第八章 回归正交试验设计

8回归正交试验设计本章要点主要讲述了一次回归正交试验设计、二次回归正交试验设计的原理、基本方法和统计分析步骤，并针对不同类型的回归正交试验给出了相应的计算案例。重点回归正交试验设计的方法，统计过程中方程的建立以及显著性分析检验。难点二次回归组合设计正交性的实现及其统计分析。81回归正交试验设计简介产品质量通常受多因素的综合影响，试验效应既包括因素的主效应，也包括因素间的交互作用，因此，在产品研究中总希望安排足够多的研究因素以使试验效应有充分的试验论据。但因素和水平的增加造成试验规模庞大，特别是对于多指标分析的试验往往由于分析困难而无法实施。线性反应试验一般是研究一个因素多水平的试验设计，面体反应试验是研究两个因素多水平的的试验设计。当试验因素超过3个的多水平试验时，由于采用组合处理，处理数目等于因素水平间的乘积，它随因素的增加呈几何级数增加。例如，一个3因素4水平的试验，总共有4364个试验处理，而4因素5水平的试验就有54625个处理，由于处理数目太大，不仅增加了试验误差，而且由于受试材和条件的限制，这对产品研究来说是难以实施的。正交试验设计方法在产品工艺改进、新产品的试制中得到了广泛的应用，它能够利用较少的处理安排较多的试验因素，获得较佳的试验结果。但是正交设计不能在一定的试验范围内，根据数据样本，去确定变量间的相关关系及相应的回归方程。如果试验传统的回归分析，又只能被动地去处理由试验所得到的数据，而对试验的设计安排几乎不提出任何要求。这样不仅盲目地增加了试验次数，而且由数据所分析出的结果还往往不能提供充分的信息，造成在多因素试验的分析中，由于设计的缺陷而达不到预期的试验目的。因而回归正交试验设计应运而生。回归正交试验设计是将试验安排与数据的回归分析结合起来考虑。在试验中，通过适当地安排试验点，使得在每个试验点上获得的数据含有最大的信息，并且各自变量因素向量间满足正交性以便于回归分析。然后再用回归分析处理试验数据，将试验指标与被考察的各因素间的关系以回归方程表示出来。回归正交设计兼容了正交试验设计与回归分析两者的优点，又避免了回归分析计算及分析麻烦的缺点，是一种优良的试验设计方法。82一次回归正交试验设计原理一次回归正交设计就是利用回归正交原理，建立试验指标（）与个试验因素YM之间的一元回归方程12,MX81或（82）其中，回归模型的参数，是模型的自变量。012,MB12,MX它解决的是多元线性回归问题，但是多元回归分析的计算过程是非常复杂的，由于试验点是随意定的，因而由试验点上变量的取值所构成的系数矩阵在求其逆矩阵时就很复012MYBXBX,JKJJK杂。根据多元线性回归的理论，用矩阵表示，以最小二乘法，可以推导出系数矩阵为。数学模型82式，是表示变量与变量间相关关系的数Y据结构式。它的结构矩阵为X正规方程组的系数矩阵为A（83）可以看出，结构矩阵中的元素除第一列外，其余都是变量在各试验点上的取值，其X系数矩阵各元素的值，又决定于结构矩阵各元素的值。由线性代数知道，系数矩阵如为对角阵时，其逆矩阵就便于计算了。因此，如果能经过某种安排适当的试验点，使系数矩阵为对角矩阵，这样不仅能简化其逆矩阵的计算，而且还能使得回归系数间不存在相关性。A从上面的系数矩阵来看，欲使为对角矩阵，须使结构矩阵中的任一列的和为零，任A两列的相应元素乘积之和为零，即（84）从数学意义上讲，也就是要使结构矩阵具有正交性。对于回归正交试验设计表的选择，A可以引用正交试验设计表，下面看一张最简单的两水平正交试验表，见表81。121121312221212131MMNNNNXXXX10,12,NIJIKJXKJMIN342L1212131122221111NNNNNIIIMIIIMIIIIIIINNNIIIITXXXXAX32121112321NNIIIMIMIMIMNNNIIIIIXXX对1321IINIMX称1TBXY12,表81L4（23）正交表试验号1231234112212121221表82回归正交表试验号1231234111111111111用“1”代换表81中的二水平符号“2”，代换后成表82，显然这两种正交表之间并无本质差别，然而，代换后可明显地看出正交表的正交性，即每列所有数字相加之和为零，且任意两列相乘之和为零。由此可见，要使结构矩阵成为有正交性的，首先要按二水平正交表来安排试验，一次回归正交设计正是运用二水平正交表如、342L78等等来安排试验的，其设计的步骤及分析方法如下。12L821一次回归正交试验设计的基本方法1）确定因素的变化范围根据试验指标，选择需要考察的个因素，并确定每个因素的YM1,2JXM取值范围。