二次函数复习课件 (2)

1、二次函数定义 青田县腊口铁中集团石帆学校 麻丽娟已知函数已知函数y（m2m）x2（m1）xm1.（1）若这个函数是一次函数，求）若这个函数是一次函数，求m的值；的值；（2）若这个函数是二次函数，则）若这个函数是二次函数，则m的值应满足的值应满足什么条件？什么条件？例题讲解明确起点：明确起点：明辨明辨a，b，c知识链接 知识点 二次函数的定义一般地，形如一般地，形如（a，b，c是常数，是常数，a0）的函数，）的函数，叫做二次函数叫做二次函数.其中，其中，x是自变量，是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项项系数、一次项系数和常数项.注意条件：注意

2、条件：a，b，c限制条件限制条件已知函数已知函数y（m2m）x2（m1）xm1.（1）若这个函数是一次函数，求）若这个函数是一次函数，求m的值；的值；（2）若这个函数是二次函数，则）若这个函数是二次函数，则m的值应满足的值应满足什么条件？什么条件？例题讲解明确起点：明确起点：明辨明辨a，b，c (1)根据一次函数的定义，得根据一次函数的定义，得m2m0，解得解得m0或或m1，又又m10，即，即m1.当当m0时，这个函数是一次函数时，这个函数是一次函数(2)根据二次函数的定义，得根据二次函数的定义，得m2m0，解得解得m10，m21.当当m0且且m1时，这个函数是二次函时，这个函数是二次函数数方

3、法总结对于此类题目，应关注二次函数与一次函对于此类题目，应关注二次函数与一次函数的数的系数系数特点，特点，比如，比如，对于对于形如形如yax2bxc的函数解析式来说的函数解析式来说当当a0时，该函数是二次函数；时，该函数是二次函数；当当a0且且b0时，该函数是一次函数时，该函数是一次函数.积累经验：积累经验：学会回学会回到定义去解题到定义去解题二次函数yax2（a0）的图象 例题讲解知识链接本题中可本题中可根据根据a的符号的符号确定反比例确定反比例函数函数图象图象所所在象限在象限、二次函数图象开口方向来、二次函数图象开口方向来解决问题解决问题例题讲解只有D选项图形符合方法总结对于这类题目，一般

4、要分类讨论，即讨论a0与a 0两种情况，然后对各选项运用排除法进行选择，如果有多项都符合，还需要判定两个图象的交点情况.二次函数ya（xm）2k（a0）的图象 例题讲解设函数设函数y（x1）（k1）x（k3）（k是常数）是常数）.（1）当）当k取取1和和2时的函数时的函数y1和和y2的图象如图的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取取0时函数的图象；时函数的图象； （2）根据图象，写出你发现的一条结论）根据图象，写出你发现的一条结论 （3）将函数）将函数y2的图象向左平移的图象向左平移4个单位，个单位， 再向下平移再向下平移2个单位，得到函数个单位，得

5、到函数y3的图象的图象 ，求函数，求函数y3的最小值的最小值.先根据题目条件先根据题目条件确定确定函数是一次函数是一次函数函数还还是二次函数，再根据是二次函数，再根据函数函数图象图象解决问题解决问题知识链接 知识点 一次函数的图象和二次函数的图象例题讲解当k0时，y(x1)(x3)，所画函数图象如图：设函数设函数y（x1）（k1）x（k3）（k是常数）是常数）.（1）当）当k取取1和和2时的函数时的函数y1和和y2的图象如的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取取0时函数的图象；时函数的图象；例题讲解设函数设函数y（x1）（k1）x（k3）（k是常数

6、）是常数）.（2）根据图象，写出你发现的一条结论）根据图象，写出你发现的一条结论；图象都过点(1，0)和点(1，4)；图象总交x轴于点(1，0)；k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；函数y(x1)(k1)x(k3)的图象都经过点(1，0)和(1，4)等等 (答案不唯一)例题讲解将函数y2(x1)2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数图象的解析式为y3(x3)22，当x3时，函数y3的最小值等于2.设函数设函数y（x1）（k1）x（k3）（k是常数）是常数）.（3）将函数）将函数y2的图象向左平移的图象向左平移4个单位，再个单位，再向下平移向下平移2个单位，得到函数个

