河北省唐山市2015-2016学年高一上期末数学试卷含答案解析

第 1页（共 18页 ） 2015年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1已知全集 U=xN|x 6，集合 A=1， 3， B=3， 5，则 U（ A B） =（ ） A 0， 2， 4 B 2， 4 C 0， 3， 4 D 3， 4 2 （ ） A B C D 3下列函数中与函数 y=x 为同一函数的是（ ） A y= B y=（ ） 2 C y= D y=函数 f（ x） = 零点所在的一个区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 5已知向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 0）， =（ 3， 4）若 为实数，（ + ） ，则 =（ ） A B C 1 D 2 6已知 a=b=c=实数 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B c b a C b c a D b a c 7如图，圆 C 中，弦 长度为 4，则 =（ ） A 12 B 8 C 4 D 2 8若 ） = ，则 ） =（ ） A B C D 第 2页（共 18页 ） 9把函数 y=4x+）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个可能值为（ ） A B C D 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，且 f（ 0） =f（ ），则（ ） A f（ x）的最小正周期为 2 B f（ x）的 图象关于直线 x= 对称 C f（ ） = 2 D f（ x）在 0， 上是增函数 11已知正实数 a， b 满足不等式 a+b，则函数 f（ x） =x+b）的图象可能为（ ） A B CD 12定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x+3），当 x（ 0， ）时， f（ x） =x，且 f（ ） =0，则函数 f（ x）在区间 6， 6上的零点个数是（ ） A 18 B 17 C 8 D 9 第 3页（共 18页 ） 二、填空题 :本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13如果 ，那么 14若 1（ a 0 且 a1），则实数 a 的取值范围是 15 三个顶点都在圆 O 上， ，且 | |=10，则圆 O 的面积为 16已知 0，在函数 y=函数 y=象的交点中，距离最近的两个交点间的距离为 ，则 = 三、解答题 :本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知 ， ， （ ， ）， （ ， 0） （ ） 求 （ ）求 +）的值 18已知函数 f（ x） =2（ 1 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； （ ）当 x 1， 1时，求函数 f（ x）的值域 19在 ， 0， P 为边 的一点， （ ）若 =3，试用 ， 表示 ； （ ）若 | |=4， | |=3，且 = 6，求 的值 20已知函数 f（ x） = 且 ff（ ） = 第 4页（共 18页 ） （ ）求实数 p 的值； （ ）若方程 f（ x） m=0 有 3 个不同的解，求实 数 m 的取值范围； （ ）若 x 1， 16时， f（ x） n+1 恒成立，求实数 n 的取值范围 21如图所示，长方形 ， ， ，以 D 为圆心的两个圆心半圆，半径分别为 1 和 2， G 为大半圆直径的右端点， E 为大半圆上的一个动点， 小半圆交于点 F，足为 M， 大半圆直径交于点 H， 足为 N （ ）设 0，求 长度； （ ）求 面积的最大值 22已知定义域为 R 的函数 f（ x） = 是奇函数 （ ）求实数 a 的值； （ ）判断函数 f（ x）在 R 上的单调性，并利用函数单调性的定义证明； （ ）若不等式 f（ 2x+1） +f（ k2x+1+2k） 0 在区间 0， +）上有解，求实数 k 的取值范围 第 5页（共 18页 ） 2015年河北省唐山市高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。 1已知全集 U=xN|x 6，集合 A=1， 3， B=3， 5，则 U（ A B） =（ ） A 0， 2， 4 B 2， 4 C 0， 3， 4 D 3， 4 【考点】 交、并、补集的混合运算 【专题】 计算题；集合思想；定义法；集合 【分析】 列举出全集 U 中的元素，由 A 与 B 求出两集合的并集，找出并集的补集即可 【解答】 解： 全集 U=xN|x 6=0， 1， 2， 3， 4， 5，集合 A=1， 3， B=3， 5， A B=1， 3， 5， 则 U（ A B） =0， 2， 4， 故选： A 【点评】 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 2 （ ） A B C D 【考点】 运用诱导公式化简求值 【专题】 计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值 【分析】 原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 【解答】 解： 故选： C 【点评】 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键 