2016年北京市房山区中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 27 页） 2016 年北京市房山区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 30 分，每小题 3 分）： 1为了减少燃煤对大气的污染，北京实施煤改电工程每年冬季采暖季期间可压减燃煤约608000 吨，将 608000 用科学记数法表示应为（ ） A 104 B 104 C 106 D 105 2如图，数轴上有 A， B， C， D 四个点，其中表示 2 的相反数的点是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 3有五张形状、大小、 质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形： 正方形；等边三角形； 平行四边形； 等腰三角形； 圆将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（ ） A B C D 4如图，在 ， C=90，点 D 在 上 ， 果 6，那么 ） A 34 B 54 C 46 D 44 5象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游戏的一种由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动如图是一方的棋盘，如果 “帅 ”的坐标是（ 0， 1）， “卒 ”的坐标是（ 2， 2），那么 “马 ”的坐标是（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 2） C（ 2， 2） D（ 2， 2） 6为 了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 后再在河岸上选点 E，使得 于点 D，如图所示，测得 20 米， 0 米， 0 米，那么这条河的大致宽度是（ ） 第 2 页（共 27 页） A 75 米 B 25 米 C 100 米 D 120 米 7在 “我的中国梦 ”演讲比赛中，有 5 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同其中的一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，不仅要了解自己的成绩，还要 了解这 5 名学生成绩的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 8下列几何体中，主视图相同的是（ ） A B C D 9如图，将 点 C 按顺时针旋转 60得到 ABC，已知 ， ，则线段 ） A B C 6 D 10如图，在正方形 ， 点 M 自 A 点出发沿 向以每秒 1速度向 B 点运动，同时动点 N 自 A 点出发沿折线 每秒 3速度运动，到达 B 点时运动同时停止设 面积为 y（ 运动时间为 x（秒），则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 三、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11分解因式： a=_ 12已知反比例函数的图象经过 A（ 2， 3），那么此反比例函数的关系式为 _ 第 3 页（共 27 页） 13 2016 年 3 月 12 日 “植树节 ”前夕，某小区为绿化环境，购进 200 棵柏树苗和 120 棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的 进价的 2 倍少 5 元，求这两种树苗的进价分别是多少元如果设每棵柏树苗的进价是 x 元，那么可列方程为 _ 14关于 x 的一元二次方程 x+1=0 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 _ 15二次函数 y=bx+c（ a 0）图象经过 A（ 1， m）， B（ 2， m）写出一组满足条件的 a、 b 的值： a=_， b=_ 16如图，已知 小明按如下步骤作图： 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 点 D，交 点 E 分别以 D， E 为圆心，大于 为半径画弧，在 内部两弧交于点 C 画射线 所以射线 所求 平分线 根据上述作图步骤，回答下列问题： （ 1）写出一个正确的结论： _ （ 