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第一章 解三角形 1 1 1正弦定理及其应用 1 问题的引入 某游客在爬上山顶后 在休息时看到对面的山顶想 这离对面有多远的距离呢 请同学们帮帮这位游客 工具是测角仪和皮尺 思考 在直角三角形中 边 与 角 的关系 Rt中 思考 对于一般三角形 上述结论是否成立 在锐角三角形中 在钝角三角形中 由以上三种情况的讨论可得 正弦定理 思考 用 向量 的方法如何证明 正弦定理 在一个三角形中 各边的长和它所对角的正弦的比相等 即 思考 用 三角形面积公式 如何证明 正弦定理 而 同理 ha 正弦定理在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 变形 小结 知道三角形的两个内角和任何一边 利用正弦定理可以求出三角形中的其它元素 定理的应用举例 例1 例2 在三角形ABC中 已知a 20cm b 28cm A 40 解三角形 角度精确到1 边长精确到1cm 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 在例2中 将已知条件改为以下几种情况 结果如何 3 b 20 A 60 a 15 B 30 或150 150 60 180 B 150 应舍去 B 90 3 b 20 A 60 a 15 无解 已知边a b和角 求其他边和角 为锐角 为直角或钝角 2R为 ABC外接圆直径 证明 正弦定理在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 含三角形的三边及三内角 由己知二角一边或二边一角可表示其它的边和角 定理结构特征 1 1 1正弦定理 剖析定理 加深理解 1 A B C 2 大角对大边 大边对大角 剖析定理 加深理解 3 正弦定理可以解决三角形中的问题 已知两角和一边 求其他角和边 已知两边和其中一边的对角 求另一边的对角 进而可求其他的边和角 剖析定理 加深理解 4 一般地 把三角形的三个角A B C和它们的对边a b c叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 剖析定理 加深理解 5 正弦定理的变形形式 6 正弦定理 可以用来判断三角形的形状 其主要功能是实现三角形边角关系的转化 A C a b a bsinA 无解 A C a b a bsinA 一解 A C a b bsinA a b 两解 B B1 B2 B A C b a 一解 a A B a b C A B a b C A B a b C a b 无解 a b 无解 a b 一解 求B 判断解的个数 求B 求B 求B
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