角平分线教案一

1、精品教学教案角平分线教学目标（一）教学知识点1 角平分线的性质定理的证明.2. 角平分线的判定定理的证明.3 用尺规作已知角的角平分线.（二）能力训练要求1. 进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言转化为符 号语言、图形语言的能力.2. 体验解决问题策略的多样性，提高实践能力.（三）情感与价值观要求1. 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.2. 在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教学重点1. 角平分线的性质和判定定理的证明.2. 用尺规作已知角的角平分线并说明理由.教学难点1. 正确地表述角平分线性质定理的逆命题.2. 正确地将文字语言转化

2、成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明. 教学方法探索一一引导法教具准备一张纸，直尺，圆规多媒体演示教学过程I. 设置情境问题，搭建探究平台问题 还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？生我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：(1)在一张纸上任意画一个角Z AOB，沿角的两边将-_ -ij.角剪下，将这个角对折，使角的两边重合(2)在折痕(即角平分线)上f 3)1任意取一点CB k过点C折OA边的垂线，得到新的折痕CD，其中，点D是折痕与OA边的交点，即垂足(4)将纸打开，新的折痕与OB边的交点为EEE从折纸过程中，我们可以得出CD二CE,即角平分线上的点到角两边

3、的距离 相等.师你能证明它吗？U.展示思维空间，构建活动空间师我们从折纸过程中得到了角平分线上的点的性质，我们还需运用所学的 公理和已证的定理证明它请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流.生已知：如图，0C是/ AOB的平分线，点P在0C 上, PD丄OA, PE丄0B,垂足分别为D、E.求证：PD= PE.证明：vZ 1 = Z 2，0P= OP，/ PDO=Z PEO= 90 PDOA PEO（AA. PD= PE（全等三角形的对应边相等）.（教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导 ）师我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论.我们把 它叫做角平分线的性质定理，我们再

4、来一起陈述：（用多媒体演示）角平分线上的 点到这个角的两边的距离相等.我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题. 你能写出这个定理的逆命题 吗？我们在前面学习线段的垂直平分线时， 已经历过构造其逆命题的过程，我们 可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题.生如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线 上.生我觉得这个命题是假命题.角平分线是角内部的一条射线，而角的外部 也存在到角两边距离相等的点.师这位同学思考问题很仔细.事实上，从同一点出发的两条射线一般组成 两个角，而“角的内部”通常是指其中小于 180的角的内部，其余部分为角的 外部.如上图所示，到/ AOB两边距离相等的

5、点的集合应是射线 OC、OD、OE、 OF,但其中只有射线OC（即在/ AOB内部的射线）才是/ AOB的平分线.因此逆 命题中应加上“在角的内部”的条件.谁再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题呢？生在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上.师它是真命题吗？生没有加“在角的内部”时，是假命题.但根据题意我觉得应加上“在角 的内部”这一条件，因此角平分线性质定理的逆命题是真命题.师你能证明它吗？（由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导）生 证明如下：已知：在/ AOB内部有一点P,且PD丄OA, PE丄OB, D、E为垂足且PD二 PE,求证：点P

6、在/ AOB的角平分线上.证明：t PD丄OA, PE丄OB,/ PDO=Z PEO= 90.在 RtAODP 和 RtAOEP 中OP= OP, PD = PE, RtAODPRtAOEP（HL 定理）./ 1二/2（全等三角形对应角相等）.师逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆 命题叫做原定理的逆定理.给它起个名字吗？生 我们就把它叫做角平分线的判定定理吧，因为满足条件的点在角平分线 上，连接角的顶点与此点就得到了这个角的角平线了.师很好！我们就把它叫做角平分线的判定定理吧！我们一起再来陈述一下 它的内容：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线

7、上.我们证明了角平分线的性质定理和判定定理. 你能用什么办法平分一个已知 角呢？请在小组内交流.生 可以用量角器.生 使用三角尺，也可以平分一个已知角.生 如果有角尺的话，用角尺也可以平分一个已知角.师很好！但我们今天要学习的是用直尺和圆规平分一个已知角.你能写出这个尺规作图的已知和求作吗?已知：/ AOB（如图）求作：射线 OC,使/ AOC=Z BOC.作法：1.在OA和OB上分别截取 OD、OE,使OD = OE.12. 分别以D、E为圆心，以大于-DE的长为半径作弧，两弧在/ AOB内 父于点C.3. 作射线OC.OC就是/ AOB的平分线.（教学时，教师可以边介绍作法，边让学生动手完

8、成整个操作过程）师我们能用尺规作一个已知角的平分线， 请你说明OC为什么是/ AOB的 平分线，与同伴交流.生从作图的过程中，不难发现 OD = OE，CE = CD，OC= OC， OCEN OCD（SSS./ 1 = Z 2,即OC是/AOB的角平分线.川.随堂练习如图，AD、AE分别是 ABC中/A的内角平分线和外角平分线，它们有什 么关系？解: AD 平分/ CAB，1. / 1 = / 2= / CAB.2又 AE 平分/ CAF，1./ 3=/ 4= / CAF .2vZ CAB+Z CAF= 180,11Z 1 + Z 3=丄(Z CAB+Z CAF)= - X 180= 90，

9、即 AD 丄 AE.22W.课时小结这节课我们在折纸的基础上，证明了线段的垂直平分线的性质定理和判定定 理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线， 进一步发展学生的推理证明意识 和能力.V. 课后作业1. 习题1. 8第1，2，3题.2. 阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三 大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神.W.活动与探究如图，在Z AOB的两边OA、OB上分别取 OQ = OP, OT= OS, PT和QS 相交于点C.求证：OC平分Z AOB.证明：在厶OPT和厶OQS中，OP= OQ，OT= OS，Z POT=Z QOS, OPTN OQS（SAS. z otc=z Osq全等三角形的对应角相等）.在厶CQT和厶CPS中，v OT= OS，OP= OQ,： OT- OQ = OS OP 即 QT= SP, 又 vZ PCS=Z QCT,Z OTC=Z QSC, CQTA CPS（AAS）. CT= CS（全等三角形的对应边相等）.在厶 OCT和厶 OCS 中，OC= OC, OT= OS, CT= CS. O