确定因素水平的上限和下限一般要根据专业的知识或预备试验，一般地说，上限与下限的距离愈小、愈接近最佳水平范围，试验求得的回归方程的预测性就越好。设因素的变化范围为，分别称和为因素的下限和上限，并将它们的算术JX12,JX1J2JJ平均值称为零水平，即0（85）上限与零水平之差称为因素XJ的变化区间，用表示，即J（86）或（87）2）对因素的水平进行编码编码的目的是为了将试验效应对因素的回归关系转化为对编码值的回归关系。编YY码值0JJJ20JJ1JJJX0JJJXZ（88）通过编码公式，将因素取值作线性变换后，可以找到因素取值与编码的对应关系，从而在编码空间中选择析因点。编码以后，试验因素水平被编为1，0和1，即，。一般JZ0JZ21J称为自然变量，为规范变量。对每个因素的各水平，按公式86进行线性代换，JXJZJX就可以列出因素水平编码表，见表83。表83因素水平编码表因素1X2JX下水平1上水平1变化区间J零水平21MX1X2M12JMJX3）确定零水平的重复次数在一次回归正交试验中，因为每个因素只有两个水平点，而且不设重复，很难得到一个正确无偏误差估计，因此增加零水平的重复次数不仅可以考察因素的线性变化，而且可以得到试验的一个纯误差，以对匹配的回归方程进行拟合性测验。这些零水平取值是各个因素的基准水平，其重复的次数应根据实际情况和试验的要求而定。4）选择合适的正交设计表将二水平的正交表中的“2”用“1”代换，就可以得到一次回归正交设计表。例如正交表经过变换后得到的回归正交设计表如表84。782L表84一次回归正交设计表列号试验号12345671234567811111111111111111111111111111111111111111111111111111111代换后，正交表中的编码不仅表示因素的不同水平，也表示了因素水平数值上的大小。从表82可以看出回归正交设计表具有如下特点1任一列编码的和为0，即10NJIIZ（89）所以有（810）（2）任两列编码的乘积之和等于0，即（811）上述特点说明了代换后的正交表同样具有正交性，可使回归计算大大简化。5）试验方案的确定与正交试验设计类似，在确定试验方案之前，要将规范变量安排在一元回归正交表JZ相应的列中，即表头设计。例如，需考察三个因素，可选用进行试验设计，根据正交表123,X782L的表头设计表，应将分别安排在第1、2和4列，也就是将安排782L123,Z在表82的第1、2和4列上。如果还要考虑交互作用，也可参考正交表X13的交互作用表，将和分别安排在表82的第3、5列上，表头设计结果见12Z3表83。每号试验的方案由对应的水平确定，这与正交试验是一致的。,从表85可以看出，第3列的编码等于第1，2列编码的乘积，同样第5列的编码等于第1，4列编码的乘积，即交互作用列的编码等于表中对应两因素列编码的乘积，所以用回归正交表安排交互作用时，可以不参考正交表的交互作用表，直接根据这一规律写出交互作用列的编码，这比原正交表的使用更方便。表85三因素一次回归正交表12345试验号ZZ12Z3Z13Z1234567891011111111001111111100111111110011111111001111111100表85中的第9，10号试验称为零水平试验或中心试验。安排零水平试验的目的是为了进行更精确的统计分析（如回归方程的失拟检验等），得到精确度较高的回归方程。当然，1,1,2NJIKIZMJK,IJZJ如果不考虑失拟检验，也可不安排零水平试验。6）试验处理的随机化回归正交试验设计由于处理数目较多，不能全部重复，只能零水平适当地多重复几次，用零水平重复得到试验误差，各处理的随机化可采用抽签、随机数字表或随机函数。之后就可以根据试验方案进行试验，收集数据。822一次回归正交试验设计的统计分析回归正交试验经设计、实施后，就可以调查指标、收集资料，进行统计分析。回归正交试验设计是试验设计与结果分析结合的产物，试验设计时就考虑到结果的分析，因此回归正交试验的结果分析比较简单。