优选优选考研数二真题及解析

1、1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)(1)设 y ln(1 3 x),则 dy 2(2)曲线y e x的上凸区间是 .In x ,1 rdx .1 x 质点以速度tsin(t2)米每秒作直线运动，则从时刻1, 秒到t2秒内质点所经过的路程等于米lim 1 exx 0x ex二、选择题(每小题3分，满分15分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把 所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)若曲线y x2 ax b和2y 1 xy3在点(1, 1)处相切，其中a,b是常数，则()XF1 2X XO 2X- 3 3x32x

2、1 2X XO 12x23x,0 x 1(C) F(x)322(D)x cx /2x,1x 232)内有定义，xqF(x)3x,0 x 1322x ,1 x 22(3)设函数f (x)在(0是函数f(x)的极大点,则(A) a0,b2(B)a1,b3(C) a3,b1(D)a1,b12 x,0x 1,、x(2)设函数f(x)c，记 F(x)0 f(t)dt,0x2 ,则()2x,1x 2,0(A) X。必是f (x)的驻点(B)Xo必是 f( x)的极小点(C) Xo必是 f (x)的极小点(D)对一切x都有f(x) f(Xo)曲线y(A)没有渐近线(C)仅有铅直渐近线(B)(D)()仅有水平

3、渐近线既有水平渐近线又有铅直渐近线 如图，X轴上有一线密度为常数，长度为I的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为()*-x(A)km 2dx (a x)(B)km 2 dx (a x)o km(C) 2 $(a x)2dx(D)2 km20 (a x)dx三、(每小题5分,满分25分.)2(1)tcost 十 d y ,求 一2- tsi ntdx(2)计算xm0x sin x2 xx (e 1)(4)求xsin2 xdx. 求微分方程xy y xex满足y(1)1的特解.四、(本题满分9分)利用导数证明：当 x 1时，有不等式ln(1

4、 x) 亠 成立.ln x 1 x五、(本题满分9分)求微分方程y y x cosx的通解.六、(本题满分9分)曲线y (x 1)(x 2)和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转体的体积七、(本题满分9分)AB : DC如图,A和D分别是曲线y ex和y e 2x上的点,AB和DC均垂直x轴,且八、(本题满分9分)设函数f (x)在()内满足 f(x) f (x ) sinx,且 f (x) x, x 0,),3计算 f(x)dx.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析、填空题(1)【答案】(每小题3分,满分ln3 x dx3x 115分.把答案填在题中横线上

5、.)【解析】,即 y(f (x)的微分为 dy (f (x) f (x)dx,有由复合函数求导法则【答案】存 3xln3(1)dx弊dx.3x 1【解析】求函数y f(x)的凹凸区间,只需求出y,若y 0,则函数图形为上凹，若0,则函数图形为上凸,由题可知ex2(2x)2xex2ex2(2x)e x ( 2x)4e (x22因为4e x0,所以当x20时y 0,函数图像上凸x2函数图像上凸.故曲线上凸区间为(【答案】【解析】1用极限法求广义积分ln xdx limb1x2b ln x1blimb1 lnxd(-)x【答案】【解析】设在t分部limbIn x-)dxxbimIn bIn1bimI

6、n b1.12这是定积分的应用t dt时刻的速度为2tsin(t ),则在dt时间内的路程为 dstsin(t2)dt ,所以从时刻t1秒到t2、秒内质点所经过的路程为t22s q tsin(t2)dt21 V22rtsin(t )dtpSin(t )dt】cos(t2)2V1-(cos21 1込)2( 1 0) 2【答案】1【解析】这是-个型未定式1,分子分母同乘以e得lim 1x 0x1e1limx 01e匚1xe x11为简化计算,令t1,则x-,原式可化为xte1x 1t e10 1 ,limlim1.x 01tt e0 1xe x 1t1二、选择题（每小题3分,满分15分.）（1）【

