导数的应用(二)最大值与最小值

1、导数的应用(二)最大值与最小值一.教学内容导数的应用(二)最大值与最小值一般地，在闭区间a，b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值；在开区间f (x)=丄(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如X在(O,-：)内的图象连续，但无最大值和最小值。设函数f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，求f(x)在a,b上的最大值与最小值的 步骤如下：(1)求 f(x)在(a , b)内的极值；(2)将f (x)的各极值与f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最 小值。【典型例题】42例1求函数y - X - 2x 5在区间_2,2上的最大值

2、与最小值。3解：y'=4x -4x，令 y'=O，有 4x3 -40 x1,0,1当x变化时，y , y的变化情况如下表：x-2(-2, -1)-1(T,0)0(0,1)1(1,2)2F y一0+0一0+y13J45J413从上表可知，函数 y =x4 -2X2 5在区间-2,2上最大值为13,最小值为4,利用此表可画出函数的图象如下:y1y=x4-2x2+514 一10 一6 一f2 .-2-1 01 232例2已知f (x)二ax -6axb ,-1,2的最大值为3,最小值- 29，求a、b的值。解：依题意a = 0，否则f(x) =b与已知矛盾。f (x) = 3ax2

3、-12ax = 3ax(x - 4)令(x) =0解得x = 0或x = 4'f "(x) >0(1 )当a >0时，由_一1兰x兰2解得一 1乞x v 0 令f (x) ： 0，解得0 ： x _ 2，列表如下：x-1(-1,0)0(0,2)2厂(x)+0一f(x)-7a+b极大bJ-16a + b由f(x)连续，则当x=0时，f(x)有最大值，即f (0) =b=3，又由f ( -1) =7a b f (2) 一 16a b，则 f (2)为最小值，故-16a 3 一29= a = 2所以，当a 0时，a =2，b =3(2 )当a : 0时，列表如下：x-1

4、(T,0)0(0,2)2（X）一0+f(x)-7a +bJ极小- 16a + b故 f(x)最小值为 f(0) =b = -29 , f(x)最大值为 f(2) = -16a-29 = 3二 a = -2所以，当 a <0 时，a = -2, b = -29232例 3已知两个函数 f(x) =8x x-k , g(x) =2x 5x 4x ,其中 k r(1 )对任意的-3,3，都有f(x)'g(x)成立，求k的取值范围。(2)对任意的xi -3, 3， x2 -3,都有f (xi) _ g(X2)，求k的取值范围。解：(1 )设 h(x) =g(x) -f (x)，则对任意的

5、 x-3,3，都有 f(x)mg(x)成立32=hmin (x)色0， x 引 一3,3， h(x) =2x -3x 12x + k2h(x) =6x 6x -12 - 6(x1)(x - 2)，令 h(x) = 0，则 x - -1 或 x = 2，列表如下:X-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h（x）+0一0+h(x)-45 + k7 + kJ-20 + kf_9 + k由上表可知hmin(X)= -45 k则 -45 k -0 = k -45(2)对任意 x1 -3,3， X2 -3,3都有 f(X1)空 g(x2)成立 U fmax(X)空 gmin (x)，-3,3先求

6、 gmin(x)，g(x)=6x210x4=2(3x2)(x 1)=2令g (x) = 0得x - 一 3或x = -1，列表如下：x-3(3-1)-1(-j)23w,3)3g(x)+0一0+g(x)-21-1J2827111则 gmin(X)= -212 2再求 f (x)的最大值，f(x) =8x16x -k =8(x 1)-8-k , x -3,3,fmax(x) = f(3) "2° -k，于是 120-k 一 -21= k_141例4如图，在二次曲线 f(x) =4X-X的图象与x轴所围成的图形中有一个内接矩形，求这 个矩形的最大面积。yADXBC/解：设点B坐标

7、(x , °)，则点C坐标为(4 - x , °)2 2A(x,4xx )， D(4x , 4(4 - x)-(4x)c 2 匚323x = 2 J 3故当3 时，有S最大值为 9【模拟试题】（答题时间：30分钟）321. 函数f（x）=ax 2ax +b（ a >0 ）在x“2,1的最大值为5，最小值为11,求f（x） 的解析式。312f（x）=x x +bx+c2. 已知函数2（1 ）若f（x）在（：，=）上是增函数，求b的取值范围。_ 2（2 ）若f（x）在x =1时取得极值，且X，-1,2时，f（x） : c恒成立，求c的取值范围。用总长14.8m的钢条制做一

8、个长方形容器的框架，如果所制做容器的底面的一边比另一边 长0.5m，那么高为多少时容积最大？并求出它的最大容积？解之得a =1 , b =53.解：设容器底面边长为xm，则另一边长为(x 0.5)m，高为丄14.8 -4x-4(x0.5)41. 解:4f二环&二）九（刈（0）=厂5【试题答案】fmin(x) = f(-2) 16a51132故解析式为f(x)=x -2x 5-2(-2 , 0)0(0,1)1f (x)+0一f(x)-16a +5极大J a + 522.解：f "(X)=3x -x+b1 1-12b_0= b -(1) f(x)在(-：，=)上是增函数=f(x)_O恒成立12(2) 易求得，当 x -1 , 2时，fmax(X)二 f =2 cf (x) ： c 恒成立=2 c : c2= c ”： -1 或 c - 2= 3.2 -2x则容器容积为 y =x(x 0.5)(3.2-2x) (0 ： x 叮.6)y 二-2x32.2x21.6x y 二-6x24.4x 1.6_A_令y =°有x1二1, X215 （舍），故当X =1时，y有最大值，ymax = 1.