一元积分几何应用与重积分

1、一元积分学的几何应用与重积分计算 一、考试内容 (一) 一元积分学的几何应用 1平面图形的面积 由曲线y = f(x), y=g(x)与直线x=a,x = ba所围图型的面积为 S = f (x) - g(x) dx; a 、,，d Y型区域 D =( x, y) g(y) ex 乞 f (y), c岂 y 乞 d的面积为 S= dxdy f (y)-g(y)dy; D X型区域 D =(x,y) a Ex Wb,g(x)兰y 兰 f (x)的面积为 S = JJdxdy = J f (x) g(x)dx c .,d 由曲线x = f (y),x =g(y)与直线y=c,y=dc所围图型的面积

2、为 S= c f (y g (y) dy; p, 1 R t型区域 D=(Ar),二-,g(r) _ ：_ f(r)的面积为 S： iiddf2( -g2G)d iJ2 a b 22 Vx=： a f (x) -g (x)dx； b 22 Vx=x J f (x) g (x) dx; a d Vy=： .cf (y)-g (y)dy; x = f (y)兰0,x =g(y) X0, y =c, y =d Ac所围图形绕 y轴旋转一周的 Vy=x J f 2(yg2(y) dy; 2、旋转体体积 X型区域D =(x,y) a兰x兰b,0兰g(x)兰y兰f(x)绕x轴旋转一周的 y = f (x)

3、亠0, y =g(x)丄0,x =a,x =b 所围图形绕xtt旋转一周的 Y型区域 D =( x, y) 0 _ g(y) _ x _ f (y), c _ y _ d绕y轴旋转一周的 丿 、b X型区域 D =(x, y) 0 Ea Ex 兰b,g(x)兰y 乞 f (x)绕y轴旋转一周的 Vy=2兀x f (x) g(x)dx y = f (x), y =g(x), x =a, x =b Ka K0所围图形绕 y轴旋转一周生成的 Vy=2兀 Ja x f (x)-g(x) dx Y型区域 D =(x, y) g(y) _x _ f (y),0 _c _ y _d绕x轴旋转一周的 Vx=2

4、二y f (y)-g(y)dy； b ; -a d c ; 、d x= f (y), x =g(y), y =c, y = d Zc 兰0所围图形绕 x轴旋转一周的 Vx=2兀(y f (y) -g(y) dy; 、b22 D 二(x, y) a _ x _ b, k 一 g(x) _ y 一 f (x)绕y = k旋转一周的 V = i f (x) - k - g(x) - k dx a b 、b D =( x, y) k 兰a 兰x b, g(x)兰 y 兰 f (x)绕x = k旋转一周的 V=2兀 Ja (x k) f (x) g(x)dx; 注：利用 平面图形的面积与旋转体体积公式时

5、，有时可借助参数方程或极坐标表示x, y 3、曲线的弧长(数三不要求) L:x = f(t),y 二g(t),t a,b的弧长 Lt= dsf 2(t) g2(t)dt; La 1飞2一. y= f(x) Kk,y=g(x)k,x=a,x=b 3a 所围图形绕 y = k 旋转一周的 V=x J f (x) k2 g(x) k2 dx L: Q = f (R, n :，订的弧长 L ids 二 _ f2U) f2(RdH 4、旋转体的侧面积(数三不要求) b|2 L:y 二 f(x) 0,x a,b绕x轴旋转一周的侧面积 Sx=2二f(x)ds = 2二.f(x)、J f(x)dx La y*

6、)f(X)dSx(x)g(x)dS D =(x, y) a _x _b,0 _g(x) _y _ f (x)绕x轴旋转一周的 Sx=2 : =2叮b f(x)J1 + f2(x)+g(x)J1 + g2(x) dx a (二) 重积分计算法则 1、记忆以下二重积分奇偶对称性性质： (1 )当积分域D对称于x轴时，令D 是D关于x轴某一侧的部分，则有 5)(x, y)db,若f (x,y) = f (x,y)关于y为偶 f(x, y)dD D奁比 0,若f (x,-y) - - f (x, y)关于y为奇 上述性质可类似地应用于关于y轴的对称性与函数关于 x的奇偶性 (3) 当积分域关于原点对称