3下列函数中与函数 y=x 为同一函数的是（ ） A y= B y=（ ） 2 C y= D y=考点】 判断两个函数是否为同一函数 【专题】 对应思想；定义法；函数的性质及应用 【分析 】 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数 【解答】 解：对于 A， y= =|x|的解析式与 y=x 的解析式不相同， A 不是同一函数； 对于 B， y= =x（ x0）与 y=x（ xR）的定义域不相同， B 不是同一函数； 对于 C， y= =x（ x0）与 y=x（ xR）的定义域不同， C 不是同一函数； 对于 D， y=x（ xR）与 y=x（ xR）的定义域相同，对应关系也相同， D 是同一函数； 故选： D 第 6页（共 18页 ） 【点评】 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目 4函 数 f（ x） = 零点所在的一个区间是（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考点】 二分法求方程的近似解 【专题】 计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用 【分析】 确定函数的定义域为（ 0， +）与单调性，再利用零点存在定理，即可得到结论 【解答】 解：函数的定义域为（ 0， +） 易知函数在（ 0， +）上单调递减， f（ 2） = 0， f（ 3） = 0， f（ x） = 零点所在的一个区间（ 2， 3）， 故选： C 【点评 】 本题考查函数的单调性，考查零点存在定理，属于基础题 5已知向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 0）， =（ 3， 4）若 为实数，（ + ） ，则 =（ ） A B C 1 D 2 【考点】 平面向量共线（平行）的坐标表示 【专题】 平面向量及应用 【分析】 根据所给的两个向量的坐标，写出要用的 + 向量的坐标，根据两个向量平行，写出两个向量平行的坐标表示形式，得到关于 的方程，解方程即可 【解答】 解： 向量 =（ 1， 2）， =（ 1， 0）， =（ 3， 4） =（ 1+， 2） （ + ） ， 4（ 1+） 6=0， 故选 B 【点评】 本题考查两个向量平行的坐标表示，考查两个向量坐标形式的加减数乘运算，考查方程思想的应用，是一个基础题 6已知 a=b=c=实数 a， b， c 的大小关系为（ ） A a b c B c b a C b c a D b a c 【考点】 对数值大小的比较 【专题】 函数思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】 判断三个数 a、 b、 c 与 0， 1 的大小，即可得到结果 第 7页（共 18页 ） 【解答】 解： a=0， b=1， 0 c=1 所以 a c b 故选： C 【点评】 本题考查函数的基本性质的应用，基本知识的考查 7如图，圆 C 中，弦 长度为 4，则 =（ ） A 12 B 8 C 4 D 2 【考点】 平面向量数量积的运算 【专题】 计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用 【分析】 由题意画出图形，设出圆的半径，直接代入数量积公式得答案 【解答】 解：如图， 设圆的半径为 r，又弦 长度为 4， 则 = = 故选： B 【点评】 本题考查了向量的数量积以及圆的半径、弦长、 弦心距的关系，属于基础题 8若 ） = ，则 ） =（ ） A B C D 【考点】 三角函数的化简求值 【专题】 计算题；转化思想；三角函数的求值 【分析】 由已知利用诱导公式可求 x+ ） = ，利用倍角公式化简所求后即可求值得解 【解答】 解： ） =x ） = x+ ） =x+ ） = ， ） =（ x+ ） =1 2x+ ） =1 2（ ） 2= 故选： D 第 8页（共 18页 ） 【点评】 本题主要考查了诱 导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 9把函数 y=4x+）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平 个单位，所得图象关于 y 轴对称，则 的一个可能值为（ ） A B C D 【考点】 函数 y=x+）的图象变换 【专题】 综合题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用诱导公式， y=x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，求得 的一个 可能值 【解答】 解：把函数 y=4x+）图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 可得函数 y=2x+）的图象； 再将图象上所有的点向右平 个单位，可得函数 y=（ x ） +=2x +）的图象， 由所得图象关于 y 轴对称，可得 +=， kZ， 则 的一个可能值为 ， 故选： B 【点评】 本题主要考查诱导公式， y=x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，属于基础题 10已知函数 f（ x） =x+）（ A 0， 0， | ）的部分图象如图所示，且 f（ 0） =f（ ），则（ ） A f（ x）的最小正周期为 2 B f（ x）的图象关于直线 x= 对称 C f（ ） = 2 D f（ x）在 0， 上是增函数 【考点】 