如图中的阴影部分，由图知，当过点 A( 1，4)时,x 工 0,八 0488,此一 ab= = 4，即 ab=4,而 a0,1-0当且仅当 a=b=2 时等号成立;14. 12 解析：本题考查了算法中的程序框图的识别与应用。当 x=

14、1 时，经过判断其是奇数，则有x=1+1=2 ;经过判断其是偶数，则有x=2+2=4，经过判断 x8，输出 x=12 ;15. 解析：本题考查了随机事件的概率，条件概率和互斥事件等问题。523根据题意可得 P (A1) = , P (A?) = , P (A3)=，可以判断是正确的；而1010105524349则是错误的；由于 P ( B|A1)P ( B );x + _x +x =1011101110112255x z=abx+y 取得最大值b0 ,那么 a+b2ab=4,P(AB)=10“=5，则是正确的；同时可以判断出和是错误的;P(A)511三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分

15、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 答写在答题卡上的指定区域内.（16）（本小题满分 12 分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力解：（I）因为sin2A =（乜cosB -sin B）（仝cosB-丄sin B） sin2B2 2 2 2321223cos B sin B sin B ,444所以 sin A,又 A 为锐角,所以 A .23（II ）由AB=12可得cbco s A 12.由（I）知A,所以3cb = 24由余弦定理知a2=c2 b2-2cbcosA,将 a=2.7及代入，

16、得c2b 52+x2,得（c bp-100,所以c 10.因此，c, b 是一元二次方程t2-10t - 24 =0的两个根.解此方程并由c - b 知 c=6,b=4.向量的(17)(本小题满分 12 分)本题考查导数的运算，禾U用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等 式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力(I)解：由f (x)二ex2x 2a,x R知f (x)二ex-2,xR.令f (x)二 0,得 x = In 2 于是当 x 变化时,f (x), f (x)的变化情况如下表：x(严In 2)In 2(In 2,邑)f(x)一0+f(x)单调递减2(1-1 n2 +

17、a)单调递增/故f (x)的单调递减区间是(一p,ln 2)，单调递增区间是(In 2, 二)，f (x)在 x =1 n 2处取得极小值，极小值为f (In2) = eln221 n 2 + 2a = 2(1 In2 + a).(Il)证：设g(x) = ex-x22ax -1,x R,于是g (x)二ex-2x 2a,x R.由(I)知当a In2-H,g(x)最小值为 g(ln2)=2(1-ln2 a) 0.于是对任意 x R，都有 g (x) 0,所以 g(x)在 R 内单调递增，于是当aIn2-1 时,对任意 x (0,：),都有 g(x) g(0),而g(0) =0,从而对任意(0

18、:),g(x)0.即exx22ax1 0,故 exx2-2ax 1.(18)(本小题满分 13 分)本题考查空间线面平行、 线面垂直、面面垂直的判断与证明， 考查二面角的求法以及利 用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力综合法(1)证：设 AC 与 BD 交于点 G,贝 U G 为 AC 的中点，连 EG, GH，又 H 为 BC 的中点，.GH /-AB,又 EF/-AB, EF/GH .2 2四边形 EFHG 为平行四边形， EG/FH，而 EG 二平面 EDB , FH/平面 EDB.(II)证：由四边形 ABCD 为正方形，有 AB 丄 BC,又 E

19、F/AB , EF 丄 BC.而 EF 丄 FB,TEF 丄平面 BFC , EF 丄 FH , AB 丄 FH. 又BF=FC , H 为 BC 的中点， FH 丄 BC. FH 丄平面 ABCD , FH 丄 AC ,又 FH/BC , AC=EG.又 AC 丄 BD , EG - BD=G , AG 丄平面 EDB.(III )解：EF FB , / BFC=90 , BF 丄平面 CDEF , 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK 丄 DE交 DE 的延长线于 K , 则/ FKB 为二面角 B DE C 的一个平面角.设 EF=1 ,贝 U AB=2 , FC=、2, DE=.3又

20、 EF/DC, / KEF= / EDC , sin/EDC=sin / KEF=43 FK=EFsin / KEF=二？ , tan/ FKB=匹二.3,/ FKB=60 爲FK二面角 B DE C 为 60 .向量法四边形 ABCD 为正方形，AB 丄 BC ,又 EF/AB , EF 丄 BC. 又 EF 丄 FB ,EFFH,又 BF=FC,建立如图所示坐标系.设 BH=1 ,则 A (1 , 2 , 0), B (1, 0 , 0),C ( 1, 0 , 0), D ( 1, 2 , 0), E ( 0, 1,1),F ( 0 , 0 , 1).(I)证：设 AC 与 BD 的交点为

21、 G ,连 GE , GH ,TTT TEF 丄平面 BFC.AB 丄 FH.H 为 BC 的中点， FH 丄 BC, FH 丄平面 ABC.以 H 为坐标原点，HB 为 x轴正向，HF 为 z轴正向,则G(0,-1,0), CE =(0,0,1),又 HF =(0,0,1) HF /GE.GE二平面 EDB , HF 不在平面 EDB 内，二 FH /平面 EBD ,- -1(II)证：AC =(-2,2,0),GE =(0,0,1),AC GE = 0” AC _ GE.又 AC 丄 BD, EGABD=G ,二 AC 丄平面 EDB. (Ill )解：BE =(-1,-=(-2,-2,0

22、).设平面 BDE 的法向量为& =（1, %,召）,则BE住-1 - y10, BD n勺-1 - 2y二0,j 1,乙=0即! =(1,一1,0).CD =(0,一2,0), CE =(1,-1,1),设平面 CDE 的法向量为故 n2=(1,0,-1),n1n211COS：n1,n2,I n1| j n2|嶺忑2.：n1,n2= 60：即二面角 B DE C 为 60 .n2=(1”2，由于 M 在 I 上，故2x0- y0 1 = 0.（19）（本小题满分 13 分）本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对