1）一次回归方程的建立如果采用二水平正交表编制元一次回归正交设计，一共进行了次试验，其试验结果以MN表示，则一次回归的数学模型为12,MY根据最小二乘原理建立回归方程为（812）由于一次回归正交设计的结构阵具有正交性，即除第一列的和为外，其余各列的和XN以及任意两列的内积和均为零，因而它的信息矩阵（系数矩阵）为对称矩阵A212121212132100000000NININIMNIINIINIMIINXXAXX对称011,1,23,NIJIIJKIJIBXBXKJ01MIJIJY一次回归正交的次试验中，当时，矩阵为N0MA其逆矩阵为C00NAN对称1100000101NCANN对称121231,00000MMNAAA对称当时，矩阵为0MA逆矩阵为C常数项矩阵为B1012121122313111NIIIIINIIINIMIIIIINIIMINIMIIIYXBBXYXYBXY00000000NMANMNM对称010001001011NMCANMN对称于是当时，回归系数0M即同理，当时，回归系数为0M001122111223311100/100/10/MMNBNBABNBNN对称0100100,12,INIJJJNIKJIIJIJYBBNXKJMMYBBN011,12,INIJJJNIKJIIJIJYBBNXKJMYBB以上可以看出，由于按正交表来安排试验和对变量进行了线性代换，使得系数矩阵的逆矩阵运算简单了，同时也使得回归系数之间不存在相关性。所以一次回归正交设计的计算C也就简单了。将上述计算结果代入公式（82），即可得到一次回归方程。需要指出的是，如果一次回归方程中含有交互作用项，则回归方程不是线性JKZ的，但交互作用项的回归系数的计算和检验与线性项是相同的，因为交互作用对试验结果也J有影响，可以看作是影响因素。通过上述方法确定偏回归系数后，可以直接根据它们的绝对值的大小来判断各因素和交互作用的相对重要性。因为在回归正交设计中，所有因素的水平都经过了无因次的编码变换，它们在所研究的范围内都是“平等的”，因而所求得的回归系数不受因素的单位和取值的影响，直接反映了该因素作用的大小。另外，回归系数的符号反映了因素对试验指标影响的正负。2）回归方程及偏回归系数的方差分析（1）无零水平试验时首先计算各种平方和及自由度。总平方和为将代入上式得（813）其自由度为。一次项偏回归平方和的计算公式为（814）交互项偏回归平方和的计算公式为（815）各种偏回归平方和的自由度都为1。一次项偏回归平方和与交互项偏回归平方和的总和就是回归平方和（816）所以回归平方和的自由度也是各偏回归平方和的自由度之和（817）残差平方和为（818）其自由度为RJIJDFFDF222111NNNTYIIIISLYYETRS001IBBN2200TIIBSYYBN1DFN2JJSA2IJIJBSARJIJSS于是一次回归正交设计的计算和方差分析可如表86及表87那样进行。ETRDFF表86一次回归正交设计计算表试验号0Z1ZMZ12Z1MZIY12N111211NZ12NMZ2112NZ211NMZ12MY21NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB201NIZ1NI021NI1NIZY1BA1S21NI1NIMZYMBAS1NII12NIIZY12A12S21NIII1NIMIZY1BA1MS21NI201NTIBSYN1221RMSETRS如果考虑了所有的一次项和交互项，则可参照表87进行方差分析。表87一次回归正交设计的方差分析表变异来源平方和（）S自由度（）DF均方（）MSF1Z2MZ12MZ回归剩余12MS12MRSE11111RDFE1/DF2/MSF12D/MMFRRMS/EEDF1/ES2/ME12S/EMR总计TTFF在实际做试验时，往往只需要考虑几个交互作用，或者可以不考虑交互作用，所以在计算回归和残差自由度时应与实际情况相符。如果不考虑交互作用，RF。值得注意的是，无论是否考虑交互作用，都不影响偏回归系数的计算公1EDFNM式。经偏回归系数显著性检验，证明对试验结果影响不显著的因素或交互作用，可以将其从回归方程中剔除，而不会影响到其他回归系数的值，也不需要重新建立回归方程。但应对回归方程再次进行检验，将被剔除变量的偏回归平方和、自由度并入到残差平方和与自由度中，然后再进行相关的分析计算。（2）有零水平试验时如果零水平试验的次数，则可以进行回归方程的失拟性（LACKOFFIT）检验。02M前面对回归方程进行的显著性检验，只能说明相对于残差平方和而言，各因素对试验结果的影响是否显著。即使所建立的回归方程是显著的，也只反映了回归方程在试验点上与试验结果拟合得较好，不能说明在整个研究范围内回归方程都能与实测值有好的拟合。为了检验一次回归方程在整个研究范围内的拟合情况，则应安排次零水平试验，进02M行回归方程的失拟性检验，或称拟合度检验（TESTOFGOODNESSOFFIT）。设次零水平试验结果为，根据这次重复试验，可以计算出重复0M0120,MY试验误差为（816）试验误差对应的自由度为（817）由前述知，只有回归系数与零水平试验次数有关，其他各偏回归系数都只与二0B0M水平试验次数有关，所以增加零水平试验后回归平方和没有变化，于是定义失拟平CMRS方和为（818）000222111MELIIIIIISYY0ELDFLFTRELSS或（819）可见，失拟平方和表示了回归方程未能拟合的部分，包括未考虑的其他因素及各的JX高次项等所引起的差异。