步步高北师大版(数学文)2017版大一轮复习讲义：4.8 解三角形的综合应用[来源：学优高考网1096192]

1、1仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)2方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等3方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180°.(×)(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，(×)(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)如

2、图，为了测量隧道口AB的长度，可测量数据a，b，进行计算()1海面上有A，B，C三个灯塔，AB10 n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则BC等于()A10 n mile B. n mileC5 n mile D5 n mile答案D解析如图，在ABC中，AB10，A60°，B75°，BC5.2若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且ACBC，则点A在点B的()A北偏东15° B北偏西15°C北偏东10° D北偏西10°答案B解析如图所示，ACB90

3、°，又ACBC，CBA45°，而30°，90°45°30°15°.点A在点B的北偏西15°.3如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km，参考数据：1.732)()A11.4 km B6.6 kmC6.5 km D5.6 km答案B解析AB1 000× km，BC·sin 30° km.航线离山顶h&

4、#215;sin 75°×sin(45°30°)11.4 km.山高为1811.46.6 km.4轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h,15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是_n mile.答案70解析设两船之间的距离为d，则d25023022×50×30×cos 120°4 900，d70，即两船相距70 n mile.5如图所示，已知树顶A离地面米，树上另一点B离地面米，某人在离地面米的C处看此树，则该人离此树_

5、米时，看A，B的视角最大答案6解析过C作CFAB于点F，设ACB，BCF，由已知得AB5(米)，BF4(米)，AF9(米)则tan()，tan ，tan ().当且仅当FC，即FC6(米)时，tan 取得最大值，此时取得最大值题型一求距离、高度问题例1(1)如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50 m，ACB45°，CAB105°，则A，B两点的距离为()A50 m B50mC25 m D. m(2)(2015·湖北)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，

6、行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD_m.答案(1)A(2)100解析(1)由正弦定理得AB50(m)(2)在ABC中，AB600，BAC30°，ACB75°30°45°，由正弦定理得，即，所以BC300.在RtBCD中，CBD30°，CDBCtanCBD300·tan 30°100.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他

7、量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理(1)一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°的方向上，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为_海里/小时(2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为_m.答案(1)(2)3030解析(1)由题意知，在PMN中，PM68海里，MPN75°45°120°，

8、MNP45°.由正弦定理，得，解得MN34海里，故这只船航行的速度为海里/小时(2)在PAB中，PAB30°，APB15°，AB60，sin 15°sin(45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°××，由正弦定理得，PB30()，树的高度为PB·sin 45°30()×(3030)m.题型二求角度问题例2(1)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察

9、站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的_方向(2)如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30° B45°C60° D75°答案(1)北偏西10°(2)B解析(1)由已知ACB180°40°60°80°，又ACBC，AABC50°，60°50°10°，灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.(2)依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以

10、在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0°<CAD<180°，所以CAD45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.思维升华解决测量角度问题的注意事项(1)首先应明确方位角或方向角的含义(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角的大小若AB15

11、m，AC25 m，BCM30°，则tan 的最大值是_(仰角为直线AP与平面ABC所成角)答案解析如图，过点P作POBC于点O，连接AO，则PAO.设COx m，则OPx m.在RtABC中，AB15 m，AC25 m，所以BC20 m所以cosBCA.所以AO (m)所以tan .当，即x时，tan 取得最大值为.题型三三角形与三角函数的综合问题例3已知函数f(x)2sin22sincos.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A满足f(A)1.若a3，BC边上的中线长为3，求ABC的面积S.解(1)由题意知，f(x)si

12、n(1sin 2x)cos 2xsin 2xcos 2x2sin，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)由f(A)1，得sin，2A或，即A0或.又A为ABC的内角，A.由A，a3，得|a3，又BC边上的中线长为3，知|6，联立，解得·，即|·|·cos ，|·|.ABC的面积为S|·|·sin .思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a1

13、，2cos Cc2b，则ABC的周长的取值范围是_答案(2,3解析在ABC中，由余弦定理可得2cos C，a1,2cos Cc2b，c2b，化简可得(bc)213bc.bc2，(bc)213×2，解得bc2(当且仅当bc时，取等号)故abc3.再由任意两边之和大于第三边可得bc>a1，故有abc>2，故ABC的周长的取值范围是(2,39函数思想在解三角形中的应用典例(12分)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方