7、时，若f(_x,_y) - _f(x, y)，则有 f (x, y)d二=0. D (4) 若将x, y互换，积分域 D不变，(D关于y = x对称) 1 则 i i f(x,y)d；丁二 f (y, x)d f (x, y) f(y, x)d；(轮换性) DD2 D 2、 记忆以下三重积分奇偶对称性性质：(数一) (1) 当积分域门对称于xoy面时，令小是门关于xoy面某一侧的部分，则有 f (x,y,z) 2 川 f (x, y, z)dv,若f(x, y,-z) = f (x, y,z)关于 z为偶 iiif(x,y,z)dv =三 J 。连续 0,若f (x, y,-z) = _f (

8、x, y, z)关于z为奇 上述性质可类似地应用于关于其它坐标面的对称性与函数的奇偶性 (2) 若将x, y,z互换，积分域 门不变， 则 III f(x, y,z)dv ! f(x, z, y)dv ih： f (y, z,x)dv 胡 |(轮换性) QQQ 3、记忆重积分算法 bh(x) 对 X 型区域 D =(x, y) a 兰X 兰b,g(x)兰 y 兰h(x)，JJf(x,y)db= dxj f (x, y)dy a g (x) D dh(y) 对 Y型区域D 二(x,y) g(y)乞x Eh(y),c E y 辽d， i i f (x, y)d dy. f (x, y)dx dcg

9、(y) 对 v型区域 D =( U ：宀乞：,g(v) _ ： - h(v)， . h(T_.、 iif(x,y)d；：= f(cos,sin. f(cossi g (z) DD I丫24 L： 特另U地，d ! f(cossin 巧dd_ f(cossin 寸)d丁 -. Z. 1* H -. Z 对(疑似)柱体区域| =( x, y, z) (x, y) D, g(x, y)乞z h(x, y) , D为在xoy面的投影 h(x,y) 则 i.i i f(x, y,z)dv 二 dxdy f (x, y, z)dz，此为先二后一法(数一) rg ( X, y) QD F(y z) =0 对

10、绕乙轴(az乞b)的旋转体区域 门，Dz为i在z处的横截面区域， I x=0 b 则丨ii f (x, y, z)dv dz i 丨 f (x, y,z)dxdy，此为先一后二法(数一) Qa Dz bb 特别地，截面面积为已知的立体体积V= A(x)dx dx ii dydz二 dv aar D(x)Q 对由球面与锥面所围成的区域门，可利用球坐标法计算: 11 i f (x, y, z)dv 二f(rsin cosrsin sin yrcos :)r2sin drd dr (数一) QQ 二、典型例题 (一)一元积分学的几何应用 例1、如图，连续函数y = f(x)在一3,-21, 12,3

11、 1上的图形分别是直径为 1的上、下半圆周， 在1-2,0 1, 0,2 1的图形分别是直径为 2的下、上半圆周，设F(x)= :f(t)dt，则有(C) 3 535 (A) F(3) 一3F(-2) (B) F(3-F(2)(C)F(3-F(2)(D)F(3) 一(-2) 4 444 提示：F(3) =3F (2)4 =3F(2),4，故选(C). 3212 例2、求由曲线y二决及y = ；2-x在上半平面围成图形的面积A及周长S. 解： 1 1 A =2。 .2-x2 -x23dx，或 A = 24- o（x23-x）dx=（5：+2）：10 S=2(/ +(3V7/2)2dy + 血/2

12、 =2(13辰8)/27 + 血/2 . 3 f 例3、设D是由曲线y x ,直线x=a(a 0)及x轴所转成的平面图形，Vx,Vy分别是 D绕x轴和y轴旋转一周所形成的立体的体积，若10VX二V，则a =7、.7 . 提示：Vx 二:y2dx 二 3二 a5 ： 5, Vy = 2二 J5xf（x）dx 二 6二 a7 3; 7 例4、求曲线r =4(1 - cost)和直线“ =0卢-二.；2所围成图形绕极轴旋转一周的Vx. 8 0 t 1 解：Vx =二 y2dx 二二-2si ndrcos= (1 t)2(1-t2)(1 2t)dt = 160 二. 2 例5、f(x)二_ t3 1d