它对应的自由度为（820）所以有（821）（822）这时（823）服从自由度为的分布。对应给定的显著性水平（一般取01），当,LFELDF时，就认为回归方程失拟不显著，失拟平方和是由随机误差造成的，否则说LFELFLFS明所建立的回归方程拟合得不好，需要进一步改进回归模型，引入别的因素或建立更高次的回归方程。只有当回归方程显著、失拟检验不显著时，才能说明所建立的回归方程是拟合得很好的。最后需要指出的是，回归正交试验得到的回归方程是规范变量与试验指标之间的关系式，还应对回归方程的编码值进行回代，得到自然变量与试验指标的回归关系式。例81硝基蒽醌中某物质的含量与以下三个因子有关Y亚硝酸钠（G）X大苏打（G）2反应时间（H）3为提高该物质的含量，需建立Y关于变量的回归方程，考虑交互作用。123,X123,X1）确定因子变化范围并对因子水平进行编码因，所以其上水平，下水平，零水平1905XG、90150X变化区间，以为例，对121072XA应的编码。同理可对其他因素水平进行编码，编码结果见表88。表88例81因素水平编码表编码值JZ亚硝酸钠（G）1X大苏打（G）2X反应时间（H）3X上水平（1）90453下水平（1）50251零水平（0）703522107LFELSSLFELDFTRERLFELSSSFLDFFDELFFLFSD105X变化区间JA2112）正交表的选择和试验方案的确定本例有三个因子，选用，经编码转换后，得到回归正交表（如表89）所示。782L不进行零水平试验，故试验次数8，从而可得试验计划，并按计划进行试验，试验结果N列在表89中。表89例81三元一次回归正交设计试验方案及试验结果试验号1Z2Z3Z13Z23Z试验结果Y123456781111111111111111111111111111111111111111923586008958870585708326839583383）计算并建立回归方程由于不进行零水平试验，故，。根据回归系数的计算公式，将有关0M8CN计算列在表810中。由表可知，回归方程为编码方程中各因素都已转变为无量纲数，因此系数的绝对值的大小可作为判断因素作用的大小。从上述编码方程看，因素作用大小排序为。13123ZZZ4）方差分析方差分析结果见表811。由表可知，因素对试验指标有极显著的影响，、Y3、对试验指标有显著影响，因此原回归方程可以简化为13Z2Y根据编码公式，进行线性回归方程的回代，得1231323642384370698YZZZZZ10172XZ30331XZ313236448072698ZZZZ113323232778642848960698XXYXX225XX表810例81三元一次回归正交设计计算表试验号0Z1Z2Z3Z13Z23ZY12345678111111111111111111111111111111111111111111111111923586108958870585708326839583382NJIJAZ1JIJBY/JJB2JJSA86913786421381879234884413383450431314878811791473817375585770721241616855906988390659820521NIY71440420/TISBN43187354163907163R405ETR表811例81方差分析表差异源SDFMSF显著性Z1Z2Z3Z1Z3Z2Z3回归残差441331487817375541616390671063903765111115244133148781737554161639061421280188323437679012922756221009207435744796总和714404N17注05005011,28,98,293,5,2930FFFF例82从某种植物中提取黄酮类物质，为了对提取工艺进行优化，选取三个相对重要的因素乙醇浓度（）、液固比（）和回流次数（）进行了回归正交试验，不考虑交1X2X3X互作用。已知6080，812，13次。试通过回归正交试验确定黄酮提取率与三个因素之间的函数关系式。解1）因素水平编码及试验方案的确定表812例82因素水平编码表编码值JZ乙醇浓度1X液固比2X回流次数上水平（1）80123下水平（1）6081零水平（0）70102变化区间J1021由于不考虑交互作用，所以本例要求建立一个三元线性方程。因素水平编码如表812所示。