23、称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识 2 2解：（I）设椭圆 E 的方程为与占=1a2b2由 e =1,即卩 =l,a =2c,得 b2=a2c2=3e2,2 a 22 2.椭圆方程具有形式 二爲=1.4c23e213将 A( 2，3)代入上式，得冷号=1,解得 c = 2,c c2 2椭圆 E 的方程为-1.16 12（II）解法 1：由（I）知斤（一2,0）丁2（2,0），所以直线 AF1的方程为：3y(x 2),即 3x -4y 6 =0,4直线 AF2的方程为：x =2.由点 A 在椭圆 E 上的位置知，直线 I 的斜率为正数若3x-4y=5x -10

24、,得 x 2y -0（因其斜率为负，舍去）所以直线 I 的方程为：2x - y -1 = 0.II解法 2： ：A(2,3),F1(-2,0), F2(2,0),. AR = (-4,-3),AF2= (0,-3).扯AL丄(_4, _3)丄(0, 一 3)=4(1,2).| AF1| AF2|535.K =2,. l:y-3=2(x-1)，即 2x-y-1=0.(III)解法 1 ：假设存在这样的两个不同的点B(x1, y1)和 C(x2,y2),设P（x, y）为 I上任一点，|3x -4y 6|5十-2|.由于 M 在 I 上，故2x0- y0 1 = 0.设 BC 的中点为 M(xg,

25、y。),则 xg =x12x2, y =* 2y2I *BC l , kbcy2X2X1222 2又 B, C 在椭圆上，所以有生上=1与竺上=1.16 1216 122 2两式相减，得 16 12X；X；即(捲+X2)(X2洛)十(% + y2)(y2yj _01612将该式写为1x .1=o,82x2XL62并将直线 BC 的斜率kBc和线段 BC 的中点，表示代入该表达式中，11得一x0y0= 0,即 3x0-2y0=0.812x2 得x2=2,y=3，即 BC 的中点为点 A，而这是不可能的.不存在满足题设条件的点 B和C.解法 2:假设存在B(x1, yi),C(x2, y2)两点关

26、于直线 I 对称，则I _ BC,. kBC二设直线 BC 的方程为 y1Tm,将其代入椭圆方程2 216=1,1得一元二次方程3x24( x m)2= 48，即 x2- mx m22-12 =0,则羽与x2是该方程的两个根,由韦达定理得x x2= m.1于是yry2(x1x2) 2m2 B, C 的中点坐标为(m,3m).243m23m4即 B, C 的中点坐标为(2, 3),与点 A 重合，矛盾.不存在满足题设条件的相异两点.又线段 BC 的中点在直线y = 2x -1 上,二 m T,得 m = 4.(20)(本小题满分 12 分)本题考查等差数列、 数学归纳法与充要条件等有关知识， 考

27、查推理论证、 运算求解能 力.证：先证必要性设数列an的公差为 d,若 d = 0,则所述等式显然成立,na1an 1再证充分性.证法1:(数学归纳法)设所述的等式对一切nN.都成立，首先，在等式两端同乘a1a2a3,即得 a a3=2a2,所以 q,a2,a3成等差数列,记公差为d,贝 Ua2= a d.假设ak，(k-1)d,当 n = k 1时，观察如下二等式111kaa2a2a3ak4akakak 1ak 1玄2玄3ak4ak将代入，得1 1-+-aa2a?a3+川+1anan 111-MH(丄a3an1an 1)1 an 1a1d a1an 1a1a2a2a3a1a3k -1a1a2

28、k -11a1akakak 1ka1ak 1a2 -a1a3 -a2a1a2a2a3a1an 1在该式两端同乘a1,aka1,得(k-1)ak 1 a = ka将ak= a (k -1)d 代入其中,整理后,得 ak 1=aikd.由数学归纳法原理知，对一切n N 都有 a*=印(n _ 1)d,所以an是公差为 d的等差数列.证法 2：直接证法依题意有1 1 +aa2a?a3+1111n+- =-,anan 1a1an 111+lll11n 1+a?a?a3anan 1an 1an 2a1an 22一得1n 1 n ?an lan 2alan 2aian 1在上式两端同乘san ian 2,

29、得冃=(n，1)ani-nani,同理可得印=nan-(n- 1)an 1,3一得2nan 1=n(S*2S*)即an 2一an 1 =an 1 -an,所以an是等差数列，(21)(本小题满分 13 分)本题考查离散型随机变量及其分布列， 考查在复杂场合下进行计数的能力， 能过设置密 切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用， 考查抽象概括 能力、应用与创新意识解：(I)X 的可能值集合为0, 2, 4，6，8.在 1，2, 3, 4 中奇数与偶数各有两个，所以a2,a3中的奇数个数等于a1,a3中的偶数个数，因此|1 c |13 - a3|与| 2-比|4 -a41的

30、奇偶性相同，从而X = (|1 - a?|13乱|)(| 2 - a?|14 - a|)必为偶数X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得 X 的值等于 0，2，4，6，8 各值的排列的例子.(II)可用列表或树状图列出1，2, 3，4 的一共 24 种排列，计算每种排列下的X 值,在等可能的假定下，得到X02468P13794242424242441(III)( i)首先P(X空2) =P(X =0) P(X =2)，将三轮测试都有X乞2的246概率记做 p，由上述结果和独立性假设，得1 1 p36321615(ii)由于p是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试216 1000都有X乞2的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测.20XX 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学