13、t位于第一象限的图像与 x轴、y轴所围区域的面积为 52 9 . - x 提示：面积 A = f (x)dx = xf (x) 0 - fo xf (x)dx = J。Jx3 2 +1 Vxdx/2 - 例 6、曲线 y =tantdt (0 _ x _ -： ； 4)的弧长 s = ln(12). I： 42J4 2J 4 4 提示：si 1 y dx1 ta n xdx secxdx = l n(ta nx secx)0 例7、过y = x上一点(a, a )做切线，问a为何值时所作切线与抛物线 y - -x 4x - 1所 围区域的面积最小？ 解：易得两曲线交点 x1 = -(a - 2

14、) - 2a2 - 4a 3, x2 二-(a - 2). 2a 4a 3 x韦达定理 A 2 2 2 2 3 2 s=(X +4x1)(2ax x )dx = -(2a 4a + 3)3，易知 a = 1 时 Sm =43 . 例8、设D是位于曲线y = -、xa2a(a 1,x-0)下方、x轴上方的无界区域， (1)求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a); (2)当a为何值时，V(a)最小？ 心 一bo 9 提示：(1 )V(a)=兀y (x)dx =兀 (2 ) V (a) =2 兀a (In a 1)/1 n3 a =a 二 e时 V(a)取最小值 V(e)二二 e . (二)

15、二重积分计算 2 - sin x -x a22 xa dx a ,/ln a 1、 02 兀-|ercsiny 换序 0 dx 0 f(x, y)dy = dy 1_arcsin y “csinyf(X,y)dy 0dyarcsiny 2、 二4 1 设 f (x, y)连续，则 0 dr f(rcosr,rsi n v)rdr= dy f (x, y)dx . 1x1 dx 22 dy dx 00 x2 y21.o 5 设区域 D 由曲线 y =sin x,x = n/2, y = 1 围成，贝y JjD(x y 1)dxdy=兀. 对称奇偶性与二重积分的几何意义 . 例 5.计算 I 二

16、Dx2 y2d；,其中 D(x, y) x2 y2 0, l40)与曲线y=ln依在点(X0,y)处有公切线，求常数 a及切点(x,y)；两曲线与x轴所围平面区域的面积 A ；该区域绕x轴旋转一周所得 旋转体体积 V a =1.e,(e2,1) A 二 e2：6-12Vx =二；2 8 (A)、求曲线y =x22x, y =0, x = 1, x =3所围图形的面积 A，并求该平面图形绕 y轴 旋转一周所得的旋转体体积 Vy . ( A= 2,Vy二9二) 9 (A)、设 y 冇, x = 2及x轴所围成的平面区域为D，则D绕x轴旋转一周所成 的旋转体的体积为4J3 , D绕y轴旋转一周所成的

17、旋转体的体积为2(3、3-1)二；3 . 10 (A)、设有曲线y = Jx-1，过原点作其切线，求由此曲线，切线及x轴围成的平面图 形绕x轴一周所得到的旋转体的表面积S = (11、5 -1)二：6 11 (A、求y=sinx (0兰x兰兀)，y=0围成的平面图形绕 x轴旋转所得的曲面面积 Sx, 并求其绕y轴旋转所得的旋转体体积7,( 2:.2 In(1,2) , 2;:2) 12 (A)、设位于曲线y =1 x x(1 In2 x) (e込x ：)下方，x轴上方的无界区域为G , 则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积是二24 . 13 (A)、设L极坐标方程为r =cos3&(兀/6兰日

18、兰兀/6),则L所围的区域面积为 兀/12 . 14 (A)、设曲线的极坐标方程为P(a 0)，则该曲线上相应于 0从0边到 勿 的一 段弧与极轴所围成的图形面积为(e4匕-1) (4a). 1 2 15 (A)、f(x)=3xdx与x轴、y轴围成图形的面积为1/l n3. L x 1t2 16 (B)、设f(x)=.e dt，则其所示曲线与直线x=1及x轴，y轴围成的区域绕 y轴 1 1 旋转一周生成的旋转体体积V =2二 xf(x)dx = (1-e )二.；2 . 17(A)、求摆线 x =1 - cost, y = t -sint 拱(0 _ t _ 2二)的弧长 S = 8 . t2

