人教B版必修第四册11.1.4棱锥与棱台学案

1、关键能力-素养形成类型一棱锥及其有关概念【典例】1.下面图形所表示的几何体中，不是棱锥的为()BCD2.所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥的一个面重合后暴露的面的个数为个.【思维弓I】1.看是否同时满足以下两点：(1)有一个面是多边形.(2) 其余各面都是有一个公共顶点的三角形.2.注意到有两个正三角形面合并成一个平行四边形面.【解析】1.选A.选项A中的几何体不满足有一个面是多边形，其余各 面都是有一个公共顶点的三角形，所以不是棱锥；选项B,C,D中的几 何体是棱锥.2.如图(1)(2)所示分别是所有棱长都相等的正四棱锥和正三棱锥.图(3)是它们拼接而成的一个几何体.故暴露的面数为5个.II

2、) (3)答案：5【内化悟】1 .解决与棱锥概念有关的问题主要从哪些方面考虑 ？提示：解决与棱锥概念有关的问题主要从棱锥的侧面、侧棱、底面、 顶点、高等方面考虑2 .正棱锥中的几个重要的直角三角形：如图所示，正棱锥S-ABCD中, 点O为底面中心，M是CD的中点，则ASOMaSOC匀是直角三角形，很 明显，zSMCASMD, OM(&是直角三角形.【类题通】判断棱锥形状的两种方法(1)直接法：利用棱锥的定义，看是否只有一个多边形，此面为底面, 再看其他面是否是有一个公共顶点的三角形.(2)举反例：结合棱锥的定义举反例直接判断关于棱锥结构特征的某 些说法不正确.【习练破】1 .三棱锥的四

3、个面中可以作为底面的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选D.三棱锥的每一个面均可作为底面.2 .正四棱锥的侧棱 长是底面边长的k倍，则k的取 值范围是()A.(0,+ °°)Big，+ 8)C.(0,+ s)【解析】选D.由正四棱锥的定义知，在正四棱锥S-ABCB,S在底面ABCD3的射影。为正方形的中心，而 SA>OA=AB, 2所以一 4AB 2【加练固】1 .在下列多面体中，有5个面的是（）A.四棱锥 B.五棱锥 C.四棱柱D.五棱柱【解析】选A.从侧面和底面去考虑.2 .具有下列性质的三棱锥中，哪一个是正棱锥（）A.顶点在底面上的射影到底面各

4、顶点的距离相等B.底面是正三角形，且侧面都是等腰三角形C.相邻两条侧棱间的夹角相等D.三条侧棱长相等，且顶点在底面上的射影是底面三角形的内心【解析】选D.A错，由已知能推出顶点在底面上的射影是三角形的外 心，但底面三角形不一定是正三角形 出错，侧面是等腰三角形，不能说 明侧棱长一定相等，可能有一个侧面是侧棱和一底边长相等，此时推 不出正棱锥；C错,相邻两条侧棱间的夹角相等，但侧棱长不一定相等， 此时显然不可能推出正棱锥；D正确，由侧棱长相等保证了顶点在底面 上的射影是底面三角形的外心，而内心、外心合一的三角形一定是正 三角形.类型二棱台及其有关概念【典例】1.下列几何体是棱台的是(写出所有满足

5、题意的序号). ® 2.在正四棱台内作一个内接棱锥，该棱锥以这个棱台的上底面正方形 作底，以下底面正方形的中心作顶点.如果棱台上、下底面的边长分别 为a和b,棱台和这个内接棱锥的侧面积相等，求这个内接棱锥的高 以及本题有解的限制条件.【思维弓I】1.看是否同时满足以下两点：(1)是由棱锥截得的,(2) 截面平行于底面.2.可以根据侧面积相等建立方程，解方程或者根据方程判断解的情况 即可得出结论.【解析】1.都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故不满 足题意；中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故不满足题 意;符合棱台的定义.答案：2.设内接棱锥的高为x,则棱锥的斜高hi=/ +

6、 (3棱台的斜高 h2=卜 + （子）:由棱台和内接棱锥的侧面积相等可得关于x的方程一 . 4a2, /x2 e）二2. 4（a+b） x2 + （不）.解方程可得1b（2a2b2）x=- 1.2 2a+b答：这个内接棱锥的高为9 JW 当a，b满足 0<a<b</2a 时,本 题有解.【内化悟11 .解决与棱台概念有关的问题主要从哪些方面考虑 ？提示：解决与棱台概念有关的问题主要从侧面、侧棱、上底面、下底面、顶点、高等方面考虑.2 .正棱台中的几个重要的直角梯形：如图所示，由斜高、侧棱构成的直 角梯形EiECCffi EEBEB,由斜高、高构成的直角梯形 OEEO,由高、侧

7、 棱构成的直角梯形OOCC【类题. ill判断是否为棱台的两种方法(1)直接法：利用棱台的定义，看是否有两个平面平行，面积较大者为 下底面,再看其他面与面的交线是否相交于同一点.(2)举反例：结合棱台的定义举反例直接判断关于棱台结构特征的某 些说法不正确.【习练破】1 .棱台不具有的性质是()A.两底面相似B.侧面都是梯形C.侧棱长都相等D.侧棱延长后交于一点【解析】选C.棱台是由平行于棱锥的底面的平面截棱锥得到的，棱锥 的侧棱长不一定相等，所以棱台的侧棱长也不一定相等.A,B,D选项都 正确.2 .一个几何体的平面展开图如图所示.ft(1)该几何体是哪种几何体？ 该几何体中与“祝”面相对的是

