数值分析考试总结

1 数值分析深度总结 大兵 第一章绪论 1 数值分析的特点 面向计算机 算法包括 和逻辑运算 都是计算机能够直接 处理的 有可靠的理论分析 能任意逼近并达到精读要求 对近似算法要 保证收敛性和数值稳定性 还要对误差进行分析 有好的计算复杂性 有数值试验 2 数值分析的误差 模型 观测 截断 舍入 截断 数学模型不能得到精确解时 用数值方法求近似解 其 余精确解之间的误差 舍入 计算机计算时 计算机字长有限 原始数据在计算机上 表示会产生误差 计算过程又会产生新的误差 3 判断算法优劣的标准 精读 稳定性 算法是否简单 4 算法的数值稳定性与病态问题 稳定性 某算法初始误差或计算过程中的舍入误差影响小 此 算法为数值稳定的 病态 初始微小误差对最终结果产生极大影响 第二章插值法 1 两种插值公式 拉格 2 数值分析深度总结 大兵 牛顿 2 均差与导数的关系 差分 略 3 龙格现象及其解决办法 现象 节点增多 P x 和 f x 在更多地方相等 但是两节点之 间 有时误差很大 办法 将插值区间分成若干小区间 在小区间上用地磁插值 即分段低次插值 4 样条插值思想 分段低次插值函数虽然有一致收敛性 但光滑性较差 实际应用 中需要二阶光滑度 即二阶连续导数 样条曲线由分段三次曲线并 接而成 在连接点上二阶导数连续的曲线 第三章 函数逼近 1 逼近问题和拟合问题 逼近 要求在给定精读条件下 求计算次数少的近似公式 即对于 f x 求多项式 p x 使 f x p x 在某种衡量标准下最小 拟合 实际中 仅根据离散数据是不可能求出 f x 的精确表达式的 而只能寻找其近似表达式 此类问题称为离散数据的拟合问题 2 legendre 和 chebyshev 正交多项式 Legendre 多项式 3 数值分析深度总结 大兵 递推公式 正交性 chebyshev 多项式 正交性 递推公式 3 将函数展成 chebyshev 多项式 4 用最小二乘法做线性拟合 4 数值分析深度总结 大兵 第四章 数值积分 1 常用低阶 newton cots 公式及其代数精度 N 1 1 1 N 2 1 4 1 N 3 1 3 3 1 N 4 7 32 12 32 7 N C 公式的代数精度 2 复化求积法 复化梯形 h 2 A 2 复化 simpsons h 6 A 4 2 3 Romberg 和 gauss 求积法的基本思想 Romberg 算法 用加速收敛方法求积 即在步长二分的过程中反 复用复化求积公式进行计算 使误差越来越小 达到精读要求 Gauss 选取适当的 Xk 和 Ak 使插值型求积公式具有 2n 1 阶精 度 称此求积公式为高斯求极公式 构造 第五章 常微分方程数值解 1 Euler 公式 后退的 Euler 公式 5 数值分析深度总结 大兵 改进的 Euler 公式 2 runge kutta 方法的基本思想 设法在 Xn Xn 1 内多预测几个点的斜率值 然后将他们加权平均 作为平均斜率 K 构造出具有更高精度的计算格式 3 四阶经典 runge kutta 公式 第六章 解非线性方程数值法 1 牛顿迭代法 收敛性 第七章 解线性方程组的直接法 1 高斯法基本思想 消元过程 回代过程 2 追赶法 三对角方程组 6 数值分析深度总结 大兵 3 条件数 向量范数 无穷 最大值 1 正和值 2 方和根 矩阵范数 无穷 行范数 1 列范数 2 谱半径 第八章 解线性方程组的迭代法 1 Jacobi 与 gauss seidel 迭代格式 2 Jacobi 与 gauss seidel 迭代 3 迭代收敛的充要条件 7 数值分析深度总结 大兵 4 逐次超松弛 SOR 迭代法的基本思想及具体计算公式 基本思想 计算表明 当阶数较高时 G S 迭代速度依然较慢 可 在 G S 迭代的基础上加速 由 G S 迭代计算出的结果 不作为 仅作为中间结果 然后将 具体计算公式 补充 泰勒级数 8 数值分析深度总结 大兵 填空 1 矩阵分解的主要步骤 消元 回代 2 误差分析主要有 右端向量误差对解的影响 系数矩阵误差对解 的影响 3 算法的运行效率 计算量 存储量 4 解线