2023-2024学年人教A版必修第二册 8-3-2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 学案

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积新课程标准解读核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式直观想象2.能用公式解决简单的实际问题数学运算在日常生活中，我们经常遇到下列各类实物或它们的组合体.这些物体分别可以抽象出圆柱、圆锥、圆台及球，它们均属于立体几何中的旋转体.问题你会求上述几何体的表面积及体积吗？

知识点一圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形表面积和体积圆柱S圆柱＝2πr（r＋l）（r是底面半径，l是母线长）；V圆柱＝πr2h（r是底面半径，h是高）图形表面积和体积圆锥S圆锥＝πr（r＋l）（r是底面半径，l是母线长）；V圆锥＝13πr2h（r是底面半径，h是高圆台S圆台＝π（r'2＋r2＋r'l＋rl）（r'，r分别是上、下底面半径，l是母线长）；V圆台＝13πh（r'2＋r'r＋r2）（r'，r分别是上、下底面半径，h是高） 提醒圆柱、圆锥、圆台的关系：①侧面积公式间的关系，S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r'）lS圆锥侧＝πrl；②体积公式间的关系V＝ShV＝13（S'＋S'S＋S）hV＝13知识点二球的表面积和体积公式1.球的表面积公式S＝4πR2（R为球的半径）.2.球的体积公式V＝43πR31.一个高为2的圆柱，底面周长为2π.则该圆柱的表面积为，体积为.

解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.V＝πr2·h＝π×12×2＝2π.答案：6π2π2.若圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的体积为，表面积为.

解析：V＝13Sh＝13×π×3×1＝π.S＝πr（r＋l）＝3π（3＋2）＝（3＋23答案：π（3＋23）π3.直径为1的球的表面积为，体积为.

解析：∵球的直径为1，∴球的半径r＝12，∴S表＝4πr2＝4π×（12）2＝π，V球＝43πr3＝43π×（12答案：ππ题型一圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（）A.40πB.36πC.26π D.20π（2）圆台的上、下底面半径分别为10cm，20cm，它的侧面展开图是扇环，其圆心角为π，则圆台的表面积为cm2.（结果中保留π）

解析（1）圆锥的母线长l＝32＋42＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4（2）如图所示，设圆台的上底面周长为lcm，因为扇环的圆心角是π，所以l＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20cm.同理可得SB＝40cm，所以AB＝SB－SA＝20cm，所以表面积S＝π（10＋20）×20＋π×102＋π×202＝1100π（cm2）.答案（1）B（2）1100π通性通法解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：（1）得到空间几何体的平面展开图；（2）依次求出各个平面图形的面积；（3）将各平面图形的面积相加.1.（多选）如图，四边形BCC1B1是圆柱的轴截面，AA1是圆柱的一条母线，已知AB＝4，AC＝22，AA1＝3，则下列说法正确的是（）A.圆柱的侧面积为23πB.圆柱的侧面积为66πC.圆柱的表面积为66π＋12πD.圆柱的表面积为26π＋6π解析：BC因为AB＝4，AC＝22，所以BC＝AB2＋AC2＝26，即r＝6，又因为AA1＝3，所以圆柱的侧面积是2πrl＝2π×6×3＝66π，圆柱的表面积是2πrl＋2πr2＝66π2.用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则该圆柱的表面积为cm2.

解析：有两种不同的卷法，分别如下：①以矩形8cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为r，此时底面周长为2πr＝4cm，得r＝2πcm，则两底面面积之和为8πcm2，又S侧＝32cm2，故此时该圆柱的表面积为（32＋8π）cm2.②以矩形4cm的边长为母线长，把矩形硬纸卷成圆柱侧面，设底面半径为r'，此时底面周长为2πr'＝8cm，得r'＝4π，则两底面面积之和为32πcm2，又S侧＝32cm2，故此时该圆柱的表面积为（32＋答案：32＋8π或32＋题型二圆柱、圆锥、圆台的体积【例2】（1）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是162π，则圆锥的体积是（）A.64π3 C.64π D.1282π（2）已知圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，母线长为10，则圆台的体积为.

