数学形态学幻灯片

1、1,数学形态学(Mathematics Morphology,数学形态学诞生于1964年，是由法国巴黎矿业学院博士生赛拉(J. Serra)和导师马瑟荣，在从事铁矿核的定量岩石学分析中提出的。在积分几何的研究成果上，将数学形态学引入图像处理领域，并研制了基于数学形态学的图像处理系统，在文字识别、显微图像分析、医学图像、工业检测、机器人视觉都有成功的应用,2,数学形态学,数学形态学是一门建立在严格数学理论基础上，分析研究空间结构的形状、框架的学科。它主要以积分几何、集合代数及拓扑论为理论基础，此外还涉及随即集论、尽世代数和图论等数学分支，理论很复杂，被称为“惊人的数学”。但它的基本思想简单完美,

2、3,数学形态学的概念,基本思想：用具有一定形态结构的结构元素去量度和提取图像中的对应形态以达到对图像分析和识别的目的。 数学形态学的数学基础和所用语言是集合论,4,基本集合定义,集合（集）：具有某种性质的、确定的、有区 别的事物的全体（它本身也是一个事物）。常用 大写字母如A，B，.表示。如果事物不存在，就 称这种事物的全体是空集。记为。 元素：构成集合的每个事物。常用小写字母如 a, b, .表示. 子集：当且仅当集合A的元素都属于集合B时， 称A为B的子集,5,基本集合定义,并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。 交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。 补集：

3、A的补集记为AC。定义为： 差集：两个集合A和B的差，定义为,6,基本集合定义,位移：设A是一幅数字图象， a是A的元素，b是一个点，定义A被b平移后的结果为： 映像（也称反射，映射）A关于原点的映像定义为,7,基本集合定义,结构元素：被形象的称作刷子，是膨胀和腐蚀操作的最基本组成部分，用于测试输入图像。根据不同的图像分析目的，常用的结构元素有方形、扁平行、圆形等。 结构元素的大小可以变化，但结构元素的尺寸一般要明显小于目标图像的尺寸。结构元素可携带形态、大小、灰度、色彩等信息,8,二值形态学的基本运算,二值图像是数字图像的重要子集，二值形态 学中的运算对象是集合，一般设A为图像集 合，B为结

4、构元素，数学形态学运算是用B对 A进行操作,9,数学形态学,最基本的形态学运算有： 膨胀：dilation 腐蚀: erosion 开启: opening 闭合: chosing,10,膨胀,膨胀的运算符为 ，A用B来膨胀写作A B， 定义为： 先对B做关于原点的映射，在将其映射平移x,这 里A与 B映射的交集不为空集。也就是B的映射的 位移与A至少有1个非零元素相交时B的原点位置 的集合,11,膨胀运算的图解,图（a）中阴影部分为集合A，图B中阴影 部分为结构元素B（标有”+”处为原点,膨胀是在结构元素的约束下，将与物体接触的部分背景点合并到该物体之中的过程。运算结果使物体的面积增大了相应数

5、量的点。例如，假设结构元素是半径为r个象素的小圆，被作用的物体是一个大圆。膨胀运算的结果是沿大圆边界向外增长了r个象素的宽度，即直径增加2r。如果被作用的图像中有两个相临的物体在某一处相隔少于2r+1，膨胀的结果将使这两个物体在该点连通，合并成为一个物体,13,腐蚀,腐蚀的运算符为 ，A用B来腐蚀，写作A B， 定义为： 上式表明，A用B腐蚀的结果是所有满足将B平移 后，B仍旧全部包含在A中的x的集合,也就是B经 过平移后全部包含在A中的原点组成的集合,14,腐蚀运算的图解,深色阴影部分为A B（浅色为原属于A现腐蚀掉 的部分）。可见腐蚀将区域缩小了,腐蚀是在结构元素的约束下，消除物体的部分边

6、界点的一种过程。运算 结果使物体的面积减少了相应数量的点。例如，假设结构元素是半径为 r个象素的小圆，被作用的物体是一个大圆。膨胀运算的结果是沿大圆 边界向内减少了r个象素的宽度，即直径减少2r。如果被作用的图像中 的物体在某一处宽度少于2r+1，腐蚀的结果将使物体在该点断开，合裂 成为两个物体。在任何方向宽度不大于2r个象素的物体将被消除。因 此，腐蚀运算将一幅图像中除去小且无意义的物体，突出主要感性趣目 标,16,原点不包含在结构元素中的运算,对膨胀运算,总有,对腐蚀运算,总有,当原点不包含在结构元素中,对膨胀运算来说 只有,对腐蚀运算来说,有两种可能, 或者,17,原点不包含在结构元素中

7、的膨胀运算,示例,18,原点不包含在结构元素中的膨胀运算,示例,19,原点不包含在结构元素中的腐蚀运算,示例,20,原点不包含在结构元素中的腐蚀运算,示例,21,腐蚀与膨胀的关系,膨胀和腐蚀一个使图像物体增大，另一个使图像物体减 小，二者之间并非逆运算的关系。但这两种形态运算之 间存在对偶性(Duality,一个对图像目标的操作相当于另一个运算对图像背景的 操作,a) 原始图像 b) 腐蚀图像 c) 膨胀图像,23,开启和闭合,膨胀和腐蚀是两种基本的形态运算，它们可以组合成复杂 的形态运算，比如开启和闭合运算等。 开启：使用同一个结构元素对图像先进行腐蚀运算然后 在进行膨胀的运算称为开启。 闭