选正交表安排试验，将三个因素分别安排在回归正交表的第1、2、4782L列，试验方案及结果见表813，表中的第9、10、11号试验为零水平试验。表813例82试验方案及试验结果试验号1Z2Z3Z提取率Y12345678910111（80）1111（60）1110（70）001（12）11（8）111110（10）001（3）1（1）1111110（2）0080736964696560516665662）计算并建立回归方程由题意可知，本试验含有零水平试验，。根据回归系数的计算公式，03,8CMN将有关计算列在表814中。表814例82正交回归设计计算表试验号0Z12Z3ZY123456789101111111111111111111110001111111100011111111000807369646965605166656621NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB1172866182841051252101843053752311825031250781487121NIY5296201NTIBSN23519RS0103ETRS由表可知，回归系数66182、05125、05375、03125，则回归方0B1B23B程为由该回归方程偏回归系数绝对值的大小，可以得到各因素的主次顺序为，即液固比乙醇浓度回流次数。又由于各偏回归系数都为正，所以这些213X影响因素取上水平时，试验指标最好。3）回归方程显著性检验方差分析结果见表815。682503751YZZZ表815例82方差分析表差异源SDFMSF显著性Z1Z2Z3回归残差2101231107815193010311137210123110781173100147142915725311178总和5296N110注010,725,845FF由方差分析表可知，各因素对试验指标均有极显著影响，回归方程无须简化。Y4）失拟性检验本例中，零水平试验次数，可以进行失拟性检验，有关计算如下。03M所以检验结果表明，失拟结果不显著，回归模型与实际情况拟合得很好。5）回归方程的回代将，代入上述回归方程得整理后得到83二次回归正交组合设计831二次回归组合设计假设有个试验因素（自变量），试验指标为因变量，则二次回M1,2JXMY归方程的一般形式为02221101456243565607MELIIIISYY017093LFELSSLDF25LFELF01E0963/7,922FLLFLFSDFF170XZ210XZ3321XZ12370618205552XXYZX1236871XX（824）其中，为回归系数，可以看出该方程共有,JKJJAB项，要使回归系数的估算成为可能，必要条件为试验次数；同时，为了计算出二次回归方程的系数，每个因素至少要取3个水平，所以用一元回归正交设计的方法来安排试验，往往不能满足这一条件。例如，当因素数时，二次回归方程的项数为10，要求试验次数10，如果用正交表3MN安排试验，则试验次数不符合要求，如果进行全面试验，则试验次数为次，49L327试验次数又偏多为解决这一矛盾，可以在一次回归正交试验设计的基础上再增加一些特定的试验点，通过适当的组合形成试验方案，即所谓的组合设计。正交组合设计由三类试验点组成，即二水平试验、星号试验和零水平试验。例如，设有两个因素和,试验指标为，则它们之间的二次回归方程为1X2Y（825）该方程共有6个回归系数，所以要求试验次数6，而二水平全面试验的次数为N次，显然不能满足要求，于是在此基础上再增加5次试验，试验方案如表816和2,4图81所示。表816二元二次回归正交组合设计试验方案试验号1Z2ZY说明1234111111111234Y二水平试验567800005678Y星号试验9009零水平试验211,1MMJKJJYXBXKJK1221N21211YABXBX图81二元二次回归正交组合设计试验点分布图二水平试验是一次正交回归试验设计中的试验点，设二水平试验的次数为，若为全CM面试验（全实施），则，若根据正交表只进行部分二水平试验（1/2或1/4实施），2MC这时或，对于二元二次回归正交组合设计，。12MC24C由图81可以看出，58号试验点都在坐标轴上，一般用星号表示，所以被称作星号试验，他们与原点（中心点）的距离都为，称作星号臂或轴臂。星号试验次数为与试验因素数有关，即，对于二元二次回归正交组合设计，。2零水平试验点位于图81的中心点（原点），即各因素水平编码都为零时的试验，该试验可只做一次，也可重复多次，零水平试验次数记为。0M所以，二次回归正交组合设计的总试验次数为（826）如果将两因素的交互项和二次项列入组合设计表中，则可得到表815。