高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末综合测评 北师大版选修2-1(2021年最新整理)

1、2017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末综合测评 北师大版选修2-12017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末综合测评 北师大版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末综合测评 北师大版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便

2、随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何章末综合测评 北师大版选修2-1的全部内容。13(二)空间向量与立体几何（时间120分钟,满分150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若a、b、c是空间任意三个向量，r，下列关系式中不成立的是（)aabbab(ab）bac（ab)ca（bc)dba【解析】只有a,b共线时，ba，故选d。【答案】d2已知点a在基底a，b，c下的坐标为（8,6，4)，其中aij，bjk，cki，则点a在基底i,j，k下的坐标是（)a(12,

3、14,10）b(10，12,14)c(14，12,10)d（4,3,2）【解析】设点a在基底a，b，c下对应的向量为p,则p8a6b4c8i8j6j6k4k4i12i14j10k，故点a在基底i，j，k下的坐标为（12,14，10)【答案】a3若直线l的方向向量为a（1,0,2）,平面的法向量为u（2，0，4），则（）alblcldl与斜交【解析】u2a，l。【答案】b4.如图1,在四面体a.bcd中，已知a,b，c，则等于（）图1aabcbabccabcd。abc【解析】（)abc.【答案】a5从点a（2，1，7）沿向量a(8,9,12）的方向取线段长ab34，则b点的坐标为（）a(9，7,

4、7）b（18，17,17）c（9，7，7）d(14，19，31）【解析】设b(x，y，z)，(x2，y1,z7)(8,9,12)，0.故x28，y19,z712，又（x2）2（y1)2（z7）2342,得（17)2342,0，2。x18，y17，z17，即b(18，17，17)【答案】b6已知向量e1，e2，e3，是两两垂直的单位向量,且a3e12e2e3，be12e3，则(6a)等于（）a15b3c3d5【解析】以(e1，e2，e3)为基底，a（3,2，1)，b（1,0,2），(6a)3ab3(31022）3.【答案】b7已知平面的法向量是(2,3,1),平面的法向量是（4,，2），若，则的

5、值是()ab6c6d【解析】，平面的法向量与平面的法向量也互相平行,，6.【答案】b8正方体abcd。a1b1c1d1中,直线dd1与平面a1bc1所成角的正弦值为 （) a。bc。d【解析】以da,dc,dd1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设棱长为1，则平面a1bc1的法向量为n(1,1,1），（0,0，1)，cos n，,sin .【答案】a9如图2,在长方体abcda1b1c1d1中，abbc2，aa11，则bc1与平面bb1d1d所成角的正弦值为()图2a.bc。d【解析】建立如图所示坐标系,得d(0,0，0)，b（2,2,0），c1（0，2，1），b1（2，2，1),d1（0,

6、0，1)，则(2,2，0），（0,0,1)，(2,0,1）设平面bd1的法向量n(x,y，z）取n（1，1，0)设bc1与平面bd1所成的角为，则sin cosn，。【答案】d10在棱长为a的正方体abcd。a1b1c1d1中,异面直线b1c与db所成的角为（)a30b60b120d150【解析】建立如图所示的坐标系,则b(a,0,0)，b1(a,0,a)，c(a，a，0），d(0,a,0)，(0，a，a）,(a，a,0）,cos ,，120。异面直线b1c和db所成的角为60。【答案】b11在三棱柱abc。a1b1c1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱aa1底面abc，点d在棱bb1上,且b

7、d1,若ad与平面aa1c1c所成的角为，则sin 的值是（)a.bc。d【解析】如图所示，建立坐标系，易求点d,平面aa1c1c的一个法向量是n(1，0，0)，所以cos n，即sin 。【答案】d12。如图3，在四棱锥p。abcd中，侧面pad为正三角形，底面abcd为正方形，侧面pad底面abcd，m为底面abcd内的一个动点，且满足mpmc。则点m在正方形abcd内的轨迹为（)图3【解析】如图，以d为原点，da、dc分别为x,y轴建立如图所示空间直角坐标系,设m(x,y，0），设正方形边长为a，则p,c(0，a，0），则|mc|,mp。由mpmc得x2y,所以m在正方形abcd内的轨迹

8、为一条直线yx.【答案】a二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已知向量a（1t,1t，t)，b（2，t，t），则ba|的最小值为_【解析】ba（1t,2t1，0)ba|与t时|ba|有最小值为.【答案】14若平面，的法向量分别为u(4,0，3)，v(1，1，0）,则这两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为_【解析】平面，的法向量分别为u（4，0，3），v（1，1，0）cos u，v.两个平面所成的锐角的二面角的余弦值为。【答案】15已知a(4，1,3），b（2，5,1)，c为线段ab上一点，满足，则点c的坐标为_【解析】将等式改写为()，即(），。又2（