8、合：先进行膨胀运算然后在进行腐蚀的运算称为闭合,24,开启,开启的运算符为“”，A用B来开启记为AB。 定义如下,用来消除小对象物、在纤细点处分离物体、平滑较大物 体的边界的同时并不明显改变其体积,25,a)输入图像A b)结构元素B c) d,用圆盘对输入图像开运算的结果,26,开运算滤除背景噪声,a) 原图 b)开运算结果,27,闭合,闭合的运算符为“”，A用B来闭合记为AB。 定义如下,它具有填充图像物体内部细小孔洞、连接邻近的物体， 在不明显改变物体的面积和形状的情况下平滑其边界 的作用,28,a) 输入图像 (b) 闭运算的结果,利用闭运算去除前景噪声,29,A B,用腐蚀和膨胀运算

9、得出的三种图像边界,三种形态学边界实例,31,开启和闭合的关系,开启和闭合也具有对偶性,这个对偶性可根据膨胀和腐蚀的对偶性得到。 开启和闭合运算不受原点是否在结构元素之中的影响,开与闭两种运算共有的特点是可以消除比结构元素小的特定 的图像细节，同时不会产生全局性几何失真,形态运算举例,1）噪声滤除 下面图像A是一幅受到噪声严重干扰的图像。内部有零散的蚀洞，外部还有一些孤岛状的干扰,用结构元素B对其进行如下的一组形态运算,它的整个运算等价于先开后闭。具体的过程是，结构元素B对图像A先腐蚀。物体周围整个小了一圈，孤岛小于结构元素，因而被消除。但是图像A内部的蚀洞却被扩大了。紧接着再用同一个结构元素

10、对上述结果进行膨胀，缩小的边缘得到些恢复，蚀洞恢复近于原状。与初始的图像相比，图像A的四角变得圆滑。再对结果图像膨胀，内部的蚀洞消失。最后再进行一次腐蚀，得到噪声全部去除但有些圆角的图像，实现噪声滤除的效果,33,边界提取,形态运算可以用来提取图象物体的边界。如果用(A)代 表图象物体A的边界的话, 下面的形态运算可以得到A的边 界, 即原图象与用图象物体在结构元素B腐蚀后的结果的 差值,34,骨架化,在某些应用中，针对一幅图像，希望将图像中的 所有对象简化为线条，但不修改图像的基本结 构，保留图像的基本轮廓，这个过程就是所谓的 骨架化,35,说明,MATLAB中数学形态学的4个基本元算： 膨

11、胀： imdilate 腐蚀： imerode、 开启： imopen、 闭合：imclose,36,说明,J=imdilate (I, SE); J= imdilate (I, NHOOD); J= imdilate (I, SE,PACKOPT); J= imdilate (,PADOPT); SE：结构元素； NHOOD是一个只包含0和1作为 元素值的矩阵，用于表示自定义形状的结构元 素；PACKOPT和PADOPT是两个优化因子，分别 可以取值ispacked 、notpacked、same、full，用 来指定输入图象是否为压缩的二值图象和输出图 象的大小,37,说明,J = imo

12、pen(IM,SE) J= imopen(IM,NHOOD) J= imclose(IM,SE) J= imclose(IM,NHOOD,38,说明,SE：结构元素,可以使用strel函数来创建。 strel函数支持多种常用的形状，如线形(line) 钻石形(diamond)、圆盘形(disk) 等,39,40,41,42,43,44,说明,SE=strel(rectangle,40,30); BW1=imread(circbw.tif); BW2=imerode(BW1,SE); BW3=imdilate(BW2,SE); BW4=imopen(BW1,SE); subplot(2,2,1)

13、,imshow(BW1); subplot(2,2,2),imshow(BW2); subplot(2,2,3),imshow(BW3); subplot(2,2,4),imshow(BW4,45,46,闭合,I=imread(circles.tif); se=strel(disk,10); closeI=imclose(I,se); imshow(I); figure,imshow(closeI,47,闭合,闭合运算把比结构元素小的缺口或孔填充上，起到连通作用,48,开启,I=imread(ngc4024l.tif); se=strel(disk,5); openI=imopen(I,se); imshow(I); figure,imshow(openI,49,开启,开启运算把比结构小的给滤掉，切断细长搭接，起到分离作用,50,骨架化,在某些应用中，针对一幅图像，希望将图像中的 所有对象简化为线条，但不修改图像的基本结 构，保留图像的基本轮廓，这个过程就是所谓的 骨架化。 在MATLAB中，提供了专门的函数bwmorph，可 以实现骨架化操作,51,52,53,骨架化,BW1=imread(circbw.tif); BW2=bwmorph(BW1,skel,Inf); imshow(BW1); figure,imshow(BW2,54,骨架化,5