宝鸡市金台区2015-2016年高二上期末数学试卷(理)含答案解析

第 1 页（共 14 页） 2015年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1下列语句是真命题的是（ ） A x 1 B若 a b，则 y=奇函数吗？ D若 a 2 是无理数，则 a 是无理数 2已知 两定点， |4，动点 M 满足 |4，则动点 M 的轨迹是（ ） A B直线 C圆 D线段 3 “a2+0”的含义为（ ） A a， b 不全为 0 B a， b 全不为 0 C a， b 至少有一个为 0 D a 0 且 b=0，或 b 0 且 a=0 4抛物线 y=2焦点坐标是（ ） A（ 0， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 0） 5命题 “对任意实数 x，都有 2x+1 0”的否定是（ ） A对任意实数 x， 都有 2x+1 0 B对任意实数 x，都有 2x+1 0 C存在实数 x，有 2x+1 0 D存在实数 x，有 2x+1 0 6直三棱柱 ，若 0， C=异面直线 成的角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 7过点（ 1， 0）与抛物线 y=1 只有一个公共点的直线有（ ） A 3 条 B 2 条 C 1 条 D 0 条 8在下列结论中，正确的结论是 （ ） “p q”为真是 “p q”为真的充分不必要条件； “p q”为假是 “p q”为真的充分不必要条件； “p q”为真是 “p”为假的必要不充分条件； “p”为真是 “p q”为假的必要不充分条件 A B C D 9以下命题中，不正确的个数为（ ） 第 2 页（共 14 页） 是 共线的充要条件； 若 ，则存在唯一的实数 ，使 ； 若 ，则 ； 若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底； A 2 B 3 C 4 D 5 10已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为 ，则双曲线的方程是（ ） A B C D 11已知平行六面体 ABCD中，底面是边长为 1 的菱形，且 2， 60，则 于（ ） A B C D 6 12已知 M（ 双曲线 C： =1 上的一点， C 的两个焦点，若 0，则 取值范围是（ ） A B CD 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知 ，则 在 上的投影是 14已知椭圆过 A（ 3， 0）和 B（ 0， 4）两点，则椭圆的标准方程是 15双曲线 的离心率 e （ 1， 2），则 m 的取值范围是 16若 “任意 ”是真命题，则实数 m 的取值范围是 三、解答题：本大题共 4 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17命题： “若 m 0，或 n 0，则 m+n 0” （ 1）写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假； （ 2）说明原命题中条件与结论的充分性与必要性 第 3 页（共 14 页） 18已知椭圆的中心在原 点，焦点为 ，且离心率 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程 19已知 A（ 3， 0）， B、 C 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动，点 P 为 长线上一点，并且满足 ，试求动点 P 的轨迹方程 20如图，四棱锥 P ，底面 矩形， 平面 E 为 中点，且 D （ 1）求证： 平 面 （ 2）求证： 平面 （ 3）设二面角 D C 为 60，且 ，求 D 到平面 距离 第 4 页（共 14 页） 2015年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1下列语句是真命题的是（ ） A x 1 B若 a b，则 y=奇函数吗？ D若 a 2 是无理数 ，则 a 是无理数 【考点】 命题的真假判断与应用 【分析】 首先判断是否为命题，不是命题的排查，然后对命题进行判断，正确的为真命题，错误的为假命题 【解答】 解： x 1 是一个条件命题，以 x 1 时为假，故 A 错误； 若 a b，则 a 0 时成立，故 B 错误； y=奇函数吗？