7、答案】(D)【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等 ，即在该点处的导数相等对两函数分别对x求导,得y 2x a,则该曲线在点（1, 1）处的导数为yxi 2 a,322y y 3xy y ,即 y3y2 3xy2,则曲线在点（1,1）处的导数为两导数相等1,即a1.又因为曲线ax b过点(1, 1),所以有 11b,b 1.所以选项（D）正确.【答案】（B）【解析】这是分段函数求定积分当 0 x 1 时，f(x) x2,所以 F (x)x0 f(t)dtX 2t2dt01t3当1 x 2时，f(x)2 x,所以t2dt0(2 t)dt1t3(2x 1x2)2x 2x2.3,0

8、x 1 所以F (x)3,应选(B).7 c x2 “c-2x ,1x26 2(3) 【答案】(B)【解析】方法一：用排除法由于不可导点也可取极值，如f (x) x 1 ,在x 1处取极大值，但是x0 1不是f (x) x 1的驻点，所以(A)不正确；注意到极值的局部性，即极值不是最值,所以(D)也不正确；对于f (x) |x 1|,在Xo 1处取极大值，但xo1并非是 f (x) |x 1|的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B).方法二：证明(B)是正确的，因为X。 0,不妨设X。 0,则f (xo)为极大值，则在xo的某个领域内有 f (x0)f (x0x)；函数y f( x)与函数y

9、 f (x)关于原点对称，所以必有f( x0)f ( x0x),即在X。的某个领域内f( xo)为极小值，故(B)是正确的.(4) 【答案】(D)【解析】函数的定义域为 x 0,所以函数的间断点为 x 0,1 - 1 叫 Hx叫Hx1 - I,所以x 0为铅直渐近线1 - ImHxlimxx2 e V e1,所以y 1为水平渐近线f (x)在其间断点x x0处有lim f (x)x xo所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数x X。是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim f(x) a,(a为常数)，则y a为函数的水平渐近线x(5) 【答案】(A)【解析】如图建立坐标系，则Xx

10、dx中，dx长度的细杆的质量为dx,与质点的距离为a x,故两点间的引力为dFkm dx(a x)2,积分得km(a x)2dx,故选(A).12同理应用微元法可知，若以I的中点为原点，则质点的坐标为(a -,0),故2km2 (adx ；x)2若以I的左端点为原点，则质点的坐标为(a 1,0),故F1 也 dx.0(a I x)故(B)、(C)、(D)均不正确,应选(A).三、(每小题5分,满分25分.)(1)【解析】这是个函数的参数方程dy dy/dt sint tcostdx dx/dt cost tsintd2ydx21cost tsint dtd dy 1 d si nt t cos

11、tdt(dx)dx dt cost tsint(2cost tsin t)(cost tsint) (2sin t tcost)(sin t tcost) 1(cost tsin t)2cost tsint2(cos21 sin2t)t2(sin2t cos2t) 3tsintcost 3tsintcost (cost t si nt)32 t23 (cost tsint)【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:如果y(；则芸唱(2)【解析】用换元法求定积分令 t .x ,则 x t2,dx 2tdt ,则4 dx1 x(1、x)1 t2(1 t) 2tdt2 1 121(; c)dt2x

12、sin x2 x (e 1)x limx 0sin x、缶 1 cosx 厂洛xim03x2叫IK2sin3Xlim2x 0 3x22t2142 ln2(lnIn；)2l n t 代入初始条件y(1)1得C 1,所以特解为y 1323(3)【解析】利用等价无穷小和洛必达法则当 x 0时，有sinx: X,ex : 1 x,所以(4)【解析】用分部积分法求不定积分(5)xsin2 xdxxx41 2x42xdx -21 xsin2x41 xsin2x4【解析】所给方程是一阶线性方程dxx / x y e x ( e e1(xxcos2xdxxcos2x)dxsin 2xdx41 cos2x8,其

13、标准形式为.Idxx dx C)11(xde C)(xexxx1 xd(si n2x)41 -y xxexdxexdxC)ex.通解为C)(xexxex C)【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程p(x)yq(x)的通解为p(x) dx(q(x)ep(x)dxdx C),其中C为常数.四、(本题满分9分)【解析】首先应简化不等式，从中发现规律当 x 1 时，原不等式即(1 x)l n(1x) x l nx,即(1 x)l n(1 x) xlnx 0.证法一：令f(x) (1 x)l n(1 x) xl nx,则只需证明在x 1时f(x) 0即可，可利用函数的单调性证明，对于f (x)有x 1 f