2）如果在 任取一点 M，那么点 M 到 距离相等 依据是： _ 三、解答题（本大题共 72 分，其中第 17，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）： 17计算： 30+|1 |+（ ） 1 18已知 34a 7=0，求代数式（ 2a 1） 2（ a+b）（ a b） 值 19解分式方程： 20已知：如图，在 ， 0， 的中线，过点 C 作 长线交于点 E 求证： A= E 21列方程（组）解应用 题： 为提高饮用水质量，越来越多的居民选购家用净水器一商场抓住商机，从厂家购进了 A、B 两种型号家用净水器共 160 台， A 型号家用净水器进价为每台 150 元， B 型号家用净水器进价为每台 350 元，购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元求 A、 B 两种型号家用净水器各购进了多少台 第 4 页（共 27 页） 22如图，在 ， E 为 点，过点 E 作 G，连结 长 延长线于点 H已知 0， 5， 求 长 23在平面直角坐标系中，有点 A（ 2， 0）， B（ 0， 3）， C（ 0， 2），点 D 在第二象限，且 （ 1）请在图中画出 直接写出点 D 的坐标： （ 2）点 P 在直线 ，且 等腰直角三角形，求点 P 的坐标 24如图， 0，点 B 的中点， 求长 25 “指大气中危害健康的直径小于 米的颗粒物，也称可入肺颗粒物公众对于大气环境质量越来越关注，某市为了了解市民对于 “度升高时，对于户外活动的影响 ”的态度，随机抽取了部分市民进行调查根据调查的相关数据，绘制的统计图表如下： 度升高时，对于户外活动是否有影响，您的态度是 百分比 A没有影响 2% B影响不大，还可以进行户外活动 30% C有影响，减少户外活动 42% D影响很大，尽可 能不去户外活动 m E不关心这个问题 6% 根据以上信息解答下列问题： （ 1）直接写出统计表中 M 的值； （ 2）根据以上信息，请补全条形统计图； 第 5 页（共 27 页） （ 3）如果该市约有市民 400 万人，根据上述信息，请你估计一下持有 “影响很大，尽可能不去户外活动 ”这种态度的约有多少万人 26如图，在平面直角坐标系 ，双曲线 （ 1）当 0； （ 2）直线 x+b，当 b=2 时，直线与双曲线有唯一公共点，问： 线与双曲线有两个公共点； （ 3）如果直线 x+b 与双曲线 交于 A、 B 两点，且点 A 的坐标为（ 1， 2），点 设 E 为线段 中点，过点 E 作 x 轴的垂线 双曲线于点 F求线段 长 27如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象（抛物线）与 x 轴交于 A（ 1， 0），且 当 x=0 和 x= 2 时所对应的函数值相等 （ 1）求此二次函数的表达式； （ 2）设抛物线与 x 轴的另一交点为点 B，与 y 轴交于点 C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点 D，使得 周长最小？如果存在，求出 D 点的坐标；如果不存在，请说明理由 （ 3）设点 M 在第二象限，且在抛物线上，如果 面积最大，求此时点 M 的坐标及 面积 第 6 页（共 27 页） 28如图 1，在四边形 ， C， 0， 0，连接对角线 （ 1）将线段 点 C 顺时针旋转 60得到线段 接 依题意补全图 1； 试判断 数量关系，并证明你的结论； （ 2）在（ 1）的条件下，直接写出线段 间的数量关系； （ 3）如图 2， F 是对角线 一点，且满足 50，连接 究线段 B 和 间的数量关系，并证明 29在平面直角坐标系 ，对于任意三点 A， B， C 给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且 A， B， C 三点都在正方形的内部 或边界上，那么称该正方形为点 A， B， C 的外延正方形，在点 A， B， C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点 A， B， C 的最佳外延正方形例如，图 1 中的正方形 ， B， C 的外延正方形，正方形 点 A， B， C 的最佳外延正方形 （ 1）如图 1，点 A（ 1， 0）， B（ 2， 4）， C（ 0， t）（ t 为整数） 如果 t=3，则点 A， B， C 的最佳外延正方形的面积是 _； 如果点 A， B， C 的最佳外延正方形的面积是 25，且使点 C 在最佳外延正方形的一边上 ，请写出一个符合题意的 t 值 _； （ 2）如图 3，已知点 M（ 3， 0）， N（ 0， 4）， P（ x， y）是抛物线 y=2x 3 上一点，求点 M， N， P 的最佳外延正方形的面积的最小值以及点 P 的横坐标 x 的取值范围； （ 3）如图 4，已知点 E（ m， n）在函数 y= （ x 0）的图象上，且点 D 的坐标为（ 1， 1），设点 O， D， E 的最佳外延正方形的边长为 a，请直接写出 a 的取值范围 第 7 页（共 27 页） 第 8 页（共 27 页） 2016 年北京市房山区 中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 30 分，每小题 3 分）： 1为了减少燃煤对大气的污染，北京实施煤改电工程每年冬季采暖季期间可压减燃煤约608000 吨，将 608000 用科学记数法表示应为（ ） A 104 B 104 C 106 D 105 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 根据科学记数法的表示方法： a 10n，可得答案 【解答】 解：将 608000 用科学记数法表示应为 105， 故选： D 2如图，数轴上有 A， B， C， D 四个点，其中表示 2 的相反数的点是（ ） A点 A B点 B C点 C D点 D 【考点】 相反数；数轴 【分析】 相反数的定义：符号不同，绝对值相等的两个数叫互为相反数根据定义，结合数轴进行分析 【解答】 解： 表示 2 的相反数的点，到原点的距离与 2 这点到原点的距离相等，并且与 2分别位于原点的左右两侧， 在 A， B， C， D 这四个点中满足以上条件的是 A 故选 A 3有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形： 正方形；等边三角形； 平行四边形； 等腰三角形； 圆将卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是（ ） A B C D 【考点】 概率公式；轴对称图形；中心对称图形 【分析】 由 正方形； 等边三角形； 平行四边形； 等腰三 角形； 圆，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有： 等边三角形， 等腰三角形；直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 有五张形状、大小、质地都相同的卡片，这些卡片上面分别画有下列图形：正方形； 等边三角形； 平行四边形； 等腰三角形； 圆，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的有： 等边三角形， 等腰三角形； 从中随机抽取一张，抽出的纸片正面图形是轴对称图形，但不是中心对称图形的概率是： 故选 B 第 9 页（共 27 页） 4如图，在 ， C=90，点 D 在 上， 果 6，那么 ） A 34 B 54 C 46 D 44 【考点】 平行线的性质 【分析】 由 行，利用两直线平行内错角相等得到 A，由 C 为直角，利用直角三角形两锐角互余即可求出 B 的度数 【解答】 解： A= 6， 在 ， A=46， B=44 故选 D 5象棋在中国有着三千多年的历史，属于二人对抗性游 戏的一种由于用具简单，趣味性强，成为流行极为广泛的棋艺活动如图是一方的棋盘，如果 “帅 ”的坐标是（ 0， 1）， “卒 ”的坐标是（ 2， 2），那么 “马 ”的坐标是（ ） A（ 2， 1） B（ 2， 2） C（ 2， 2） D（ 2， 2） 【考点】 坐标确定位置 【分析】 根据 “帅 ”的坐标得出原点的位置，进而得出答案 【解答】 解：如图所示： “马 ”的坐标是：（ 2， 2） 故选： C 6为了估算 河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点 A，再在河的这一边选点 B 和点 C，使得 后再在河岸上选点 E，使得 于点 D，如图所示，测得 20 米， 0 米， 0 米，那么这条河的大致宽度是（ ） 第 10 页（共 27 页） A 75 米 B 25 米 C 100 米 D 120 米 【考点】 相似三角形的应用 【分析】 先可证明 后依据相似三角形的性质求解即可 【解答】 解： B= C=90 又 ，即 解得： 00 米 故选： C 7在 “我的中国梦 ”演讲比赛中，有 5 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同其中的一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这 