7、单位，得到函数y3的图象，求函的图象，求函数数y3的最小值的最小值.方法总结函数图象的平移问题，可转化为点的平移，在平移前取函数图象的某些点，确定出平移后对应点的坐标，用待定系数法可求出函数表达式或利用这种方法检验答案是否正确.知识链接 知识点 二次函数的解析式 确定二次函数解析式常用确定二次函数解析式常用待定系数法待定系数法，根据条件，可有下列，根据条件，可有下列设立解析式的方法，便于解决问题：设立解析式的方法，便于解决问题：一般式：一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：顶点式：y=a(x-h)2+k 两点式：两点式：y=a(x-x1)(x-x2) 注意：（注意：（a0）(h,k)为顶点为顶

8、点.x1,x2为图像与为图像与x轴交轴交点坐标点坐标.例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式二次函数的表达式.（用三种解法回答）（用三种解法回答）明确起点：从二次函数明确起点：从二次函数的图像出发的图像出发例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式二次函数的表达式.（用三种解法回答）（用三种解法回答）明确起点：二次函数图明确起点：二次函数图像像.解法一（一般式法）：解法一（一般式法）：设所求二次函数的表达式是：设所求二次函数的表达式是： yax2bxc.二次函数的图象过点二次函数的图象过点(0，3)

9、，可，可求得求得c3.二次函数的表达式为二次函数的表达式为yx22x3.(0，3)(1，0)(3，0)例题讲解已知二次函数的图象如图所示，求该已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式二次函数的表达式.（用三种解法回答）（用三种解法回答）明确起点：明确起点：二次函数图二次函数图像像.解法二（顶点式法）：解法二（顶点式法）：二次函数的图象过点二次函数的图象过点(1，0)，(3，0)，可得对称轴为直线可得对称轴为直线x1，设所求二次函数的表达式为设所求二次函数的表达式为ya(x1)2k，二次函数的表达式为二次函数的表达式为y(x1)24， 即即yx22x3.x=1(1，0)(3，0)例题讲解

10、已知二次函数的图象如图所示，求该已知二次函数的图象如图所示，求该二次函数的表达式二次函数的表达式.（用三种解法回答）（用三种解法回答）解法三解法三(两点式法）两点式法）：由图可得二次函数的图象由图可得二次函数的图象与与x轴交点轴交点为：为： (3，0)，(0，3)，由两点式设二次函数的表达式为：由两点式设二次函数的表达式为：ya(x1)(x3).将将(0，3)代入，代入，则有则有a(01)(03)3，a1，y(x1)(x3)x22x3.明确起点：二次函数图明确起点：二次函数图像像.(1，0)(3，0)两点式：两点式：y=a(xx1)(xx2)， x1=1，x2=3方法总结积累经验：积累经验：学

11、会数形学会数形结合去解题结合去解题1、二次函数图象上已知任意三点，二次函数图象上已知任意三点， 可设一般式可设一般式yax2bxc来求解；来求解；2、已知函数图象上的对称点，得到对称轴，已知函数图象上的对称点，得到对称轴， 可设顶点式可设顶点式ya（xm）2 k来求解；来求解；3、已知抛物线与已知抛物线与x轴的交点坐标，轴的交点坐标， 可设可设两两点式：点式：ya(xx1)(xx2) 来求解来求解. 本题三种解法均可，但是本题三种解法均可，但是两点两点式更为便捷式更为便捷.例题讲解如果抛物线如果抛物线yax2 bxc过定点过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线，则称此抛物线为定点抛物线.

