高中数学1.1方程的根与函数的零点第2课时示范教案新人教A必修1

第2课时 方程的根与函数的零点复习提出问题已知函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围.证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点.已知函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：因为=m2-4m0或m=0,0m4.因为=36-40=-40且2(m+1)0,m1且m-1.导入新课思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过”的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x轴的？学生思考或讨论回答：利用函数值的符号，即f(a)f(b)0.思路2.(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点?用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：在闭区间a,b上，若f(a)f(b)0，y=f(x)连续，则(a,b)内有零点.如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.”应用示例思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945012.079414.1972由表和图3-1-1-15可知，f(2)0,则f(2)f(3)0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15 图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,f(1)f(10)0.函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，函数f(x)=lgx+x-8是增函数.函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.例2已知函数f(x)=3x+,(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.解：(1)设g(x)=3x,h(x)=,作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x(0,1).变式训练证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.证明:利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x-101234567f(x)-7.5-32816284884172图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)0,则f(0)f(1)0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-,+)内是增函数.设x1,x2(-,+),且x1x2，f(x1)-f(x2)=2+4x1-4-(2+4x2-4)=2-2+4(x1-x2)=2(2-x2-1)+4(x1-x2).x1x2，x1-x20,2-x2-10.f(x1)-f(x2)0.函数在定义域(-,+)内是增函数.则函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,f(-2)f(0)0,f(0)f(2)0.函数y=2|x|-2有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-，0)上为单调的.在(0，+)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,下面证明f(x)=2x-1在(0，+)上为增函数.证明：设x1,x2为(0，+)上任意两实数，且0x1x2,f(x1)-f(x2)=2-2-(2-2)=2-2=2 (2-x2-1),0x1x2,x1-x20,2-x20,2-x2-10.2 (2-x2-1)0.f(x1)-f(x2)0.f(x1)f(x2).函数y=2|x|-2在(0，+)上为增函数.同理可证函数y=2|x|-2在(-，0)上为减函数.函数y=2|x|-2恰有两个零点.变式训练证明函数f(x)=x+-3在(0，+)上恰有两个零点.证明:f()=,f(1)=-1,f(3)=,f()f(1)0,f(1)f(3)0.函数f(x)=x+-3在(0，+)上有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数f(x)=x+-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+-3在(1，+)上为单调的.证明：设x1,x2为(0，1)上的任意两实数，且x1x2.f(x1)-f(x2)=x1+-3-(x2+-3)=(x1-x2)+()=(x1-x2)+=(x1-x2)(),0x1x21，x1-x20,0.f(x1)-f(x2)0.函数f(x)=x+-3在(0，1)上为减函数.同理函数f(x)=x+-3在(1，+)上为增函数.函数f(x)=x+-3在(0，+)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于基本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n个.例2已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21，求证:b0.图3-1-1-21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示:方法一：把零点代入，用a、c表示b.方法二：用参数a表示函数.证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).当x0时，f(x)0，所以b2时,f(x)0,所以a0.比较同次项系数，得b=-3a.所以b0.变式训练函数y=ax2-2bx的一个零点为1，求函数y=bx2-ax的零点.答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.知能训练1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于下列哪个区间?( )A.(4,5) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)2.若函数f(x)=2mx+4在-2,1上存在零点，则实数m的取值范围是( )A.4 B.(-,-21,+)C.-1,2 D.(-2,1)3.已知函数f(x)=3x56x1,有如下对应值表：x-2-1.5012f(x)10944.171-8-107函数yf(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B 2.B 3.(0，1),因为f(0)f(1)0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式