5 名学生成绩的（ ） A中位数 B众数 C平均数 D方差 【考点】 统计量的选择 【分析】 由于比赛取前 3 名进入决赛，共有 5 名选 手参加，故应根据中位数的意义分析 【解答】 解：因为 5 位进入决赛者的分数肯定是 5 名参赛选手中最高的， 而且 5 个不同的分数按从小到大排序后，中位数及中位数之前的共有 3 个数， 故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否进入决赛了， 故选： A 8下列几何体中，主视图相同的是（ ） A B C D 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 分别找出四个几何体从正面看所得到的视图即可 【解答】 解： 此几何体的主视图是矩形； 此 几何体的主视图是等腰三角形； 此几何体的主视图是矩形； 此几何体的主视图是圆形； 主视图相同的是 ， 第 11 页（共 27 页） 故选： C 9如图，将 点 C 按顺时针旋转 60得到 ABC，已知 ， ，则线段 ） A B C 6 D 【考 点】 扇形面积的计算 【分析】 根据图形可以得出 过的图形的面积 =S 扇形 S S 扇形 S ABC，由旋转的性质就可以得出 S ABB 扫过的图形的面积 =S 扇形 S 扇形 出其值即可 【解答】 解： 点 C 旋转 60得到 ABC， ABC， S ABC， 60 过的图形的面积 =S 扇形 S S 扇形 S ABC， 过的图形的面积 =S 扇形 S 扇形 过的图形的面积 = 36 16= 故选 D 10如图，在正方形 ， 点 M 自 A 点出发沿 向以每秒 1速度向 B 点运动，同时动点 N 自 A 点出发沿折线 每秒 3速度运动，到达 B 点时运动同时停止设 面积为 y（ 运动时间为 x（秒 ），则下列图象中能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 第 12 页（共 27 页） 【分析】 当点 N 在 时，易得 S 关系式；当点 N 在 时，高不变，但底边在增大，所以 S 面积关系式 为一个一次函数；当 N 在 时，表示出 S 关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可 【解答】 解：当点 N 在 时，即 0 x 1， S x 3x= 点 N 在 时，即 1 x 2， S x 3= x， y 随 x 的增大而增大，所以排除 A、D； 当 N 在 时，即 2 x 3， S x （ 9 3x） = x，开口方向向下 故选： B 三、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 11分解因式： a= a（ a+1）（ a 1） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解 【解答】 解： a， =a（ 1）， =a（ a+1）（ a 1） 故答案为： a（ a+1）（ a 1） 12已知反比例函数的图象经过 A（ 2， 3），那么此反比例函数的关系式为 y= （ x0） 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式 【分析】 设反比例函数的关系式为 y= 将点 A 的坐标代入到 y= 中解出 k 值，即可得出结论 【解答】 解：设反比例函数的关系式为 y= 将点 A（ 2， 3）代入到反比例函数的关系式为 y= 中得： 3= ，解得： k= 6 故反比例函数的关系式为 y= 故答案为： y= （ x 0） 13 2016 年 3 月 12 日 “植树节 ”前夕，某小区为绿化环境，购进 200 棵柏树苗和 120 棵枣树苗，且两种树苗 所需费用相同每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的 2 倍少 5 元，求这两种树苗的进价分别是多少元如果设每棵柏树苗的进价是 x 元，那么可列方程为 200x=120（ 2x 5） 【考点】 由实际问题抽象出一元一次方程 【分析】 根据题意可以列出相应的一元一次方程，本题得以解决 第 13 页（共 27 页） 【解答】 解：由题意可得， 200x=120（ 2x 5）， 故答案为： 200x=120（ 2x 5） 14关于 x 的一元二次方程 x+1=0 有两个实数根，那么 m 的取值范围是 m 4 且 m 0 【考点】 根的判别式 【分析】 根据 