湖北省黄冈市2020届高三数学2月联考试题 理（含解析）

湖北省黄冈市2020届高三数学2月联考试题 理（含解析）第I卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据不等式解法得到集合A，再由集合补集得到结果.【详解】由题意得，.故选D.【点睛】本题考查了集合的补集的概念以及运算，涉及不等式的计算，属于基础题.2.已知是虚数单位，则复数在复平面上所对应的点的坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算得到化简结果，再由复数和实数点的对应得到结果.【详解】，该复数在复平面上对应的点的坐标为.故选A.【点睛】在复平面上，点和复数一一对应，所以复数可以用复平面上的点来表示，这就是复数的几何意义复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来，从而使复数问题可通过画图来解决，即实现了数与形的转化由此将抽象问题变成了直观的几何图形，更直接明了3.安徽黄山景区，每半个小时会有一趟缆车从山上发车到山下，某人下午在山上，准备乘坐缆车下山，则他等待时间不多于5分钟的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意分析在何区间内等待时间可以控制在5分钟之内，再由概率计算公式即可求出结果.【详解】此人在25分到30分或55分到60分之间的5分钟内到达，等待时间不多于5分钟，所以他等待时间不多于分钟的概率为.故选B【点睛】本题主要考查几何概型，熟记公式即可求解，属于基础题型.4.已知偶函数在上单调递减，若，则取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题可得，根据函数奇偶性得到，结合单调性得到不等式关系，求解即可.【详解】由题可得，函数为偶函数，由函数在上单调递减，解得.故选C.【点睛】这个题目考查了函数奇偶性的应用，以及单调性的应用；解抽象函数的不等式问题，一种方法可以将函数表达式直接写出，解不等式即可；一种方法是，通过研究函数的单调性直接转化为自变量的不等关系.5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A. 7B. 8C. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】模拟程序框图运行即得解.【详解】第一次运行时，； 第二次运行时，；第三次运行时，；第四次运行时，；此时刚好不满足，故输出，故选：C【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.展开式中的系数为（ ）A. -7B. 28C. 35D. 42【答案】B【解析】【分析】的通项为,令分别得到系数，进而求和.【详解】二项式的通项为，分别令，则的系数为.故选B.【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.7.设满足约束条件，且的最小值为2，则（ ）A. -1B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值以及参数值.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分表示：其中，作直线，平移直线，当其经过点时，取得最小值，即，解得.故选B.【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。8.现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种。A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种。综上所述，不同的排法共有种.故选D.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原几何体，进而得到侧面的面积之和.【详解】由三视图可知，该几何体是一个竖放的四棱锥（侧棱垂直于底面），其直观图如图所示，在直角梯形中，； 同理，；在中，该四棱锥侧面积.故选A.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10.已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为。若为直角三角形，则（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意不妨假设点在第一象限、点在第四象限，解三角形即可.【详解】不妨假设点在第一象限、点在第四象限，.则易知，在中，.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的性质，根据双曲线的特征设出，位置，以及的直角，即可结合条件求解，属于常考题型.11.已知函数的图象与直线恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大依次为，则（ ）A. -2B. 2C. -1D. 1【答案】D【解析】【分析】根据题意得到，画出函数图像，可知切线方程过点，由切线的几何意义得到：，进而得到结果.【详解】由题意得，则，易知直线过定点，如图，由对称性可知，直线与三角函数图象切于另外两个点，则切线方程过点，即，则，.故选D.【点睛】本题考查函数的零点，导数的综合应用在研究函数零点时，有一种方法是把函数的零点转化为方程的解，再把方程的解转化为函数图象的交点，特别是利用分离参数法转化为动直线与函数图象交点问题，这样就可利用导数研究新函数的单调性与极值，从而得出函数的变化趋势，得出结论12.如图，在中，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】过点分别作和的垂线，垂足分别为，结合题干条件得到为的平分线，根据角平分线定理得到，再由，结合余弦定理得到，在三角形中应用余弦定理得到，最终求得面积.【详解】过点分别作和的垂线，垂足分别为，由，得，则为的平分线，又，即，解得;在中，.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.第II卷 非选择题（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22 题第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量与方向相同，则_。【答案】2.【解析】【分析】根据题干得到，进而得到.【详解】，与方向相同，且，.故答案：2.【点睛】这个题目考查了向量的模长的计算，以及向量共线的应用，属于基础题.14.过抛物线的焦点的直线交于两点，在点处的切线与轴分别交于点，若的面积为，则_。