解析（1）设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝l2＋l2，即l＝2r，由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝2πr2＝162π，∴r＝4.∴l＝42，高h＝l2－r2＝4.∴圆锥的体积V＝13Sh＝13π×（2）设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图.∵母线长为10，∴102＝（4r）2＋（4r－r）2，解得r＝2.∴下底面半径R＝8，高h＝8，∴V圆台＝13π（r2＋rR＋R2）h＝答案（1）A（2）224π通性通法圆柱、圆锥、圆台体积的求法求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.1.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为（）A.5π B.6πC.20π D.10π解析：D用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.2.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（）A.22π B.22C.3π D.33解析：D设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径r＝1，则由2π×1＝πl得l＝2，所以h＝l2－r2＝3，所以V＝13πr2h＝13π×12×题型三球的表面积与体积【例3】（1）一平面截一球得到直径为25cm的圆面，球心到这个平面的距离是2cm，则该球的体积是（）A.12πcm3 B.36πcm3C.646πcm3 D.108πcm3（2）半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（）A.100 B.400C.100π D.400π解析（1）设球心为O，截面圆心为O1，连接OO1，如图所示，在Rt△OO1A中，O1A＝5cm，OO1＝2cm，∴球的半径R＝OA＝22＋（5）2＝3cm，∴球的体积V＝43π×3（2）设大金属球的半径为r，则4π3×23×125＝4π3×r3⇒r＝10，∴其表面积为4πr2答案（1）B（2）D通性通法因为球的表面积与体积都是球的半径的函数，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键.1.若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和为6，则两球的体积之差的绝对值为.

解析：设两个球的半径分别为R，r（R＞r），则由题意得4πR2－4πr2=48π，R＋r=6，即（R＋r)(R－r）=12，R＋r=6，答案：22432.长、宽、高分别为2，3，5的长方体的外接球的表面积为.

解析：该长方体的体对角线长为22＋（3）2＋（5）2＝23，设外接球的半径为R，∴2R＝23，∴R＝答案：12π1.球的体积是32π3，则此球的表面积是（A.12π B.16πC.16π3 解析：B设球的半径为R，∴43πR3＝323π，∴R＝2，∴S球＝4πR22.若圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为（）A.π B.2πC.3π D.4π解析：C设圆锥的母线长为l，则l＝3+1＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×（1＋2）＝3π.3.已知圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为（）A.3 B.4C.5 D.6解析：A设圆台的高为h，由题意知V＝13π（12＋1×2＋22）h＝7π，故h＝4.我国南北朝著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，若截得的两个截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.在数学上运用祖暅原理推导球的体积公式时，构造了一个底面半径与高都为R的圆柱内挖掉一个等高、等底的圆锥的几何体（如图所示），则该几何体的体积为.解析：圆柱的体积V1＝πR2·R＝πR3，圆锥的体积V2＝13πR3，所以所求的几何体的体积为V1－V2＝πR3－13πR3＝23π答案：23πR探究空间几何体上两点间路径最短问题计算空间几何体上两点间路径最短问题时，一般转化为平面几何方法求解，即将侧面展开化为平面图形，即“化折为直”或“化曲为直”来解决，要熟练掌握多面体与旋转体的侧面展开图的形状.类型一旋转体表面上两点间的最短路径问题【例1】（1）如图，圆柱的高为2，底面周长为16，四边形ACDE为该圆柱的轴截面，点B为半圆弧CD的中点，则在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（）A.217B.25C.3 D.2（2）如图，圆锥的母线AB长为2，底面圆的半径为r，若一只蚂蚁从圆锥的点B出发，沿表面爬到AC的中点D处，则其爬行的最短路线长为5，则圆锥的底面圆的半径为（）A.1 B.2C.3 D.3解析（1）圆柱的侧面展开图如图所示，由题得AC＝2，BC＝14×16＝4，所以AB＝22＋42＝25.所以在此圆柱的侧面上，从A到B的路径中，最短路径的长度为（2）如图为半圆锥的侧面展开图，连接BD1，则BD1的长为蚂蚁爬行的最短路线长，设展开图的扇形的圆心角为α，根据题意得BD1＝5，AD1＝1，AB＝2，在△ABD1中，AB2＋AD12＝BD12，所以∠D1AB＝π2，所以扇形弧长l＝π2×2＝π，所以圆锥底面圆的周长为2l＝2π，即2πr＝2π，答案（1）B（2）A类型二多面体表面上两点间的最短问题【例2】如图，长、宽、高分别为3，2，1的长方体木块上有一只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到顶点C1，则它爬行的最短路程是.

解析根据题意，将长方体的长、宽、高所在相邻两个面按照三种不同的方式展开，如图①②③.结合长方体的三种展开图，求得AC1的长分别是32，26，25，所以最小值是32.故小虫爬行的最短路程是32.答案321.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AB＝BC＝1，AC＝2，E是棱BB1上的一点，则△A1CE的周长的最小值为（）A.11＋3 B.11＋23C.11＋13 D.11＋14解析：C由题意得A1C＝9+2＝11，将三棱柱的侧面BCC1B1展开至平面ABB1A1内，如图所示，当A1，