一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得 =16 4m 0 且 m 0，求出 m 的取值范围即可 【解答】 解： 一元二次方程 x+1=0 有两个实数根， 0 且 m 0， 16 4m 0 且 m 0， m 4 且 m 0， 故答案为： m 4 且 m 0 15二次函数 y=bx+c（ a 0）图象经过 A（ 1， m）， B（ 2， m）写出一组满足条件的 a、 b 的值： a= 1 ， b= 1 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 已知二次函数 y=bx+c 的图象经过 A（ 1， m）， B（ 2， m） 两点，把经过 A（ 1， m）， B（ 2， m）两点代入解析式得到： a b+c=m， 4a+2b+c=m，所以 a= b，可以选定满足条件的 a， b 任意一组值本题答案不唯一 【解答】 解：把 A（ 1， m）， B（ 2， m）两点代入 y=bx+c 中，得 a b+c=m， 4a+2b+c=m， 所以 b= a， 由此可设 a=1， b= 1， 故答案为 1， 1 16如图，已知 小明按如下步骤作图： 以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，交 点 D，交 点 E 分别以 D， E 为圆心，大于 为半径画弧，在 内部两弧交于点 C 画射线 所以射线 所求 平分线 根据上述作图步骤，回答下列问题： （ 1）写出一个正确的结论： E （ 2）如果在 任取一点 M，那么点 M 到 距离相等 依据是： 角平分线上的点到角两边距离相等 【考点】 作图 基本作图；角平分线的性质 第 14 页（共 27 页） 【分析】 （ 1）利用作法易得 E 或 C 或 分 等； （ 2）根据角平分线的性质定理求解 【解答】 解：（ 1） E 或 C 或 分 等均可； （ 2）角平分线上的点到角两边距离相等 故答案为 E，角平分线上的点到角两边距离相等 三、解答题（本大题共 72 分，其中第 17，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分）： 17计算： 30+|1 |+（ ） 1 【考点】 实数的运算；零指数幂；负整数 指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =3 +1+ 1+2=2 +2 18已知 34a 7=0，求代数式（ 2a 1） 2（ a+b）（ a b） 值 【考点】 整式的混合 运算 化简求值 【分析】 原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 =44a+1 a2+4a+1， 由 34a 7=0，得到 34a=7， 则原式 =7+1=8 19解分式方程： 【考点】 解分式方程 【分析】 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 【解答】 解：去分母得： 4 2x=2x， 解得： x= 1， 经检验 x= 1 是分式方程的解 20已知：如图，在 ， 0， 的中线，过点 C 作 长线交于点 E 求证： A= E 【考点】 直角三角形斜边上的中线 第 15 页（共 27 页） 【分析】 根据直角三角形的性质可得 D= 据等边对等角可得 A= 根据平行线的性质可得 E，再利用等量代换可得结论 【解答】 证明： 在 ， 0， 的中线， D= A= E， A= E 21列方程（组）解应用题： 为提高饮用水质量，越来越多的居民选购家用净水器一商场抓住商机，从厂家购进了 A、B 两种型号家用净水器共 160 台， A 型号家用净水器进价为每台 150 元， B 型号家用净水器进价为每台 350 元，购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元求 A、 B 两种型号家用净水器各购进了多少台 【考 点】 二元一次方程组的应用 【分析】 直接设两个未知数 x、 y，由购进了 A、 B 两种型号家用净水器共 160 台得方程为：x+y=160；由购进两种型号的家用净水器共用去 36000 元得方程为： 150x+350y=36000；组成方程组解出即可 【解答】 解：设购进 A 种型号家用净水器 x 台，购进 B 种型号家用净水器 y 台， 根据题意得： ， 解得： ， 答： A 种型号家用净水器购进 100 台， B 种型号家用净水器购进 60 台 22如图，在 ， E 为 点，过点 E 作 G，连结 长 延长线于点 H已知 0， 5， 求 长 【考点】 