其中交互列和二次项列中的编码可直接由和写出。例如，交互列的编码是对应和的乘积，1Z212Z1Z2而的编码则是列编码的平方。21Z1表817二元二次回归正交组合设计试验号Z2Z12Z21Z2Z123411111111111111111111567800000000200002900000832二次回归组合设计正交性的实现由表815可以看出，增加了星号试验和零水平试验之后，二次项失去了正交性，即该列编码的和不为零，与其他任一列编码的乘积和也不为零。为了使表817具有正交性，必须对二次项进行中性化处理，并确定合适的星号臂长度。1）星号臂长度确定根据正交性的要求，可以推导出星号臂长度必须满足如下关系式（证明略）（827）可见，星号臂长度与因素数，零水平试验次数及二水平试验数有关。为了设计M0MC0CN2CC方便，将上述公式计算出来的一些常用的值列于表818。表818二次回归正交组合设计值表因素数M0234（1/2实施）45（1/2实施）512345678910100010781147121012671320136914141457149812151287135314141471152515751623166817111353141414711525157516231688171117521792141414831547160716641719177118201868191415471607166417191771182018681914195820001596166217241784184118961949200010492097根据表818可知，对于二元二次回归正交组合设计，当零水平试验次数时，01M。12）二次项的中心化设二次回归方程中的二次项为，其对应的编码用21,1,2JIJZMIN表示，可以用下式对二次项的每个编码进行中心化处理JIZ（828）式中，是中心化后的编码。这样组合设计表中的列就可以变成列。表819JIZ2JZJZ是二次项中心化之后的二元二次回归正交组合设计编码表。表819二元二次回归正交组合设计编码表试验号1Z2Z12Z21Z2Z1Z2Z1234567811111100111100111111000011111100111100111/31/31/31/31/31/32/32/31/31/31/31/32/32/31/31/3221NJIJIJIIZZ9000002/32/3表819中后两列是根据公式（828）计算得到的，以列的中心化为例，该21Z列的和，所以有，等。833二次回归正交组合设计的基本步骤1）因素水平编码确定因素的变化范围和零水平试验的次数，再根据星号臂长1,2JXM0M的计算公式（824）或表818确定值，对因素水平进行编码，得到规范变量。如果以和分别表示因素的上下水平，则它们的算术平均值就,2JZ2JX1JJX是因素的零水平，以表示。设与为因素XJ的上下星号臂水平，则与J0JJX为因素的上下限，于是有JXJ（829）所以，该因素的变化间距为830）然后对因素的各个水平进行线性变换，得到水平的编码为JX（831）这样，编码公式就将因素的实际取值与编码值一一对应起来（见表820），编码后，JXJZ试验因素的水平被编为，1，0，1，。表820因素水平的编码表自然变量JX规范变量JZ12MX上星号臂上水平1零水平0下水平1下星号臂变化间距JA201A1X102XA212A20MAM1XMA9216IIZ2211693NIZ17103NIZ0JJJZ120JJJJJX2JJJ2）二次回归正交组合设计的确定首先根据因素数选择合适的正交表进行变换，明确二水平试验方案，二水平试验次M数和星号试验次数也能随之确定，这一过程可以参考表821。C表821正交表的选用因素数选用正交表表头设计CM234（1/2实施）45（1/2实施）5342L781562L31，2列1，2，4列1，2，4，7列1，2，4，8列1，2，4，8，15列1，2，4，8，16列2242382418241625116253246881010然后对二次项进行中心化处理，就可以得到具有正交性的二次回归正交组合设计编码表。附录8列出了时的常用二次回归正交组合设计表，可以直接参考选用。0M3）试验处理的随机化回归正交试验各处理的随机化可采用抽签、随机数字表或随机函数。之后根据试验方案进行试验，收集数据。834二次回归正交组合设计试验结果统计分析如果研究个因素，采用二次回归正交组合设计共有个处理，其试验结果以MN表示，当对平方项进行了中心变换，消除平方项与常数项的相关性以后，数12N,Y学模型为要建立二次回归方程，首先必须计算出不同类型的回归系数。