19、 x = J vVudu 18(A)、设曲线L由0,x兰0)与y=1 ax交于点A，过坐标原点0和点A的 2 直线与曲线y二ax围成一平面区域，问a为何值时，该图形绕 x轴旋转一周所得的旋转体 体积最大？最大体积是多少？ ( a =4,Vmax =32、5：/1875) 2 23 (A)、设y = ax与抛物线y=x所围面积为 S，它们与x = 1所围面积为S2,(a1) 试确定a ,使达到最小S1 S2,并求出最小值；a =1 Smin = (2 -二),；6 求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积Vx . C. 2，1)二/30 24 (B)、设 F(x) e2x ,x兰

20、0 = 0 , S1(t)表示矩形t xt, 0 yF(t)的面积.求 -Pt (I) S(t) = SS1(t)的表达式；S(t)=1-2te , t (0 , +). (II) S(t)的最小值.sQ) =1 -丄是最小值 2 e ，若S(t)表示D位于直 25 ( B)、设 D =(x,y)0 兰x 兰 1,0y 兰1及 I : x + y=t(t0) x3/60 兰 x 线I左下方部分的面积，则 (S(t)dt(x色0) = * x3/6+x2 x+1/31cx兰2 x1x2 26 ( B)、曲线y=(ex+e)/2与直线x = 0,x=t(t = 0)及y = 0围成一曲边梯形该曲边

21、梯 形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在x二t处的底面积为F(t), 求 S(t) V(t)； 计算S(t), F(t) ( 2 1) 2 2 27( B)、已知曲线 L 的方程 x=t +1, y=4tt(tKO) (I)讨论L的凹凸性；(凸的)(II)过点(_1,0)引L的切线，求切线的方程；(y = x 1) (III )求此切线与L (对应于x空X。的部分)及x轴所围成的平面图形的面积.(7 3) (二)二重积分计算 兀11H 1 (A)、设 f(x, y)连续，则 fjr2dx .nxf (x,y)dy 可换序为 Jody*心 f (x, y)dx . 1

22、2222 x 2( A)、设 f 连续，贝U 1 ?dy 1 y f (x, y)dx yyf(x, y)dx 可换序为 1 dx f (x, y)dy. 3(B)、设 D 由 x2 y2 二a2, x y2 = ax, y - -x 所围，如图所示，将 i .i f (x, y)d匚(a 0) Ad y 2 2 y a 化为极坐标系下的二次积分 y = 0 3二4 一. a 2 _ a 4 曲a I d acos f (r cos , r sin Jrdr 4 (A)、设函数f (u)连续，区域D=(X, 1J12 (A)dx._j2-f(xy)dy 八2sin日2 (C)f (r2s in

23、 rcosjdr / a 22 (x-q) y a a x 2 L； d 详 f(rcosO,rsin日)rdr . y) x2 + y2 兰 2y,则口 f (xy)dxdy 等于(D) D 2护y-y2 (B)2.0dy. f(xy)dx. 2sin V 0 2 f (r )rdr = ( b) f (r2 sin cos rdr (D) 0 d, -22 Z 0-2cos二 -1422 ，一2 f(x +y )dy 2x-x 4 丄222 2 f(x2 y2)w 2 2 2 2 - cos x y d、，I3 二 cos x y d二，其 DD ，则按从大到小的排列次序为I3 I2 I1

24、 . 5 (A)、设函数f (t)连续，则二次积分 24 2 ；22222 0dx. 2xx y f(x y )dy (b) 0 dx 4 / 宀心，x2y2f(x2 y2)dy(D) dx 1 、设 I = cos x2 y2 d ；，12 = cos x2 y2 d- , I D 中 D =，x, y x2 y2 7 (A)、设D是xoy面上以(1,1),(一1,1),(一1,一1)为顶点的虫区域，D1是D在第一象限的部 (A) (C) 6 (A) 2 2 一2 2x -x2 ，-：2 2x-x2 分，贝贝！ ！ (xy sin y cosx)小:二(A) D (A) 2iisi n y