14、向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由思维点拨(1)利用三角形中的余弦定理，将航行距离表示为时间t的函数，将原题转化为函数最值问题；(2)注意t的取值范围规范解答解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则1分S .3分故当t时，Smin10，v30.即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小6分(2)设小艇与轮船在B处相遇则v2t2400900t22&

15、#183;20·30t·cos(90°30°)，8分故v2900.0<v30，900900，即0，解得t.又t时，v30，故v30时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20.11分故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时12分温馨提醒(1)三角形中的最值问题，可利用正弦、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义方法与技巧1利用解三角形解决实际问题时，(1)要理解题意，整合题目条件，画出示意图，建立一个三角形模型；

16、(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函数模型中，要确定相应参数和自变量范围，最后还要检验问题的实际意义2在三角形和三角函数的综合问题中，要注意边角关系相互制约，推理题中的隐含条件失误与防范1不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混2在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易出现错误A组专项基础训练(时间：40分钟)1在相距2 km的A，B两点处测量目标点C，若CAB75°，CBA60°，则A，C两点之间的距离为()A. km B. kmC. km

17、 D2 km答案A解析如图，在ABC中，由已知可得ACB45°，AC2×.2一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是()A10 海里 B10 海里C20 海里 D20 海里答案A解析如图所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30°，ACB45°，根据正弦定理得，解得BC10(海里)3.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d0.6 km，一艘客船从码头A出发

18、匀速驶往河对岸的码头B.已知AB1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A8 km/h B6 km/hC2 km/h D10 km/h答案B解析设AB与河岸线所成的角为，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin ，从而cos ，所以由余弦定理得22122××2×1×，解得v6.选B.4如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于()A240(1) m B180(1) mC120(1)

19、 m D30(1) m答案C解析如图，ACD30°，ABD75°，AD60 m，在RtACD中，CD60 m，在RtABD中，BD60(2)m，BCCDBD6060(2)120(1)m.5.如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15°，BDC30°，CD30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中，CBD180°15°30°135°.由正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB15&

20、#215;15.6江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距_m.答案10解析如图，OMAOtan 45°30 (m)，ONAOtan 30°×3010 (m)，在MON中，由余弦定理得，MN 10 (m)7在200 m高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为_m.答案 解析如图，由已知可得BAC30°，CAD30°，BCA60°，ACD30&#

21、176;，ADC120°.又AB200 m，AC m.在ACD中，由余弦定理得，AC22CD22CD2·cos 120°3CD2，CDAC m.8(2015·萍乡模拟)如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60°，C点的仰角CAB45°以及MAC75°；从C点测得MCA60°.已知山高BC100 m，则山高MN_ m.答案150解析在RtABC中，AC100 m，在MAC中，由正弦定理得，解得MA100 m，在MNA中，MNMA·sin 60°150

22、 m即山高MN为150 m.9.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上(1)求渔船甲的速度；(2)求sin 的值解(1)依题意知，BAC120°，AB12，AC10×220，BCA.在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22AB·AC·cosBAC1222022×12×20×cos 120°784.解得BC28.所以渔船甲的速度为14海里/小时(2)

23、在ABC中，因为AB12，BAC120°，BC28，BCA，由正弦定理，得，即sin .10.如图，在ABC中，ABC90°，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90°.(1)若PB，求PA；(2)若APB150°，求tanPBA.解(1)由已知得PBC60°，所以PBA30°.在PBA中，由余弦定理得PA232××cos 30°，故PA.(2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，化简得cos 4sin ，所以tan ，即tanPBA.B组专项能力提升(时间：15分钟)11一个大型

24、喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A50 m B100 mC120 m D150 m答案A解析设水柱高度是h m，水柱底端为C，在RtBCD中，CBD30°，BCh.在ABC中，A60°，ACh，AB100，根据余弦定理得，(h)2h210022·h·100·cos 60°，即h250h5 0000，即(h50)(h100)0，即h50，故水柱的高度是50 m.12.如图，一艘船上午930在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午1000到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8n mile.此船的航速是_ n