正弦函数的图象 第 9页（共 18页 ） 【专题】 函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质 【分析】 根据函数图象的对称轴得出 f（ x）的对称轴，结合函数图象求出 f（ x）的周期和 f（ x）的其他对称轴 【解答】 解： f（ 0） =f（ ）， f（ x）的图象在 y 轴右侧的第一条对称轴为 x= 故 f（ x）的最小正 周期 T=4（ ） =故 A 错误 f（ x）的图象在 y 轴右侧的第二条对称轴为 x= = f（ ） = 1故 C 正确； f（ x）的图象在 y 轴右侧的第三条对称轴为 x= = ，故 B 错误 故选 C 【点评】 本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题 11已知正实数 a， b 满足不等式 a+b，则函数 f（ x） =x+b）的图象可能为（ ） A B CD 【考点】 函数的图象 【专题】 函数的性质及应用 【分析】 由题意可得 a 1 且 0 b 1，或 0 a 1，且 b 1 若 成立，则选项 成立，没有满足条件的选项，由此得出结论 【解答】 解： 正实数 a， b 满足不等式 a+b， a（ 1 b） +（ b 1） 0， （ 1 b）（ a 1） 0，故有 a 1 且 0 b 1，或 0 a 1，且 b 1 若 成立，则函数 f（ x） =x+b）在定义域（ b， +）上是增函数， 且 f（ 1） 0， f（ 0） 0，故选项 B 满足条件 若 成立，则函数 f（ x） =x+b）在定义域（ b， +）上是减函数， 且 f（ 1） 0， f（ 0） 0，故没有满足条件的选项 故选 B 【点评】 本题主要考查由函数的解析式判断函数的图象特征，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题 第 10页（共 18页 ） 12定义在 R 上的奇函数 f（ x）满足 f（ x） =f（ x+3），当 x（ 0， ）时， f（ x） =x，且 f（ ） =0，则函数 f（ x）在区间 6， 6上的零点个数是（ ） A 18 B 17 C 8 D 9 【考点】 函数零点的判定定理 【专题】 计算题；作图题；数形结合；试验法；函数的性质及应用 【分析】 可判断 f（ x）的周期为 3，作函数 f（ x）在 ， 上的图象，从而结合图象及周期性确定 零点的个数 【解答】 解： f（ x） =f（ x+3）， f（ x）的周期为 3， 当 x（ 0， ）时， f（ x） =x，且 f（ ） =0，且 f（ x）是奇函数； 作函数 f（ x）在 ， 上的图象如下， ， 结合图象可知， f（ ） =f（ ） =f（ ） =f（ ） =0， f（ 1） =f（ 4） =f（ 2） =f（ 5） =0， f（ 1） =f（ 2） =f（ 5） =f（ 4） =0， f（ 0） =f（ 3） =f（ 6） =f（ 3） =f（ 6） =0， 故函数 f（ x）在区间 6， 6上的零点个数是 17； 故选： B 【点评 】 本题考查了函数的零点的个数的判断及数形结合的思想应用 二、填空题 :本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13如果 ，那么 【考点】 同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 【解答】 解： = ， ， 第 11页（共 18页 ） 解得 ， 故答案为： 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 14若 1（ a 0 且 a1），则实数 a 的取值范围是 （ 0， ） （ 1， +） 【考点】 其他不等式的解法 【专题】 计算题；不等式的解法及应用 【分析】 把 1 变成底数的对数，讨论底数与 1 的关系，确定函数的单调性，根据函数的单调性整理出关于 a 的不等式，得到结果，把两种情况求并集得到结果 【解答】 解： 1= 当 a 1 时，函数是一个增函数，不等式成立， 当 0 a 1 时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有 a ， 综上可知 a 的取值是（ 0， ） （ 1， +）， 故答案为：（ 0， ） （ 1， +） 【 点评】 本题主要考查对数函数单调性的应用、不等式的解法等基础知识，本题解题的关键是对于底数与 1 的关系，这里应用分类讨论思想来解题 15 三个顶点都在圆 O 上， ，且 | |=10，则圆 O 的面积为 25 【考点】 向量的线性运算性质及几何意义 【专题】 数形结合；数形结合法；平面向量及应用 【分析】 由向量的平行四边形法则可知 圆 O 的直径，代入面积公式即可 【解答】 解：做圆 O 的直径 =2 = + ， 四边形 平行四边形， 直径， 0， 四边形 矩形， D=10即圆 O 的半径为 5 52=25 故答案为 25 【点评】 本题考查了平面向量的线性运算和几何意义，属于基础题 16已知 0，在函数 y=函数 y=象的交点中，距离最近的两个交点间的距离为 ，则 = 【考点】 正弦函数的图象 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】 由条件利用正弦函数的图象特征可得 = ，由此求得 的值 第 12页（共 18页 ） 【解答】 解：由题意可得 = ， = ， =， 故答案为： 【点评】 本题主要考查正弦函数 的图象特征，属于基础题 三、解答题 :本大题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17已知 ， ， （ ， ）， （ ， 0） （ ）求 （ ）求 +）的值 【考点】 两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用 【专题】 转化思想；综合法；三角函数的求值 【分析】 （ ）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得 （ ）由条件利用两角和的正切公式，求得要求式子的值 【解答】 解：（ ） ， ， （ ， ）， （ ， 0）， = = ，进而 = （ ）由（ ）知， = ， ， +） = = = 1 【点评】 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式的应用，属于基础题 18已知函数 f（ x） =2（ 1 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期和单调递增区间； （ ）当 x 1， 1时，求函数 f（ x）的值域 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象 【专题】 函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质 【分析】 （ ）由三角函数公式化简可得 f（ x） = x+ ），由周期公式可得周期，解 2 x+ 2可得单调递增区间； （ ）由 x 1， 1可得 x+ ， ，由三角函数可得值域 【解答】 解：（ ） f（ x） =2x+2x 1 第 13页（共 18页 ） =x+x= x+ ）， f（ x）的最小正周期 T= =4， 由 2 x+ 2， kZ， 可解得 4k x4k+ ， kZ， f（ x）的单调递增区间为 4k ， 4k+ ， kZ； （ ） x 1， 1， x+ ， ， x+ ） 1， f（ x）在区间 1， 1上的值域为 1， 【点评】 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属中档题 19在 ， 0， P 为边 的一点， （ ）若 =3，试用 ， 表示 ； （ ）若 | |=4， | |=3，且 = 6，求 的值 【考点】 平面向量数量积的运算；向量的线性运算 性质及几何意义 【专题】 计算题；数形结合；综合法；平面向量及应用 【分析】 （ ） =3 时便得到 ，从而有 ，然后进行向量的数乘运算便可用 表示出 ； （ ）可分别以 在直线为 x， y 轴，建立平面直角坐标系，从而得出点 A， B 的坐标，这便可求出 的坐标，而由 即可用 表示出 ，从而得出 的坐标，这样由 进行数量积的坐标运算便可得出关于 的方程，解方程便可得出 的值 【解答】 解：（ ） =3； =3 ； 第 14页（共 18页 ） ； ； （ ）以直线 x 轴，直线 y 轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则： A（ 4， 0）， B（ 0， 3）； ， =（ 4， 3）； 由 = ，得 =（ ）； = + = ； 又 = 6； （ 4） + ； 解得 = 【点评】 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标解决向量问题的方法，以及向量坐标的数乘运算和数量积的运算 20已知函数 f（ x） = 且 ff（ ） = （ ）求实数 p 的值； （ ）若方程 f（ x） m=0 有 3 个不同的解，求实数 m 的取值范围； （ ）若 x 1， 16时， f（ x） n+1 恒成立 ，求实数 n 的取值范围 【考点】 分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断 【专题】 数形结合；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用 【分析】 （ ）运用分段函数的解析式，可得 f（ ） = ，解方程可得 p=1； （ ）求出 f（ x）的解析式，画出图象， f（ x） m=0 有 3 个不同的解，即为 y=f（ x）与y=m 有 3 个交点，由图象观察，即可得到所求 m 的范围； 第 15页（共 18页 ） （ ）由（ ）知，当 x 1， 16时， f（ x） 0， 4由题意可得 n+1f（ x） ，即可得到所求范围 【解答】 解：（ ） ff（ ） = ，即 f（ ） = ， （ +1） 2+4p= ， p=1； （ ）由（ ）知， f（ x） = ， 其大致图象如右： f（ x） m=0 有 3 个不同的解，即为 y=f（ x）与 y=m 有 3 个交点， 实数 m 的取值范围为 0 m 4； （ ）由（ ）知，当 x 1， 16时， f（ x） 0， 4 x 1， 16时， f（ x） n+1 恒成立 n+1f（ x） ，即有 n3 即实数 n 的取值范围为 3， +） 【点评】 本题考查分段函数的图象和运用，考查不等式恒成立问题的解法，以及函数方程的转化思想 的运用，属于中档题 21如图所示，长方形 ， ， ，以 D 为圆心的两个圆心半圆，半径分别为 1 和 2， G 为大半圆直径的右端点， E 为大半圆上的一个动点， 小半圆交于点 F，足为 M， 大半圆直径交于点 H， 足为 N （ ）设 0，求 长度； （ ）求 面积的最大值 【考点】 三角函数中的恒等变换应用；在实际问题中建立三角函数模型 【专题】 函数思想；数形结合法；换元法；三角函数的求值 【分析】 （ ）过 F 作 Q，可得 0，可得 H+计算可得； 第 16页（共 18页 ） （ ）设 ， 0， ，可得 面积为 S= （ ） （ 2） =4+2（ + t=二次函数区间的最值可得 【解答】 解：（ ）过