平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】 先在 求出 证明 H= 出 可解决问题 【解答】 解： 四边形 平行四边形， 0， 在 ， 0， 5， ， 第 16 页（共 27 页） H=8， E 为 点， 0， C=5， 在 ， ， E= ， 在 ， H=90， ， ， ， 23在平面直角坐标系中，有点 A（ 2， 0）， B（ 0， 3）， C（ 0， 2），点 D 在第二象限，且 （ 1）请在图中画出 直接写出点 D 的坐标： D （ 3， 2） ； （ 2）点 P 在直线 ，且 等腰直角三角形，求点 P 的坐标 【考点】 全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰直角三角形 【分析】 （ 1）根据 得 O，再根据 B（ 0， 3）， C（ 0， 2）可得 D 点坐标； （ 2） 当 直角边时过点 D 作 得 等腰直角三角形，进而得到 ，可得 坐标； 当 斜边时，过点 D 作 得 等腰直角三角形，作 D 于 E，再根据等腰三角形的性质可得 ，进而得到 坐标 【解答】 解：（ 1）正确画出 O， B（ 0， 3）， C（ 0， 2）， D（ 3， 2）； 第 17 页（共 27 页） （ 2）由 A=2， 0， 5 当 直角边时， 如图，过点 D 作 等腰直角三角形， ， 3， 5） 当 斜边时， 如图，过点 D 作 得 等腰直角三角形，作 E，易得 2E= 综上，在直线 ，使 等腰直 角三角形的点 P 坐标为： 3， 5）， 24如图， 0，点 B 的中点， 求长 【考点】 圆周角定理 【分析】 作 E，连接 据圆周角定理得到 5， 0， 0，根据正弦和正切的定义 计算即可 【解答】 解：作 E，连接 点 D 为弧 中点， 5， E=2 ， 由圆周角定理得， 0， 0， 第 18 页（共 27 页） 0， =2 ， E+ +2 25 “指大气中危害健康的直径小于 米的颗粒物，也称可入肺颗粒物公众对于大气环境质量越来越关注，某市为了了解市民对于 “度升高时，对于户外活动的影响 ”的态度，随机抽取了部分市民进行调查根据调查的相关数据，绘制的统计图表如下： 度升高时，对于户外活动是否有影响，您的态度是 百分比 A没有影响 2% B影响不大， 还可以进行户外活动 30% C有影响，减少户外活动 42% D影响很大，尽可能不去户外活动 m E不关心这个问题 6% 根据以上信息解答下列问题： （ 1）直接写出统计表中 M 的值； （ 2）根据以上信息，请补全条形统计图； （ 3）如果该市约有市民 400 万人，根据上述信息，请你估计一下持有 “影响很大，尽可能不去户外活动 ”这种态度的约有多少万人 【考点】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）根据各种态度所占百分比和为 1，解答 可得； （ 2）根据 A 种态度人数和百分比计算出参与调查总人数，再根据 B、 D 两种态度人数占调查人数的百分比分别求得，补全图形； （ 3）根据样本中持 D 种态度的人数比例可估计总体中相应人数 【解答】 解：（ 1） m=1（ 2%+30%+42%+6%） =20%； （ 2）参与调查的总人数为： 40 2%=2000（人）， 第 19 页（共 27 页） 持 B 态度的人数为： 2000 30%=600（人）， 持 D 态度的人数为： 2000 20%=400（人）， 补全统计图如下： （ 3） 400 20%=80（万人）， 答：估计持有 “影响很大，尽可能不去户外活动 ”这种态度的约有 80 万人 26如图，在平面直角坐标系 ，双曲线 （ 1）当 x 0 时， 0； （ 2）直线 x+b，当 b=2 时，直线与双曲线有唯一公共点，问： b b 2 或 b2 时，直线与双曲线有两个公 共点； （ 3）如果直线 x+b 与双曲线 交于 A、 B 两点，且点 A 的坐标为（ 1， 2），点 设 E 为线段 中点，过点 E 作 x 轴的垂线 双曲线于点 F求线段 长 【考点】 反比例函数与一次函数的交点问题 【分析】 （ 1）双曲线的图象落在 x 轴上方时，函数值大于 0，根据图象可知此时 x 0； （ 2）将 y= x+b 代入 y= ，整理得出 =0，当 =8 0 时，直线与双曲线有两个公共点，解不等式即可； （ 3）将 y=1 代入 ，求出 x 的值，得到点 B 的坐标，再根据中点坐标公式求出点 E 的坐标，将点 E 横坐标的值代入 ，求出点 F 纵坐标的值，进而求得线段 长 第 20 页（共 27 页） 【解答】 解：（ 1）根据图象可得 x 0 