不是陈述句，不是命题，故 C 错误； 若 a 2 是无理数，则 a 是无理数，正确 故选： D 2已知 两定点， |4，动点 M 满足 |4，则动点 M 的轨迹是（ ） A B直线 C圆 D线段 【考点】 椭圆的定义 【分析】 首先确定点 M 在直线 ，再利用长度关系，确定点 M 在线段 【解答】 解：若点 M 与 以构成一个三角形，则 | | |4，动点 M 满足 |4， 点 M 在线段 故选： D 3 “a2+0”的含义为（ ） A a， b 不全为 0 B a， b 全不为 0 C a， b 至少有一个为 0 D a 0 且 b=0，或 b 0 且 a=0 【考点】 全称命题 【分析】 对 a2+0 进行解释，找出 其等价条件，由此等价条件对照四个选项可得正确选项 【解答】 解： a2+0 的等价条件是 a 0 或 b 0，即两者中不全为 0 对照四个选项，只有 A 与此意思同， A 正确； B 中 a， b 全不为 0，是 a2+0 充分不必要条件； B 错误 C 中 a， b 至少有一个为 0， C 错误 D 中只是两个数仅有一个为 0，概括不全面，故 D 不对； 故选 A 第 5 页（共 14 页） 4抛物线 y=2焦点坐标是（ ） A（ 0， ） B（ ， 0） C（ 0， ） D（ ， 0） 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 将抛物线化为标准方程，结合抛物线的性质，可得答案 【解答】 解：抛物线 y=2标准方程为： y， 故抛物线 y=2焦点坐标是（ 0， ）， 故选： C 5命题 “对任意实数 x，都有 2x+1 0”的否定是（ ） A对任意实数 x，都有 2x+1 0 B对任意实数 x，都有 2x+1 0 C存在实数 x，有 2x+1 0 D存在实数 x，有 2x+1 0 【考点】 命题的否定 【分析】 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可 【解答】 解：命题是全称命题，则命题的否定是：存在实数 x，有 2x+1 0， 故选： D 6直三棱柱 ，若 0， C=异面直线 成的角等于（ ） A 30 B 45 C 60 D 90 【考点】 异面直线及其所成的角 【分析】 延长 D，根据异面直线所成角的定义可知 是异面直线 三角形 等边三角形，可求得此角 【解答】 解：延长 D，使得 C，则 平行四边形， 是异面直线 成的角， 又 1B= 则三角形 等边三角形， 0 故选 C 7过点（ 1， 0） 与抛物线 y=1 只有一个公共点的直线有（ ） A 3 条 B 2 条 C 1 条 D 0 条 【考点】 抛物线的简单性质 第 6 页（共 14 页） 【分析】 由题意可得（ 1， 0）在抛物线 y=1 上，可得与抛物线只有一个公共点有两种情况：一种与对称轴平行；一种过（ 1， 0）与抛物线相切，即可得到所求条数 【解答】 解：由（ 1， 0）在抛物线 y=1 上， 可得与抛物线只有一个公共点的情况为： 当直线与对称轴平行，即为 x= 1； 当直线和抛物线相切，由 y=1 的导数为 y=2x， 可得切线的斜率为 2，切线的方程为 y= 2（ x+1） 综上可得，所求直线的条数为 2 故选： B 8在下列结论中，正确的结论是（ ） “p q”为真是 “p q”为真的充分不必要条件； “p q”为假是 “p q”为真的充分不必要条件； “p q”为真是 “p”为假的必要不充分条件； “p”为真是 “p q”为假的必要不充分条件 A B C D 【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假 【分析】 先判断命题的正误，可知 是正确的， 是假命题，然后再根据 p，必要条件、充分条件和充要条件的定义进 行判断 【解答】 解： 是正确的， 是假命题， 其中 中， “p q”为假是 “p q”为真的既不充分也不必要条件， “p”为真， “p”为假， “p”为真是 “p q”为假的充分不必要条件 9以下命题中，不正确的个数为（ ） 是 共线的充要条件； 若 ，则存在唯一的实数 ，使 ； 若 ，则 ； 若 为空间的一个基底，则 构成空间的另一个基底； A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量知识判断，错误的举出反例 【解答】 解： 若 为同向共线非零向量，则 | |+| |=| |，故 错误； 若 为非零向量， 为零向量，则不存在 R，使得 ，故 错误； 若 为零向量，则对任意向量 ， 都有 ，故 错误； 若 为空间的一个基底，则 不共面，所以 不共面，故 正确； |（ ） |=| | |=| | | | |，故 错误 第 7 页（共 14 页） 故选 C 10已知双曲线与椭圆 共焦点，它们的离心率之和为 ，则双曲线的方程是（ ） A B C D 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为 =1（ a， b 0），可得 c=3 即 a2+，求得椭圆的离心率，可得双曲线的离心率，解方程可得 a， b，进而得到双曲线的方程 【解答】 解：椭圆 的焦点为（ 3， 0）， 设双曲线的方程为 =1（ a， b 0）， 可得 c=3 即 a2+， 由椭圆的离心率为 ， 可得双曲线的离心率为 = ， 又 c=3，可得 a=2， b= ， 即有双曲线的方程为 =1 故选： D 11已知平行六面体 ABCD中，底面是边长为 1 的菱形，且 2， 60，则 于（ ） A B C D 6 【考点】 棱柱的结构特征 【分析】 