12、（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式你写出一条定点抛物线的一个解析式.小敏写出小敏写出了一个答案：了一个答案：y2x23x4，请你写出一个不，请你写出一个不同于小敏的答案；同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线：已知定点抛物线yx22bxc1，求该，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答解答.确定二次函数解析式常用确定二次函数解析式常用待定系数法待定系数法，根据条件，根据条件，可可选取顶点式选取顶

13、点式，便于解决问题便于解决问题： 顶点式：顶点式：ya(xh)2k 适用于：已知顶点坐标适用于：已知顶点坐标知识链接 知识点 二次函数的解析式例题讲解(1)选择（选择（1，1）为二次函数顶）为二次函数顶点，令二次项系数为点，令二次项系数为1，则依据顶点式得：则依据顶点式得：y（x1）1； 写成一般式：写成一般式：yx2x2；顶点式：顶点式：ya(xh)2k如果抛物线如果抛物线yax2 bxc过定点过定点M（1，1），则称此抛物线为定点抛物线，则称此抛物线为定点抛物线.（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式你写出一条定点抛

14、物线的一个解析式.小敏写出小敏写出了一个答案：了一个答案：y2x23x4，请你写出一个不，请你写出一个不同于小敏的答案；同于小敏的答案；例题讲解如果抛物线如果抛物线yax2bxc过定点过定点M（1，1），则），则称此抛物线为定点抛物线称此抛物线为定点抛物线.（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线：已知定点抛物线yx22bxc1，求该抛，求该抛物线物线顶点纵坐标顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答的值最小时的解析式，请你解答.积累经验：积累经验：学会学会联想顶点式联想顶点式(2)定点抛物线：定点抛物线：yx2bxc1（xb）bc1； 顶

15、点坐标为顶点坐标为（b，bc1），且），且12bc11，即：，即： c12b； 顶点纵坐标：顶点纵坐标：bc1b2b2（b1）1， 当当b1时，顶点纵坐标最小，此时时，顶点纵坐标最小，此时c1； 抛物线的解析式为：抛物线的解析式为：yx2x.方法总结对于此类题目，应关注二次函数的解析式对于此类题目，应关注二次函数的解析式的形式，的形式，根据题目中的条件选取最合适的根据题目中的条件选取最合适的二次函数解析式的形式来解决问题，达到二次函数解析式的形式来解决问题，达到解题的目的。解题的目的。例题讲解如图所示是抛物线形状的拱桥如图所示是抛物线形状的拱桥.已知水位在已知水位在AB位置位置时，水面宽时，水

16、面宽 m水位上升水位上升3m就达到警戒线就达到警戒线CD，这，这时水面宽时水面宽 m .若洪水到来时，水位以每小时若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到拱桥顶？拱桥顶？3464建立二次函数建立二次函数模型模型通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系,通常通常以图形的对称轴作为以图形的对称轴作为y轴轴建立二次函数模型，借助二次函数最值解决实际问题建立二次函数模型，借助二次函数最值解决实际问题用配方法或顶点坐标公式求二次函数最值用配方法或顶点

17、坐标公式求二次函数最值知识链接 知识点 二次函数的最值在实际问题中的应用例题讲解如图所示是抛物线形状的拱桥如图所示是抛物线形状的拱桥.已知水位在已知水位在AB位置位置时，水面宽时，水面宽 m水位上升水位上升3m就达到警戒线就达到警戒线CD，这，这时水面宽时水面宽 m .若洪水到来时，水位以每小时若洪水到来时，水位以每小时0.25m的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到的速度上升，问：过警戒线后几小时将淹到拱桥顶？拱桥顶？3464如图，以如图，以AB所在直线为所在直线为x轴，以轴，以AB的中点为的中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点在在y轴上，轴上，A、

18、B两点的坐标分别为（两点的坐标分别为（ ，0 ），（），（ ，0 ）；）；C、D两点的坐标分两点的坐标分别为（别为（ ，3），（），（ ，3 ）.62623232例题讲解设抛物线的函数表达式为设抛物线的函数表达式为 y=ax2+k.把点把点B、D的坐标分别代入的坐标分别代入 y=ax2+k，得，得 ，解，解得得 抛物线的函数表达式为抛物线的函数表达式为 ,顶点坐标为（顶点坐标为（0，6）.设设CD与与y轴交于点轴交于点N，则，则 N（0，3）. ON=3 m. OM=6 m， MN=6-3=3(m). 30.25=12(h).故过警戒线后故过警戒线后12h将淹到拱桥顶。将淹到拱桥顶。31202