8、哪个面？与“你”面相对的是哪个面？【解析】(1)该几何体是四棱台.与“祝”面相对的是“前”面，与“你”面相对的是“程”面.【加练固】1 .如图所示，从三棱台A B' C' -ABC中截去三棱锥 A' -ABC, 则剩余部分是（）A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱D.三棱台【解析】选B.剩余部分是四棱锥A' -BB' C' C.2.判断图中的几何体是否是棱台，并说明为什么.（I）叫【解析】棱台的两个底面互相平行，且各侧棱延长一定会交于一点 本题可以利用此性质延长各几何体侧棱，从而判断该几何体是否是棱 台.（I）口（1）侧棱延长后不交于一点，故不是棱

9、台；（2）上下两个面不平行，故不是棱台；（3）上下两个面平行，侧棱延长后交于一点，故是棱台.类型三 棱锥、棱台的有关计算问题角度1棱锥中的有关计算问题【典例】侧面都是直角三角形的正棱锥，底面边长为a,则此棱锥的全A.面积是 （）Ba2C,竺世a2D.以上都不对4【思维弓I】首先要搞清楚这个正棱锥只能是正三棱锥，再者侧面应 是等腰直角三角形.【解析】选A.因为正棱锥的同一个顶点上的各侧面顶角之和小于360 ,所以该棱锥只能是正三棱锥，侧面为等腰直角三角形，又因为底面边长为a,所以侧棱长为a,侧面积为3弓x4a 争=看,而底面积为a2, 4所以全面积为 a2.4【素养.探】在棱锥的有关计算中，经常

10、利用核心素养中的数学运算，通过对题 设条件与所求结论的分析，选择合适的计算公式，寻找合理的计算方 法求解.例如：若正三棱锥的斜高是高的 手倍,则棱锥的侧面积是底 面积的 （ ）A.2倍 B.2倍 C；倍D.3倍kJ【解析】选B.由已知易求斜高与高的夹角为30 ,进而求得对于同一 底边，侧面三角形和底面三角形的高的比为 2 : 3,由此易得答案.角度2棱台中的有关计算问题【典例】正四棱台的高是12 cm,两底面边长相差10 cm,表面积是512 cmi,则两底面的边长分别是 . 【思维弓I】棱台的表面积等于它各个面的面积之和，且各个侧面是 全等的等腰梯形.【解析】如图所示，设正四棱台的上底面边长

11、 AB=a cm,则下底面边长 AB=(a+10)cm,高 OG=12 cm,所以斜高 EE=+ (OE-O1£1)2=/122 + 52 = 13(cm).所以 a2+(a+10)2x4x (2a+10) x 13=512. jiLi解得 a=2(a=-38 舍去)，则 a+10=12,即下底面边长为12 cm,上底面边长为2 cm.答案：2 cm,12 cm【类题通】1 .解决棱锥表面积问题的两个转化一是空间几何体的表面积运算，一般先转化为平面几何图形的运算； 二是正棱锥的高、斜高、底面边心距组成的直角三角形 ，把问题转化 到三角形内加以分析，求解相应的元素.2 .解决棱台表面积

12、问题的两个转化一是空间几何体的表面积运算，一般先转化为平面几何图形的运算；二是正棱台的高、斜高、底面边心距组成的直角梯形，高、侧棱、底面中心与侧棱端点的连线组成的直角梯形，把问题转化到平面图形内 加以分析，求解相应的元素.【习练破】1 .在正方体ABCD-A1C1D中，以顶点A,C,Bi,Di为顶点的正三棱锥的全面积为43,则正方体的棱长为（）A. U B.2C.4D.2【解析】选A.设正方体的棱长为a,侧面的对角线长为V2a, 所以正三棱锥A-CBD的棱长为戏a,它的表面积为所以 a2=2,即 a=V2.2 .如图所示，正四棱锥底面正方形的边长为4 cm,高与斜高的夹角为 300 ,求该正四

13、棱锥的侧面积和表面积【解析】正四棱锥的高PO,斜高PE,底面边心距OES成一个RtAPOE.一、，_, 、 0E因为 OE=2 cm,/ OpE=30，所以 PEk=4(cm).因止匕 S正四棱锥侧 Jx 4X ABX PE=x 4X 4X4=32(cm2),222、S正四棱锥表二S正四棱锥侧+S正四棱锥底=32+4X 4=48(cm).【加练固】已知正六棱台的两底面边长分别为 1 cm和2 cm,高是1 cm,求 它的侧面积.【解析】如图所示，是正六棱台的一个侧面及其高组成的一部分 (其余部分省略),则侧面ABBAi为等腰梯形，00为高，且 OO=1 cm,AB=1 cm,AiB=2 cm,取 AB和AB的中点C,Ci,连接0C,CC0iG,则CC为正六棱台的斜高且四边形O