25、cosxd 二 (B) 2 11 xyd 二(C) 4 1 (xy si ny c osx)d 二(D) 0 D1D1D1 8 (A)、如图，正方形 D:|xQ,|yp1被其对角线划分为四个区域Dk(k =1,2,3,4), 2 设 Ik = . . ytanx dxdy，则 miaxIkH (A) Dk- i 9( A)、(1) 1 dx xy 2 x4 x3 (A) 、计算dxj s in (兀 x/2y)dy+J dxj_s in (兀 x/2y)dy = 4兀(兀+2). (B) 、计算 J； e* dy J。dx + J 10 11 2Ji -y2.2 -o J2：22 y 212t

26、21 e* dy 0 dx 亠 Idy 门dx = (1e)二.8 .(极坐标) 12 (A)、设 D 由 y=x,y=2x 及 x =兀/2 所围，若 人 Acos(2x+ y)d =1，则 A = 3. 13 (A)、设D是由直线y=x, y=1,x = 0所围成的平面区域，则仏Jy2 _xydu二2/9 . 14(A)、设 D 是由曲线 x =3y, y =3x,x y =8所围成，贝U ox2dxdy= 416 3 . 15( A)、设区域 D 二(x, y)|x _x2 y2 _2x, y _0，则七濟 =15 4. 2 2 16 (B)、设 D =( x, y) x2 + y2 兰

27、町，I = J. e4x 中亠 sin(x2 + y2)do = (1 + e兀)何/2 . 17 (B)、设极标域 D:0_r_sec),0，贝Vr2 si n v、1 r2 cos2)drd 二二 4D3 16 18(A)、设 D 由 x = J1 + y2 与 x +J2y =0 及 x J2y = 0 围成，则 JJ(x*y)d 厲 1415 D 221 + xy 19( A)、设 D :x y 乞 1,x_0,贝 U22d 二二-l n22.(对称奇偶性) D 1 + x + y 20 (A)、设D =( x, y) x2 +y2兰1，则JJ(x2 y)dxdy =町2.(轮换性与对

28、称奇偶性) D 21 (B)、设D由r =1+cosT(0兰0兰兀)与极轴围成，则jJxydb=4/5.(对称奇偶性) D 22 (B)、设 D 是由 x2 y2 =4 和 x 1 $ y2 = 1 所围，求，( xy2 y) . 提示：16(3二- 2)9，注意对称奇偶性与分块性. 23 ( B)、设 f (x)连续，求 | = UD yxf(xy2) , D 由 y = x, y = 1 与 x = 1 所围. 提示：-2 3，注意对称奇偶性与分块性. 1 1 24 (B)、设 f(x,y)连续，贝 ydx. |f (x,y)-f (-x, y)1dy=1 (对称奇偶性) 4x| 25 (

29、A)、 2丄2/ X + y )db = 8/3.(轮换性与对称奇偶性) x y d 26 ( B)“0 詁nx,R|xT|dI=m(分块性) 27 (A)、设 D =( x, y) 0 Ex 兰2,0 兰 y 兰2，则仏 xy-1dxdy = 32 +1n 2 .(分块性) 28 (B)、设D :0 Ex兰兀，0兰y兰兀，计算d cos(x + y)d = 3兀+2 .(分块性) 29 (B)、设f (x)连续，求证： 1y211_ ody o f x - 2x 1 dxf x dx .(换序与换兀) 30 (B)、设f(x)连续，求证： J24 _y 2 0 dyf (x2 y2 )dx = f 一 f (0)8.(极标) 111厂 31( B)、设 f (x)连续，并设 f (x)dx = A,则 o dx % f (x)f (y)dy= A2； 2 .(轮换性) 2 1 32 (A)、若 f(X, y) =(x + y)2 JJ f(x,y)dT.则口 f (x, y)dr = 1/6 . 2兀x2yx2y (三)三重积分计算(仅数一打印) 1( A)、锥面 Z = Jx2 +y2 与平面 z = 1 围成 Q，f (x,y,z)连续，则 J f (x,y,z)dv=( B) Q 1J121 (A) 4dXo dy x2 y2 f(x, y,z)dz 1