14、 (x) ln(1 x) 1 ln X 1 In().xx 1因x 1,故1,即f (x)0,所以在(1,)上f(x)是严格递增函数，所以xf (x) f (1)21 n2 0,故(1 x)ln(1x) xlnx 0,所以当x 1时,有不等式ln(1 x) 成立In x 1 x证法二：当x 1时,原不等式即(1 x)ln(1 x) xln X ,不等式左右两端形式一致，故令f(x) xlnx ,则 f (x) Inx 10(x1),所以 f (x)xl nx在x 1时严格单调递增故 f(x 1) f (x)，即(1 x)l n(1 x) xl nx.所以当x 1时,有不等式ln(1 x) 成立

15、. ln x 1 x五、(本题满分9分)【解析】微分方程 y y x cosx对应的齐次方程 y2y 0的特征方程为r 10,特征根为1,2i,故对应齐次通解为 C1 cos x C2si nx.方程y y x必有特解为 Y ax b,代入方程可得a 1,b 0.方程y y cosx的右端e x cos x cosx , i i为特征根，必有特解Y2 x Acosxx Bsinx,代入方程可得 A由叠加原理，原方程必有特解Y 琏所以原方程的通解为 y C1 cosx C2sinx0,B2x .xsinx.21 .x xsinx.2【相关知识点】关于微分方程特解的求法如果f(x) Pm(x)e

16、x,则二阶常系数非齐次线性微分方程y P(x)y q(x)y f (x)*kx具有形如y x Qm(x)e的特解，其中Qm(x)与Pm(x)同次(m次)的多项式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.如果f(x) exR(x)cos x Pn(x)sin x,则二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y q(x)y f (x)的特解可设为yxke x RDgcos x Rgsin x,其中 瓷仏)与 瓷)(x)是m次多项式，m max l, n ,而k按 i (或 i )不是特征y dx2y轴旋转故 | y y，即 dV 2 xydx2 x(x 1)(

17、x 2)dx.六、(本题满分9分)【解析】利用定积分求旋转体的体积，用微元法，曲线为一抛物线，与x轴的交点是x, 1,一 31X2 2,顶点坐标为(-，).24方法一：考虑对x积分,如图中阴影部分绕环柱体的体积为dV (x dx)2 y x2 y 2 x y dx其中dx2为dx 0的高阶无穷小，故可省略，且y为负的,把x从12积分得21 2 x(1 x)(x 2)dx 22 21 (3x3x 2x)dxx3 x412 (0 4)方法二：考虑对y的积分，如图中阴影部分绕 y轴旋转一周后的体积差，即y轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕2 2dVx2 dyx-i dy其中，为，x2为Y y与抛

18、物线的交点，且x2 x1，把Y y代入抛物线方程 y (x 1)(x 2)，解得3 . 1 4y 3 、1 4yX1，X2220 2故旋转体体积为V1 (x242x1 )dy.把X1，X2的值代入化简，得V 3 ,14ydy32- o(1 4y)2324431443 2七、(本题满分9分)【解析】可以利用函数的极值求解设B、C的横坐标分别为x1，x，因为| AB | 1，所以x 0，x 0.依题设AB:|DC|2:1，所以有e51 2e2x，两边同时取自然对数，得人In 22x，BC x x1x (In2 2x) 3x In 2,( x 0),所以梯形ABCD的面积为Se 2x)(3x In 2) 1(2e2x e2x)(3x In2)|(3x In2)e2x.3求函数S (3x In 2)e 2x,( x 0)的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x求导,并令S 0有6x 2In2)e0,1 11 1得驻点xIn 2,在此点S由正变负，所以xIn 2是极大值点2 32 31 13又驻点唯一，故xIn 20是S -(3x In 2)e2x最大值点2 321 11此时xIn 2, x.In 2 1时,梯形ABCD面积最大，2 331 1(-捫 2,0).1故B点的坐标为(In2 1,0), C点的坐标为3f(x )f (x) sin (x)x sin x, x