拉普拉斯变换课件

1、1,第六章 拉普拉斯变换,2,本章基本要求,理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换 掌握有理分式反演法 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理 理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法 求解微积分方程,3,6.1 拉普拉斯变换的概念,4,一 Laplace 变换的定义,1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件 2）在（-，+）上满足 绝对可积的条件 3）在整个数轴上有定义,实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多 函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃， 线性函数等；另外，在无线电技术中，函数 往往以t作为自变量，t0无意义,5,2 拉普拉斯变换研究的对象函数,1）函数满足这样的条件: a) t0时，f

2、(t)=0 b) t=0时，f(t)右侧连续,2）设单位阶跃函数， 则原函数 f(t)，研究函数为f(t)u(t,6,3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换,7,从上面推导可知，函数f(t)(t0)拉普 拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-t 的傅里叶变换,8,4 Laplace变换的定义,设f(t)为定义在0，）上的实变函数或复 值函数，若含 复变量的积分,在s的某个区域内存在，则由此积分定义的 复函数,称为函数f(t)的Laplace变换或像函数， 记作F(s)=Lf(t,9,而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数， 记作f(t)=L-F(s)，上式也称作黎曼-梅林 反演公式,10,

3、二 Laplace变换的存在条件,Laplace 变换存在的充分条件是： （1）在 0 t 0 和 0，使对于任何t (0 t ), 有,的下界称为收敛横标，以0 表示。 大多数函数都满足这个充分条件,11,0+i,0-i,s 平面,o,收敛横标,12,2 定理：若f(t)满足上述条件，则像函数 F(s)在半平面Res上有意义，而且是一 个解析函数,13,三 例题,例1 指数函数 eat (a为复常数,14,例2 Heaviside阶跃 函数,15,例3 线性函数f (t) = t (t 0,16,例4,同理,17,解,从而,类推,18,6.2 基本函数的拉普拉斯变换,19,一 单位阶跃函数,

4、二 (t)函数,20,三 函数tn（n-1)的拉氏变换,21,6.3 Laplace 变换的基本性质,22,Laplace 变换F(s) 的特性： （1） F(s) 在 Re(s)0 的半 平面代表一个解析函数。 （2）当 |Arg s| /2 - ( 0) 时,且满足,0+i,0-i,s 平面,o,解析区域,23,一 线性定理：与 Fourier 变换一样,例,24,注意： 一、初始条件进入Lapace 变换公式中，这一点在实际 应用中非常重要。 二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘,二 原函数导数定理,25,原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除,三 原函数积分定理,26,

5、四 相似性定理 五 位移定理： 六 延迟定理,27,七 卷积定理,28,八 像函数微分性质,29,即： 像函数求积分，相当于原函数除 t 的像函数,九 像函数积分定理,30,十 关于参数的运算,对于含参数的函数f(t,)的拉氏变换来说， 由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于的 运算顺序可以交换，所以,31,十一 初值定理,32,十二 终值定理,33,例1（P205例10.3.4,34,例2（P206例10.3.5,35,例3（补充例题）求解初始问题,36,例4（补充例题）求解初始问题,37,例5（补充题，利用原函数积分法求解 积分方程）设C，R，E为正常数，求解 积分方程（该方程来自电路理论,

6、38,6.3 Laplace变换的反演,39,关于 t 的微分方程 关于 p的代数方程 关于 p的代数方程 原微分方程的解,Laplace 变换,Laplace 变换的反演,40,一 有理分式的反演,把有理分式分解,然后利用一些基本公式 和 Laplace 变换的性质求原函数,一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分 式展开 4）利用拉氏变换表求解,注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况,41,例1 求 的原函数 （p208例10.4.1,42,例2 求 的原函数 （p208例10.4.2,43,例3 求 的原函数,解,因此原函数为,44,通分后

7、比较p的同次幂系数得,45,二 查表法反演,例4：求 的原函数,由表查得,解,又由延迟定理,46,例5 求 的原函数。 解：由表查得 由位移定理： 因此原函数为,47,例6 求 的原函数 （p210例10.4.5,48,三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式 在 L 右边，像函数解析，无奇点。 故作围道 (L+CR) 在 L 的左边。 设 在 L 的左边只有有限个 孤立奇点 pk，由留数定理 因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂,49,Fourier变换与Laplace变换的比较,1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fo

8、urier 变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT,2 尽管 Laplace 逆变换是复变积分，因像 函数是一个解析函数，可以利用复变函数 理论的公式; 无现成的数值计算程序；每个 问题的极点分布不一样,50,6.4 拉普拉斯变换应用举例,51,一 利用拉氏变换求积分,1）如求 的积分，先求 的积分，然后令t=1,例1（p215例10.5.2,52,2）若 ，则,例2（p216例10.5.3,53,3）若 ，则利用基本公式11 和初值定理，得到,例2（p216例10.5.4,54,二 利用拉氏变换求解微分方程，积分方程,例1 （p217例10.5.6）解方程,55,例2 L-R串联电路有交流源 E=E0sint, 求电路中的电流,解：电流方程,两边作 Laplace 变换,解得,56,应用卷积定理,第一项：稳定振荡，第二项：衰减,