南京市、盐城市2016届高三第一次模拟考试数学

1、南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上1已知集合，则= .S1For I From 1 To 7 step 2SS + IEnd ForPrint S第4题图2已知复数（是虚数单位），则 .3书架上有本数学书，本物理书，从中任意取出本，则取出的两本书都是数学书的概率为 .4运行如图所示的伪代码，其结果为 .5某校高一年级有学生人，高二年级有学生人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出人，其中从高一年级学生中抽出人，则从高三年级学生中抽取的人数为 .6在平面直角坐标系中，已

2、知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，若曲线经过点，则其焦点到准线的距离为 .7已知实数满足则目标函数的最小值为 .8设一个正方体与底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 .ABCD第11题图9在中，设分别为角的对边，若，则边= .10设是等比数列的前项和，若，则的最小值为 .11如图，在中，则的值为 .12过点的直线与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，则直线的方程为 .13设是定义在上的奇函数，且，设 若函数有且只有一个零点，则实数的取值范围是 .14设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是

3、.二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内15(本小题满分14分)设函数的部分图象如图所示.Oxy第15题图2（1）求函数的解析式；（2）当时，求的取值范围.16(本小题满分14分)ACBMOA1C1B1第16题图如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，点是侧面的中心，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.17(本小题满分14分)如图所示，是两个垃圾中转站，在的正东方向千米处，的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在的北面建一个垃圾发电厂. 垃圾发电厂的选址拟满足以下两个要求（可看成三个点）：垃圾发

4、电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点到直线的距离要尽可能大）. 现估测得两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为吨和吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？BA··居民生活区第17题图北18(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，从原点向圆作两条切线分别与椭圆交于点，直线的斜率分别记为.（1）若圆与轴相切于椭圆的右焦点，求圆的方程；xO第18题图·yMPQ（2）若.求证：；求的最大值.19(本小题满分16分)已知函数在处的切线方程为.（1）求的值；（2

5、）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.20(本小题满分16分)设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为，.（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的通项公式；（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学附加题（本部分满分40分，考试时间30分钟）21选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） A.（选修4

6、1：几何证明选讲）ABDEO第21(A)题图C·如图，为的直径，直线与相切于点，、为垂足，连接. 若，求的长.B.（选修42：矩阵与变换）设矩阵的一个特征值为，若曲线在矩阵变换下的方程为，求曲线的方程.C（选修44：坐标系与参数方程）在极坐标系中，已知点的极坐标为，圆的极坐标方程为，试判断点和圆的位置关系.D(选修45：不等式选讲）已知正实数满足.求证：. 必做题（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）22（本小题满分10分）直三棱柱中，.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求实数的值.BACDB1A1C1第22题图23（本

7、小题满分10分）设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为.（1）求，的值；（2）猜想的表达式，并证明之.南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15解：（1）由图象知， 2分又，所以，得. 4分所以，将点代入，得，即，又，所以. 6分所以.

8、8分（2）当时， 10分 所以即. 14分16证明：（1）在中，因为是的中点，是的中点，所以. .4分又平面，平面，所以平面. .6分（2）因为是直三棱柱，所以底面，所以，又，即，而面，且，所以面. .8分而面，所以，又是正方形，所以，而面，且，所以面. .12分又面，所以面面. .14分17解法一：由条件，得. .2分设，则， .6分所以点到直线的距离， .10分所以当，即时，取得最大值15千米. 即选址应满足千米，千米. .14分解法二：以所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系. .2分BA··yxOP则.由条件，得. .4分设，则，化简得， .10分即点的

9、轨迹是以点（）为圆心、为半径的圆位于轴上方的半圆.则当时，点到直线的距离最大，最大值为千米.所以点的选址应满足在上述坐标系中其坐标为即可. .14分18解：（1）因为椭圆右焦点的坐标为，所以圆心的坐标为 .2分从而圆的方程为. 4分（2）因为圆与直线相切，所以，即， 6分同理，有，所以是方程的两根， 8分从而. 10分设点，联立，解得， 12分同理，所以 14分， 当且仅当时取等号. 所以的最大值为. 16分19. 解：（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，所以，得. 4分（2）由（1）知对任意都成立，所以，即对任意都成立，从而 6分又不等式整理可得，令，所以，得， 8分当时，函数在上单调递

10、增，同理，函数在上单调递减，所以，综上所述，实数的取值范围是. 10分（3）结论是. 11分证明：由题意知函数，所以，易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明. 12分因为是函数的两个零点，所以，相减得，不妨令，则，则，所以，即证，即证， 14分因为，所以在上单调递增，所以，综上所述，函数总满足成立. 16分20解：（1）因为单调递增，所以，所以，. 4分（2）根据题意可知，因为，所以可得即，又因为，所以单调递增，7分则，所以，即，所以是公差为2的等差数列，. 10分（3）构造，其中，. 12分下证数列满足题意.证明：因为，所以数列单调递增，所以， 14分所以，因为，所以数列单调递增，满

11、足题意. 16分（说明：等差数列的首项任意，公差为正数，同时等比数列的首项为负，公比，这样构造的数列都满足题意.）附加题答案21. A、解：因为与相切于，所以， 2分又因为为的直径，所以.又，所以，所以，所以. 4分又，所以.所以，所以， 6分又，所以. 10分B、由题意，矩阵的特征多项式，因矩阵有一个特征值为2，所以. 4分所以，即，代入方程，得，即曲线的方程为. 10分C、解：点的直角坐标为， 2分圆的直角坐标方程为， 6分则点到圆心的距离，所以点在圆外. 10分D、解：因， 6分又，所以，即. 10分22解：分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.则， 2分（1）当时，为的中点，所以，设平面的法向量为则，所以取，又，所以直线与平面所成角的正弦值为. 6分（2），设平面的法向量为，则，所以取. 8分又平面的一个法向量为，由题意得，所以，解得或（不合题意，舍去），所以实数的