9、10，3，7),即点c的坐标为.【答案】16在直三棱柱abcabc中，底面abc是等腰直角三角形，且abac1,aa2，则a到直线bc的距离为_【解析】由题意，可知ab、ac、aa两两垂直，故以a为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a(0,0,2）,b(1，0，0），c(0,1,2），所以点a到直线bc的距离为d.【答案】三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17(本小题满分10分)已知a（1,1，0)，b（0,1，1）,c(1,0,1)，pab，qa2bc，求p，q,pq.【解】pab（1，1，0）（0,1,1)(1,0，1）qa2bc（1，1，

10、0）2(0，1，1)(1,0,1)（0,3,1）pq（1，0，1）（0,3,1)1003（1)11.18(本小题满分12分)已知三棱柱abc。a1b1c1的各条棱长均为a，侧棱垂直于底面，d是侧棱cc1的中点，问a为何值时，点c到平面ab1d的距离为1？【解】建立如图所示的空间直角坐标系，bxyz。则a，c（0，a,0）,b1（0,0,a），d.则.，。设n（x,y，z)为平面ab1d的一个法向量,则令x1，则y,z，n点c到平面ab1d的距离da.令a1，a2.19（本小题满分12分)如图4，在六面体abcd。a1b1c1d1中，四边形abcd是边长为2的正方形,四边形a1b1c1d1是边长

11、为1的正方形，dd1平面a1b1c1d1，dd1平面abcd，dd12.图4求证：(1)a1c1与ac共面，b1d1与bd共面；(2）平面a1acc1平面b1bdd1.【证明】图所示的空间直角坐标系d。xyz，则有d(0，0,0)，a（2，0，0)，b（2，2，0）,c(0，2,0）,a1(1,0，2)，b1(1,1，2)，c1（0,1,2），d1(0,0，2）以d为原点，分别以，的方向为x,y，z轴的正方向,建立如（1）（1,1，0),（2,2，0),（1,1,0），(2，2，0)，2，2。与平行，与平行,于是a1c1与ac共面,b1d1与bd共面（2)（0，0,2)(2,2,0)0,(2，

12、2,0）（2,2，0）0，.又dd1与db是平面b1bdd1内的两条相交直线，ac平面b1bdd1。又平面a1acc1过ac,平面a1acc1平面b1bdd1。20（本小题满分12分)正四棱柱abcd。a1b1c1d1中，底面边长为2，侧棱长为4,e，f分别为棱ab，cb的中点efbdg。求三棱锥b1。efd1的体积【解】以d为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则b1(2，2，4），d1（0,0，4),e(2，0)，f（，2，0）,(2，4），（,2,4)，（2，2，0)，cos ，sin,，所以sd1ef|sin ，5，又平面d1ef的法向量为n，点b1到平面d1ef的距离d,vb1efd

13、1sefd1d5。21.（本小题满分12分）如图5，在底面是菱形的四棱锥pabcd中，abc60，paaca，pbpda，点e在pd上，且peed21.图5(1）证明：pa平面abcd；（2）在棱pc上是否存在点f，使bf平面aec?【解】(1)证明：底面abcd是菱形，abc60,abadaca。在abp中，pa2ab22a2pb2,paab.同理paad。abada,pa平面abcd.（2）以a为坐标原点，建立如图所示的坐标系，由题意，得a(0，0,0），b，c,d(0，a,0），p（0，0，a),e.，。设点f是pc上一点，。令mn,则解得即当f为pc中点时，、共面又bf不在平面aec内

14、，故当f为pc中点时，bf平面aec.22.(本小题满分12分）如图6，在四棱柱abcd.a1b1c1d1中，底面abcd是等腰梯形，dab60，ab2cd2,m是线段ab的中点图6（1）求证:c1m平面a1add1；(2）若cd1垂直于平面abcd且cd1，求平面c1d1m和平面abcd所成的角（锐角）的余弦值【解】(1)证明：因为四边形abcd是等腰梯形,且ab2cd，所以abdc。又由m是ab的中点，因此cdma且cdma。连接ad1，如图在四棱柱abcd。a1b1c1d1中,因为cdc1d1，cdc1d1，可得c1d1ma，c1d1ma，所以四边形amc1d1为平行四边形因此c1md1a，又c1m平面a1add1，d1a平面a1add1,所以c1m平面a1add1.（2)如图，连接ac，mc，由(1)知，cdam且cdam，所以四边形amcd为平行