时， 0； （ 2）将 y= x+b 代入 y= ，得 = x+b， 整理得， =0， 当 =8 0 时，直线与双曲线有两个公共点， 解得 b 2 或 b 2 ； （ 3）将 y=1 代入 ，得 x=2，则点 B 的坐标为（ 2， 1）， 点 A 的坐标为（ 1， 2）， E 为线段 中点， 点 E 的坐标为（ ， ）， 当 x= 时， = ， = 故答案为 0； b 2 或 b 2 27如图，二次函数 y= x2+bx+c 的图象（抛物线）与 x 轴交于 A（ 1， 0），且当 x=0 和 x= 2 时所对应的函数值相等 （ 1）求此二次函数的表达式； （ 2）设抛物线与 x 轴的另一交点为点 B，与 y 轴交于点 C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点 D，使得 周长最小？如果存在，求出 D 点的坐标；如果不存在，请说明理由 （ 3）设点 M 在第二象限，且在抛物线上，如果 面积最大，求此时点 M 的坐标及 面积 【考点】 抛物线与 x 轴的交点；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；轴对称 【分析】 （ 1）先利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线 x= 1，则抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 3， 0），然后利用交点式求抛物线解析式； 第 21 页（共 27 页） （ 2）连结 直线 x= 1 于点 D，则 A，根据两点之间线段最短可判断此时 周长最小，接着利用待定系数法求出直线 解析式，然后计算自变量为 1 所对应的函数值即可得到 D 点坐标； （ 3）作 y 轴交 N，如图，设 M（ t， 2t+3）（ 3 x 0），则 N（ t， t+3），利用 S 得到 面积 = t，然后利用二次函数的性质求解 【解答】 解：（ 1） 当 x=0 和 x= 2 时所对应的函数值相等， 抛物线的对称轴为直线 x= 1， 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（ 3， 0）， 抛物线解析式为 y=（ x+3）（ x 1），即 y= 2x+3； （ 2 存在 连结 直线 x= 1 于点 D，则 A， A=B= 此时 C 最小， 周长最小， 当 x=0 时， y= 2x+3=3，则 C（ 0， 3）， 设直线 解析式为 y=kx+m， 把 B（ 3， 0）， C（ 0， 3）代入得 ，解得 ， 直线 解析式为 y=x+3， 当 x= 1 时， y=x+3=2， D 点坐标为（ 1， 2）； （ 3）作 y 轴交 N，如图， 设 M（ t， 2t+3）（ 3 x 0），则 N（ t， t+3）， S 3 （ 2t+3 t 3） = t = （ t+ ） 2+ ， 当 t= 时， 面积的最大值为 ， 此时 M 点坐标为（ ， ） 第 22 页（共 27 页） 28如图 1，在四边形 ， C， 0， 0，连接对角线 （ 1）将线段 点 C 顺时针旋转 60得到线段 接 依题意补全图 1； 试判断 数量关系，并证明你的结论； （ 2）在（ 1）的条件下，直接写出线段 间的数量关系； （ 3）如图 2， F 是对角线 一点，且满足 50，连接 究线段 B 和 间的数量关系，并证明 【考点】 几何变换综合题 【分析】 （ 1） 根据题意画图即可； 连接 明 可； （ 2）连接 证三角形 直角三角形，由勾股定理即可得出结论； （ 3）将线段 点 C 顺时针旋转 60得到线段 接 明 合勾股定理即可证明 【解答】 解：（ 1） 补全图形如图 1， 判断 D， 证明：如图 2 第 23 页（共 27 页） 连接 C， 0， 等边三角形， 0， B， 将线段 点 C 顺时针旋转 60得到线段 E， 0， 在 ， ， E； （ 2）判断： （ 3）判断： 证明：如图 3， 连接 C， 0， 等边三角形， 0， B， 将线段 点 C 顺时针旋转 60得到线段 接 F， 0， 等边三角形， 0， C， 在 ， ， 第 24 页（共 27 页） E， 50， 0， 0， 在 ， 29在平面直角坐标系 ，对于任意三点 A， B， C 给出如下定义：如果正方形的任何一条边均与 某条坐标轴平行，且 A， B， C 三点都在正方形的内部或边界上，那么称该正方形为点 A， B， C 的外延正方形，在点 A， B， C 所有的外延正方形中，面积最小的正方形称为点 A， B， C 的最佳外延正方形例如，图 1 中的正方形 ， B，