专题15巧用相似解二次函数与圆相关题型(解析版)

1、专题15巧用相似解二次函数与圆相关题型解题方法：与圆相关的题型中借助相似三角形的性质将面积最值转化为线段最值求解，要灵活运用平 行线切割线段成比例的性质 .下面具体看几个例子，帮助同学们加以理解.1. (2019 江苏苏州中考)如图，抛物线y=x2+ (a+1) xa与x轴交于A B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C.已知 ABCW面积是6.(1)求a的值；(2)求 ABC7卜接圆圆心的坐标；(3)如图，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内， Q A是位于直 线BP同侧的不同两点，若点 P到x轴的距离为d, 4aPB勺面积为2d,且/ PAQ/AQB求点Q的

2、坐标.图 图【答案】见解析.【解析】解：(1)y=-x2+ (a+1) x-a令 y=0,即x2+ (a+1) x-a=0,解得 x1=a, x2=1,由图象知：a0)秒.若AOCfBMN目似，请直接写出t的值；BOQB否为等腰三角形？若能，求出 t的值；若不能，请说明理由.【答案】见解析.【解析】解：(1)二点A、B关于直线x=1对称，AB= 4, .A ( 1, 0), B (3, 0),代入 y=-x 2+bx+c 中，得：b=2, c=3，抛物线的解析式为 y=-x 2+2x+3 ,：C点坐标为(0, 3) .(2)设直线BC的解析式为y=mx+n,则有：m 1, n=3直线BC的解析

3、式为y=-x+3.点E、F关于直线x=1对称，E到对称轴的距离为1,EF=2：F点的横坐标为2,将x=2代入y=-x+3中，得：y=-2+3=1 F (2, 1).(3) t=1: M (2t,0 ) , MhLx 轴Q ( 2t,3-2t ), BOQ等腰三角形，分三种情况讨论第一种，当00= BCM, QW0B，0阵 MB2t=3-2t.Z, 4第二种，当 BO=BQ时，在 Rt A BMQ / OBQ=45BQ= B0= BM即 3=/(3 - 2t),.6 372 t =,4第三种，当00= 0B时，则点 Q C重合，此时t=0 ,而t0 ,故不符合题意，综上，当t=1或6 3亚时,

4、BOQ为等腰三角形.4435. (2019台州模拟)如图， ABC。的内接三角形，直径 AB= 10. sinA=1点D为线段AC上一动点(不运动至端点A、Q ,作DF AB于F,连结BD井延长BD交。O于点H,连结CF.(1)当DF经过圆心O时，求AD的长；(2)求证： ACM ABD(3)求CF? DH的最大值.【答案】见解析.【解析】（1）解：当DF经过圆心O时，AF= OA= 5,.AB 为直彳5, AB= 10, ./ACB= 90 ,. a BC 3SinAAB 5BC= 6,由勾股定理得：AC= 8,. AB! DE ./ AFD= / ACB= 90 , . / A= / A,

5、 . ADQ ABCAD AFAB AC AF AB 25. AD=AC 4 日口 AD AB即：AF AC又.一/ A为ACFABD勺公共角, . AC田 ABD(3)解：连接CH如图所示由(2)知 AC田 ABD.Z ABD= / ACF/ ABD= / ACH ./ ACH= / ACF又. / CAF= / H, . ACHh HCDCF AF 口 ，即 CF?DH= CD?AF,CD DH设 AD= x,则 CD= 8-x, AF= 4x, 5(8 - x)4. CF?DH= -x 5+32x55-(x-4)52+64,5当 x=4 时,一 64CF?DH的最大值为一 56. (20

6、19 湖南怀化中考)如图，在直角坐标系中有RtAAOB O为坐标原点，OB= 1, tan ZABO= 3,将此三角形绕原点 O顺时针旋转90。，得到RtCOD二次函数y=-x2+bx+c的图象刚好经过 A, B, C三八、(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标；(2)过定点Q的直线l： y=kx-k+3与二次函数图象相交于 M N两点.若Sa pm后2,求k的值；证明：无论k为何值， PMN1为直角三角形；当直线l绕着定点Q旋转时， PMM卜接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式.【答案】见解析【解析】解：（1）由题意知,OB= 1, tan/ABO= 3,. OA= 3, OO 3,即点A、B C的坐标分别为(0, 3)、( - 1, 0)、(3, 0),2将点(0, 3)、( - 1, 0)代入 y=- x +bx+c得二次函数表达式为：y = - x2+2x+3,顶点坐标为：P (1, 4);(2)联立 y = - x2+2x+3, y=kxk+3得：x - (2 k) x k = 0,设点M N的坐标为(xb y)、(x2, y2),贝U x1+x2= 2 k, x1x2= k,y1+y2=k (x1+x2) 2k+6=6 k?,同理：yy2= 9 - 4k2,丫= kx