可根据条件画出图形，根据向量加法的几何意义有，这样由条件便可进行数量积的运算求出 的值，即求出 的值，从而得到 值 【解答】 解：如图，根据条件： 第 8 页（共 14 页） = = =4+1+1+2+2+1 =11 即 故选： B 12已知 M（ 双曲线 C： =1 上的一点， C 的两个焦点，若 0，则 取值范围是（ ） A B CD 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定 取值范围 【解答】 解：由题意， =（ （ =3+1 0， 所以 故选 ： A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13已知 ，则 在 上的投影是 【考点】 空间向量的数量积运算 第 9 页（共 14 页） 【分析】 求出 ， | |， | |，计算夹角的余弦，代入投影公式即可 【解答】 解： = 1， = ， | |=3， = = 在 上的投影是 | | = （ ） = 故答案为 14已知椭圆过 A（ 3， 0）和 B（ 0， 4）两点，则椭圆的标准方程是 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 设所求椭圆方程为 ， m 0， n 0， m n，利用待定系数法能求出椭圆的标准方程 【解答】 解：设所求椭圆方程为 ， m 0， n 0， m n， 则 ，解得 m= ， n= ， 椭圆的标准方程是 故答案为： 15双曲线 的离心率 e （ 1， 2），则 m 的取值范围是 （ 0， 3） 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 求得双曲线的 a， b， c， e，解不等式即可得到所求 m 的范围 【解答】 解：双曲线 （ m 0）， 可得 a=1， b= ， c= ， 即有 e= = （ 1， 2）， 解得 0 m 3 故答案为：（ 0， 3） 16若 “任意 ”是真命题，则实数 m 的取值范围是 m 1 【考点】 全称命题 【分析】 根据全称命题为真命题，转化求函数的最值即可 【解答】 解：当 0 x 时，函数 y=增函数， 则 0 1， 第 10 页（共 14 页） 若 “任意 ”是真命题， 则 m 1， 故答案为： m 1 三、解答题：本大题共 4 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 . 17命题： “若 m 0，或 n 0，则 m+n 0” （ 1）写出上面命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假； （ 2）说明原命题中条件与结论 的充分性与必要性 【考点】 四种命题的真假关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 （ 1）分别写出其逆命题，否命题，逆否命题并判断即可；（ 2）根据充分必要条件的定义判断即可 【解答】 解：（ 1）原命题： “若 m 0，或 n 0，则 m+n 0”，这是假命题 逆命题：若 m+n 0，则 m 0，或 n 0，这是真命题 否命题：若 m 0，且 n 0，则 m+n 0，这是真命题 逆否命题：若 m+n 0，则 m 0，且 n 0，这是假命题 （ 2）条件 p： m 0，或 n 0，结论 q： m+n 0 由（ 1）知 p 推不出 q， qp，故 p 是 q 的必要不充分条件 由（ 1）知： p 推不出 q， qp， 故 p 是 q 的必要不充分条件 18已知椭圆的中心在原点，焦点为 ，且离心率 （ 1）求椭圆的方程； （ 2）求以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程 【考点】 椭圆的简单性质 【分析】 （ 1）由椭圆的焦点和离心率列出方程组，求出 a， b，由此能求出椭圆方程 （ 2）设以点 P（ 2， 1）为中点的弦与椭圆交于点 A（ B（ 则 x1+，y1+ 2，由此利用点差法能求出以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程 【解答】 解：（ 1） 椭圆的中心在原点，焦点为 ，且离心率 ， ，解得 a=4， c=2 ， b=2， 椭圆方程为 （ 2）设以点 P（ 2， 1）为中点的弦与椭圆交于点 A（ B（ 则 x1+， y1+ 2， 第 11 页（共 14 页） ，两式相减，并整理，得 4（ 8（ =0， k= = ， 以点 P（ 2， 1）为中点的弦所在的直线方程为： y+1= （ x 2），即 x 2y 4=0 19已知 A（ 3， 0）， B、 C 两点分别在 y 轴和 x 轴上运动，点 P 为 长线上一点，并且满足 ，试求动点 P 的轨迹方程 【考点】 轨迹方程 【分析】 分别设出 B、 C、 P 的坐标，得到有关向量的坐标，由 ，联立求得动点 P 的轨迹方程 【解答】 解：设 P（ x， y）， B（ 0， y）， C（ x， 0），则 ， 由 ，得 ， 即 ， B（ 0，