0,JIJB由于二次回归正交组合设计的结构矩阵具有正交性，因而它的信息矩阵为A011MMJIKJIJJIYBXBX11210000MMMNAAAXA对称其中常数项矩阵为01121,MMMBXYBB式中相关矩阵为C于是二次回归方程的回归系数，则1BAB为简便起见，上述计算可列表进行，如表822所示。将值计算结果代入二次回归正交数学模型中，即可得到回归方程。B方程及回归系数显著性检验与一次回归相同，详见一次正交回归方差分析表。如果在中心点设有次重复，且试验结果分别为，则可先用计算的误差平方和（0M0120M,Y）对失拟平方和（）进行检验，方法也与一次回归相同。LESLFS1112111000000MMMNAACAA对称01121122,NNIIJJJIJNNIJIKJIJIJJIJIJIJIYXYBBNAXYXYBBBJAA01111,NNNNIJIJJIJIJIKJIYXYXYXYJ22211,NNNJIJIJIKJJIJAXAXJAX表822二次回归正交设计计算表试验号0Z1ZMZ12Z1MZ1ZMZY12N11121N1Z12NMZ2112NZ211NMZ211NZ12NMZ12NY21NJIJAZ1NJIJBYJJBA2/JJSB20NI1NI02NI1NIZY1BA1S21NI1NIMZYMBASNII12NIIZY1212S2NIII1NIMIZY1BA1MS2NI1NIZ1A1S21NI1NIMZYMBAS21NI201NTIBSYRJETRS例83为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察钻头的寿命与钻头轴向振动频率Y及振幅的关系。在试验中，与的变动范围分别为125HZ，375HZ与15，55，1X21X2试用二次回归正交组合设计分析出、与试验指标（）之间的关系，要求在中心点重复进Y行三次试验。解1）对因子的取值进行编码由于因素数，中心点重复试验，则可以根据星号臂长度的计算公式或表2M03M818得。47依题意，钻头轴向振动频率（）的上限为375，下限为125，所以零水平为1X1XX250，变化间距（375125）/（21147）109，同理可计算出因素的编码，如1X1AX表823所示。表823因素水平的编码表自然变量JX规范变量JZ12X上星号臂上水平1零水平0下水平1下星号臂3753592501411255552435176152）正交组合设计根据题意选用正交表进行变换，二水平试验次数，星号试验的次数为34L4CM。4M表824例83试验方案及试验结果试验号（振动频率）1Z（振幅）2Z（寿命）Y12345678910111111114711470000011110011471147000161129166135187170174146203185230根据二元二次回归正交组合设计的要求，参照式（825）将二次项和分别进行中心化，1Z2得到和，二次项中心化结果见表825。1Z2表825例83二元二次回归正交组合设计表及试验结果试验号1ZZ12Z1Z2ZY123456789101111111147114700000111100114711470001111000000003970397039703970713071306030603060306030603039703970397039706030603071307130603060306031611291661351871701741462031852303）回归方程的建立表826例83二元二次回归正交组合设计计算表试验号0Z1Z2Z1Z12ZY12345678910111111111111111111147114700000111100114711470001111000000003970397039703970713071306030603060306030603039703970397039706030603071307130603060306031611291661351871701741462031852302NJIJAZ1JIJBY/JJB2JJSA1118861714556631851282108986631951143421364410250253465764462212169540534651251383611545193763321381NIY877472720/TISBN89136425194051376892R78ETR所以规范变量与试验指标的回归关系为Y方差分析结果见表827。表827例83方差分析表差异源SDFMSF显著性1Z21Z2回归残差1089813640251695405451937