【答案】2【解析】【分析】设出直线的方程，设出点的坐标，求得过的切线方程，由此求得的坐标，代入三角形的面积公式列方程，解得点的坐标，根据抛物线的定义求得的值.【详解】由题意，焦点，设直线，不妨设为左交点，则过的切线为，则，所以，解得，则，根据抛物线的定义可得.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的切线方程，考查抛物线的定义，属于中档题.15.在四面体中，则四面体的外接球的体积为_。【答案】.【解析】【分析】根据三角形的边长关系得到再结合题干得到平面，进而得到三角形BCD和三角形ACD有公共的斜边，得到球心为的中点进而求解.【详解】由题意知，平面，在中，四面体的外接球的球心为的中点，则其半径，故球的体积为故答案为：.【点睛】本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.16.已知函数（其中为自然对数的底数）存在唯一的极值点，则实数的取值范围是_。【答案】.【解析】【分析】根据题意将函数的极值点问题转化为与的交点个数问题，画出函数的图像，根据函数图像得到结果即可.【详解】由题意得，当且时,令，令，则；令，易知在上单调递增，且，在和上单调递减，在上单调递增，又当时，；当时，可画出函数图像：根据图像性质可得到：当与函数只有一个交点时，或。当时，则，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，无极值点，不合题意，舍去。综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查了函数的极值问题，以及导数在研究函数的极值问题中的应用，将函数极值点转化为导函数的变号零点问题，函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知正项数列的前项和为，且。（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和。【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根据题干得到当时，由得，两式做差得到，得到数列是以1为首项，1为公差的等差数列，进而得到结果；（2）根据第一问得到，由错位相减求和得到结果.【详解】（1）由题意得，当时，又，当时，由得，两式相减得，即，又，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，；（2）由（1）得，则，两式相减得，【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等.18.在三棱柱中，侧面为菱形，。（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值。【答案】(1)见解析.(2) .【解析】【分析】(1) 过点作交于点，连接，根据勾股定理得到在中，,，进而得到二面角为直二面角，得到结果；（2）建立直角坐标系得到两个面的法向量，再由法向量的夹角公式得到结果.【详解】（1）过点作交于点，连接OC，在三角形AOC中，易得，平面，在中，在中，即二面角为直二面角，平面平面；（2）由（1）知直线两两垂直，故以为坐标原点，直线所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系则，。设是平面的法向量，则，即，取，则，平面的一个法向量为，同理，平面的一个法向量为，即二面角的余弦值为.【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角;面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做.19.已知椭圆的离心率是，为坐标原点，点分别为椭圆的左、右视点，为椭圆上异于的一点，直线的斜率分别是。（1）求证：为定值；（2）设直线交椭圆于两点，且的面积是，求椭圆的标准方程。【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】(1) 设,根据点在椭圆上得到结果；（2）设直线的方程为， ，即，联立直线和椭圆，再由韦达定理得到结果.【详解】（1）由题意得，即，则椭圆可化为，设，则，；（2）由题意知，不垂直于轴，设直线的方程为，联立，得，设，则，即，即得，点到直线的距离，解得，则，椭圆的标准方程是.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用20.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（1）求这100件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差。（i）若某用户从该企业购买了10件这种产品，记表示这10件产品中质量指标值位于（187.4，225.2）的产品件数，求；（ii）一天内抽取的产品中，若出现了质量指标值在之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查下。下面的茎叶图是检验员在一天内抽取的15个产品的质量指标值，根据近似值判断是否需要对当天的生产过程进行检查。附：，【答案】(1)见解析.(2) （i）（ii）需要对当天的生产过程进行检查.【解析】【分析】(1)根据公式得到均值和方差；（2）（i）根据正态分布，由公式得到结果；（ii），进而得到结果.【详解】（1）由题意得， ，；（2）（i）由题意得，一件产品中质量指标值位于区间的概率为，则，；（ii）由（I）知，需要对当天的生产过程进行检查。【点睛】这个题目考查了频率分布直方图的应用，平均数的计算以及方差的计算；涉及正态分布的应用，属于基础题.21.已知函数的最大值为（其中为自然对数的底数），是的导函数。（1）求的值；（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立。求证：。【答案】（1）.（2）见解析.【解析】【分析】(1)对函数求导，分情况得到函数的单调性，进而求得在处取得最值，进而求解；（2）根据导数的几何意义得到，构造函数，通过换元将等式右边的函数改为，对此函数求导得到函数的单调性进而得证.详解】（1）由题意得，显然，令，解得，.当时，令，解得；令，解得，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，也是最大值，解得；当时，易知与题意不符，故舍去，综上所述，；（2）由（1）知，则，即，则，设，则，令，则，函数在上单调递减，即，又，即，同理可证，得证。【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在第22、23题中任选一题作