定积分在生活中地应用

1、才戾4农茨PINGDINGSHAN UNIVERSITY院 系：经济与管理学院题 目：定积分在生活中的应用年级专业：11级市场营销班学生姓名：孙天鹏定积分在生活中的应用定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是 与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星 三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天 文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类 知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。一、定积分的概述1、定积分的定义：设函数f x在区间a,b上有界.在a,b中任意插入若干个分点a xo xi L人1 x.

2、 b,把区间a,b分成n 个小区间xo,Xi , MX ,L , Xni,Xn ,且各个小区间的长度依次为洛人X。，X2X2 Xi，XnXnXn 1。在每个小区间Xii,Xi上任取一点i，作函数f i与小区间长度X的乘积nf i Xi ( i 1,2,L ,n),n作出和S f i x。记P max %, X2丄，xn作极限pm。f i xP 0 i d如果不论对a,b怎样分法，也不论在小区间Xii，Xi上点i怎样取法，只要当P 0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f x在区间a,b上的定积分(简称积分)，记作:f x dx，即nx dx = I = limIP 0i i其

3、中f x叫做被积函数，f x dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做 积分下限，b叫做积分上限，a,b叫做积分区间。2 .定积分的性质设函数f x和g x在a,b上都可积，k是常数，则kf x和f x + g x都可积，并且性质1bbkf x dx = k f x dx ;aa1性质2g x dx =bxdx+ ag Xdxbbbf x g x dx = f x dx-g x dx.aaa性质3定积分对于积分区间的可加性设f x在区间上可积，且a , b和c都是区间内的点，则不论a , b和c的 cbc相对位置如何，都有f x dx= f x dx + f x dx。1aab性质 4如果在

4、区间a,b上f x 1，贝S b1dx= dx= b a。丿aa性质 5如果在区间a,b上f x0,贝Sf x dx 0 a b。ab性质 6 如果在a,b上,m f (x) M ,贝S m(b a) f (x)dx M (b a)a性质7 (定积分中值定理)如果f(x)在a,b上连续，则在a,b上至少b存一点 使得 f (x)dx f ( )(b a)a3 .定理定理1微积分基本定理x如果函数f x在区间a,b上连续，则积分上限函数x = f tdt在a,b上axd f t dt可导，并且它的导数是x = a = f x a x b .dx定理2原函数存在定理x如果函数f x在区间a,b上连

5、续，则函数x = f t dt就是f x在aa,b上的一个原函数.定理3如果函数F x是连续函数f x在区间a,b上的一个原函数，b贝y f x dx= F b F aa称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.二、定积分的应用1、定积分在几何中的应用(1 )设连续函数f(x)和g(x)满足条件g(x) f(x) , x a,b.求曲线y f (x) , y g(x)及直线x a,x b所围成的平面图形的面积S .(如图1) 解法步骤：y = /W第一步：在区间a,b上任取一小区间x,x dx，并考虑它上面的图形的 面积，这块面积可用以f(x) g(x)为 高，以dx为底的矩形面积近似，于是 dS f

6、 (x) g(x)dx .第二步：在区间a,b上将dS无限求 和，得到 Sb f (x) g(x)dx .a图2d厂v + dv7M =帆叭0x(2)上面所诉方法是以x为积分变量 进行微元，再求得所围成图形的面积； 我们还可以将y作为积分变量进行微 元，再求围成的面积。由连续曲线 x (y)、x (y)其中(y)(y)与直线y c、y d所围成的平面图形(图2) 的面积为：dS c (y) (y)dy例1求由曲线 y sin x, y cosx 及直线x 0 , x 所围成图形的面积 A.解(1 )作出图形，如图所示.易知，在0,上，曲线y sinx与y cosx的交点为(匚，)；42(2)取

7、x为积分变量，积分区间为0,.从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分；(3 )区间0,-上这一部分的面积Al和区间-,上这一部分的面积A2 44分别为A4 (cosx sinx)dx ,A2(sinx cosx)dx ,所以，所求图形的面积为A A-i A2 = 4 (cosx sinx)dx+ (sin x cosx)dxsin x cosx(4cosx sin x 2 2 .42 2例2求椭圆务芯1的面积.a b解椭圆关于x轴,y轴均对称，故所求面积为第一象限部分的面积的4倍，即aS 4S 4 0 ydx利用椭圆的参数方程x acosty bsint应用定积分的换元法,dx asint

8、dt且当x 0时,t ,x a时,t 0,于是0S 4 bsint( acost)dt2 24ab 2sin tdt04ab2I0cos2t lx dt2t 14absi n2t242 .求旋转体体积2 ab0用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割T : a X0 xiXnb划分成许多基本的小块，每一块的厚度为Xi(i 1,2, ,n),假设每一个基本的小块横切面积为A(Xi )(i1,2, ,n)，A(x)为a,b上连续函数，则此小块的体积大约是A(x) Xi，将所有的小块加起来，令T 0,我们可以得到其体积:a A(x)dx求由