19、4kaka641ka6412xy顶点式：顶点式：ya(xh)2k方法总结解决此类问题的关键是要建立直角坐标系，解决此类问题的关键是要建立直角坐标系，以以AB的中点为原点，找出的中点为原点，找出A，B，C，D四四点的坐标来确定抛物线的函数表达式点的坐标来确定抛物线的函数表达式.对于对于此类需要建立坐标系的问题，一般把此类需要建立坐标系的问题，一般把y轴设轴设定为图形的对称轴定为图形的对称轴.积累经验：积累经验：学会建学会建立数学模型解决实立数学模型解决实际问题际问题例题讲解某批发商以某批发商以40元元/kg的价格购入了某种水果的价格购入了某种水果500kg.据据市场预测，该种水果的售价市场预测，

20、该种水果的售价y（元（元/kg）与）与保存时间保存时间x（天）的函数关系式为（天）的函数关系式为y602x，但保存这批水果，但保存这批水果平均每天将损耗平均每天将损耗10kg，且最多能保存，且最多能保存8天天.另外，批另外，批发商保存该批水果每天还需发商保存该批水果每天还需40元的费用元的费用.（1）若批发商保存）若批发商保存1天后将该批水果一次性卖出，天后将该批水果一次性卖出，则卖出时水果的售价为则卖出时水果的售价为元元/kg，获得的总利，获得的总利润为润为元；元；（2）设批发商将这批水果保存）设批发商将这批水果保存x天后一次性卖出，天后一次性卖出，试求批发商所获得的总利润试求批发商所获得的

21、总利润w（元）与保存时间（元）与保存时间x（天）之间的函数表达式；天）之间的函数表达式；（3）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润）求批发商经营这批水果所能获得的最大利润.注意条件：注意条件：x x为非负整数为非负整数通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：通过数学建模，把实际问题转化为二次函数问题：利润售价销售量成本利润售价销售量成本建立二次函数模型，借助二次函数解决实际问题建立二次函数模型，借助二次函数解决实际问题用配方法或顶点坐标公式并结合实际意义，求出用配方法或顶点坐标公式并结合实际意义，求出 问题的最大值。问题的最大值。知识链接 知识点 建立二次函数模型解决实际问题例题讲解(1

22、)根据题中水果售价根据题中水果售价(y)与保存时间与保存时间(x)的函数关系式可知，的函数关系式可知， 当当x=1时，时，y=60+2x=62(元元). 利润为：利润为：62(500-10)-40500-40=10340 (元元).(2)由题意，得由题意，得w=(60+20 x)(500-10 x)-40 x-50040= -20 x2+360 x+10 000.(3)w= -20 x2+360 x+10 000= -20(x-9)2 +11 620.0 x8,x0 x8,x为整数为整数，当，当x9时，时，w随随x的增大而增大的增大而增大.当当x=8x=8时，时，w w取最大值，取最大值，w

23、w最大最大=11 600.=11 600.积累经积累经验：验：用用配方法配方法求二次求二次函数最函数最大值大值提示：提示：利润售价利润售价销售量销售量成本成本方法总结此类问题可根据此类问题可根据“利润售价销售量利润售价销售量成本成本”列出函数表达式，利用配方法或顶列出函数表达式，利用配方法或顶点坐标公式结合实际情况，即可求出利润点坐标公式结合实际情况，即可求出利润的最大值的最大值.积累经验：积累经验：学会建学会建立数学模型解决实立数学模型解决实际问题际问题 二次函二次函数与一数与一元二次元二次方程不方程不等式之等式之间的联间的联系系 （2015咸宁）如图是二次函数）如图是二次函数yaxbxc的图的图象，下列结论：二次三项式象，下列结论：二次三项式axbxc的最大的最大值是值是4； 4a2bc0； 一元二次方程一元二次方程axbxc1的两根之和为的两根之和为1；使；使y3成立的成立的x的的取值范围是取值范围是x0.其中正确的个数为（）其中正确的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4训练眼力：训练眼力：从从图像你能得到图像你能得到哪些信息？哪些信息？新新 知知 链链 接接 知识点知识点 二次函数的图象二次函数的图象二次函数二次函数yaxbxc的图象的图象 （1）a0开口