9、曲线xy 4,直线x1 ,x 4 , y 0绕x轴旋转一周而形成的立体体积.解 先画图形，因为图形绕x轴旋转，所以取x为积分变量，x的变化区间为1,4，相应于1，4上任取一子区间x,x+dx的小窄条，绕x轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为dx替，即体积微元为24 2dV = n dx=冗(一)dx,x于是，体积底面积为即2的小圆柱体体积近似代(-)2dxx4 1 =16 n 2 dx1子16 n1 ；=12 n.x3.求曲线的弧长(1 )设曲线y f(x)在a,b上有一阶连续导数(如下图)，利用微元法,取x为积分变量，在a,b上任取小区间x,x dx，切线上相应小区间的小段MT的长度近似代替

10、一段小弧MN的长度，即Imn ds得弧长微元为: ds MT . (dx)2 (dy)2. 1 (y )2dx ,再对其积分，则曲线的弧长为：sbds 1 (y)2dxb 1 f (x)2dxaaa(2)参数方程表示的函数的弧长计则曲线的弧长为s ds (t)(t) dt例3(1)求曲线 2y-x3.13y2(ba解由公式s =32上从0到3 一段弧的长度a b)知,弧长为2、1 xdx = - (133x)2(2)求摆线；a(1 在0 t 2上的一段弧的长度(a 0)解 取t为积分变量，积分区间为0,2 .由摆线的参数方程，得x a(1 cost)， y a si nt，x2 y2, a2(

11、1 cost)2 a2 sin2t于是，由公式(16-13 )，在0 ta. 2(1 cost)t2a | sin | .22上的一段弧的长度为2t2ts 0 2a|sin2|dt0 2asin2dt4a2 t cos-8a2、定积分在经济中的应用(1 )、由经济函数的边际，求经济函数在区间上的增量根据边际成本，边际收入，边际利润以及产量x的变动区间a,b上的改变量(增量)就等于它们各自边际在区间a,b上的定积分：bR(b) R(a) R (x)dx(1 )abC(b) C(a) C (x)dx(2)a7bL(b) L(a) L (x)dx(3)例1已知某商品边际收入为 0.08x 25 (万

12、元/t )，边际成本为5 (万元 /t ),求产量x从250t增加到300t时销售收入R(x)，总成本C(x),利润I(x) 的改变量(增量)。解首先求边际利润L (x) R(x) C (x)0.08x 25 50.08x 20所以根据式(1)、式(2)、式(3),依次求出:300R(300) R(250)C (300) C(250)L(300) L(250)250300250300250R(x)dxC (x)dxL (x)dx300250300250300(0.08x 25)dx = 150 万元dx=250万元(0.08x250 20)dx =100万元(2)、由经济函数的变化率，求经济函

13、数在区间上的平均变化率t2f (t)dt设某经济函数的变化率为f (t),则称 为该经济函数在时间间隔t2 t1 t2,tl内的平均变化率。例2某银行的利息连续计算，利息率是时间t (单位：年)的函数：r(t) 0.08 求它在开始2年，即时间间隔0，2内的平均利息率。解 由于0 0.16 0.02.2Q2r(t)dt：(0.08 0.015,t)dt 0.16 0.01仁口所以开始2年的平均利息率为20r(t)dt-r -0.08 0.01,20.0942 0例3某公司运行t (年)所获利润为L(t)(元)利润的年变化率为L(t) 3 105(元/年)求利润从第4年初到第8年末，即时间间隔3

14、， 8内年平均变化率解 由于338 105:L(t)dt ：3 1O5 .fldt 2 105 (t 1)所以从第4年初到第8年末，利润的年平均变化率为83L(t)dt5-7.6 105 (兀 / 年)8 3即在这5年内公司平均每年平均获利7.6 105元。(3 )、由贴现率求总贴现值在时间区间上的增量设某个项目在t (年)时的收入为f(t)(万元)，年利率为r，即贴现 率是f(t)ert ,则应用定积分计算，该项目在时间区间a,b上总贴现值的增量brt为 f(t)e n dt oa设某工程总投资在竣工时的贴现值为A (万元)，竣工后的年收入预计为a (万元)年利率为r，银行利息连续计算。在进

15、行动态经济分析时， 把竣工后收入的总贴现值达到 A，即使关系式Toae dt A成立的时间T (年)称为该项工程的投资回收期。例4某工程总投资在竣工时的贴现值为1000万元，竣工后的年收入预计为200万元，年利息率为0.08，求该工程的投资回收期。解 这里A 1000，a 200，r 0.08，则该工程竣工后T年内收入的总 mm古斗T0.08t M200 0.08t T “cc0.08T.贴现值为200e dt e 2500(1 e )0 0.08令 2500(1 e 0.08T )=1000，即得该工程回收期为T11000、1一Tln(1)In 0.6 =6.39 (年)0.0825000.083、定积分在物理中的应用1、求变速直线运动的路程我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v (t) ( v(t)0)在时间区间a,b上的定积分，即s bv(t)dta如图例1、一辆汽车的速度一时间曲线所示.求汽车在这1 min行驶的路程.解：由速度一时间曲线可知：3t,0 t 10,v(t) 30,10 t 401.5t 90,40 t 60.因此汽车在这1 min行驶的路程是:104060s 0 3tdt i03dt 40( 1.5