培优专题4-用十字相乘法把二次三项式分解因式

1 5 5 用十字相乘法把二次三项式分解因式 用十字相乘法把二次三项式分解因式 知识精读知识精读 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法 重点是运用公式 进行因式分解 掌握这种方法的关键是确定适合条件 xab xabxa xb 2 的两个数 即把常数项分解成两个数的积 且其和等于一次项系数 对于二次三项 a b c 都是整数 且 来说 如果存在四个整数axbxc 2 a 0 满足 并且 那么二次三项式acac 1122 a aac cc 1212 a ca cb 1221 即可以分解为 这里要axbxc 2 a a xa ca c xc c 12 2 122112 a xca xc 1122 确定四个常数 分析和尝试都要比首项系数是 1 的类型复杂 因此一般要acac 1122 借助画十字交叉线的办法来确定 下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解 分类解析分类解析 1 在方程 不等式中的应用在方程 不等式中的应用 例 1 已知 求 x 的取值范围 xx 2 11240 分析 分析 本题为二次不等式 可以应用因式分解化二次为一次 即可求解 解 解 xx 2 11240 xx x x x x xx 380 30 80 30 80 83 或 或 例 2 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积 试求 m 的xxmxmx 432 22 值 并把这个多项式分解因式 分析 分析 应当把分成 而对于常数项 2 可能分解成 或者分解成x 4 xx 22 12 由此分为两种情况进行讨论 21 解 解 1 设原式分解为 其中 a b 为整数 去括号 得 xaxxbx 22 12 xab xxab x 432 22 将它与原式的各项系数进行对比 得 2 abmabm 1122 解得 abm 101 此时 原式 xxx 22 21 2 设原式分解为 其中 c d 为整数 去括号 得 xcxxdx 22 21 xcd xxcd x 432 22 将它与原式的各项系数进行对比 得 cdmcdm 1122 解得 cdm 011 此时 原式 xxx 22 21 2 在几何学中的应用在几何学中的应用 例 已知 长方形的长 宽为 x y 周长为 16cm 且满足 求长方形的面积 xyxxyy 22 220 分析 分析 要求长方形的面积 需借助题目中的条件求出长方形的长和宽 解 解 xyxxyy 22 220 xxyyxy xyxy xyxy 22 2 220 20 210 或 xy20 xy 10 又 xy 8 xy xy xy xy 20 8 10 8 或 解得 或 x y 5 3 x y 35 45 长方形的面积为 15cm2或 63 4 2 cm 3 在代数证明题中的应用 在代数证明题中的应用 例 证明 若是 7 的倍数 其中 x y 都是整数 则是 49 的倍4xy 8103 22 xxyy 数 3 分析 分析 要证明原式是 49 的倍数 必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式 证明一 证明一 8103234 22 xxyyxyxy 2 234647xyxyxyy 是 7 的倍数 7y 也是 7 的倍数 y 是整数 4xy 是 7 的倍数 2 23xy 而 2 与 7 互质 因此 是 7 的倍数 所以是 49 的倍数 23xy 8103 22 xxyy 证明二 证明二 是 7 的倍数 设 m 是整数 4xy 47xym 则yxm 47 又 8103234 22 xxyyxyxy 21221447714214923xxmxxmmxmmxm x m 是整数 也是整数 mxm23 所以 是 49 的倍数 8103 22 xxyy 4 中考点拨 中考点拨 例 1 把分解因式的结果是 22224 954yyxyx 解 解 22224 954yyxyx yxx yxx yxxx 242 222 22 459 491 1 23 23 说明 多项式有公因式 提取后又符合十字相乘法和公式法 继续分解彻底 例 2 因式分解 675 2 xx 解 解 67521 35 2 xxxx 说明 分解系数时一定要注意符号 否则由于不慎将造成错误 5 题型展示 题型展示 例 1 若能分解为两个一次因式的积 则 m 的值为 xymxy 22 56 4 A 1B 1C D 2 1 解 解 xymxyxy xymxy 22 5656 6 可分解成或 因此 存在两种情况 23 32 1 x y 2 2 x y 3 x y 3 x y 2 由 1 可得 由 1 可得 m 1m 1 故选择 C 说明 对二元二次多项式分解因式时 要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积 再通过待定系数法确定其系数 这是一种常用的方法 例 2 已知 a b c 为互不相等的数 且满足 acba cb 2 4 求证 abbc 证明 证明 acba cb 2 4 acba cb aaccbcacabb acb acb acb acb abbc 2 222 2 2 2 40 244440 440 20 20 说明 抓住已知条件 应用因式分解使命题得证 例 3 若有一因式 求 a 并将原式因式分解 xxxa 32 57 x 1 解 解 有一因式 xxxa 32 57 x 1 当 即时 x 10 x 1xxxa 32 570 a3 xxx xxxxx xxx xx xxx xxx xx 32 322 2 2 2 573 4433 14131 143 113 13 说明 由条件知 时多项式的值为零 代入求得 a 再利用原式有一个因式是x 1 分解时尽量出现 从而分解彻底 x 1x 1 5 实战模拟实战模拟 1 分解因式 1 2 a bab 22 1639 1574 2122 xx yy nnnn 3 xxxx 2 2 2 322372 2 在多项式 哪些是多xxxxxxxxx 123232123 222 项式的因式 xxxx 2 4 2 2 21029 3 已知多项式有一个因式 求 k 的值 并把原式分解因式 213 32 xxxk 4 分解因式 35294 22 xxyyxy 5 已知 求的值 xyxy 05312 3129 22 xxyy 6 试题答案试题答案 1 1 解 解 原式 abababab 2 1639313 2 解 解 原式 354 11 xyxy nnnn 3 解 解 原式 xxxxxxxx 22 343184163 2 解 解 xxxx 2 4 2 2 21029 xxxx xxxxxxxx xxxxxxx 2 2 2 2 2222 2 2 2 2921 23232121 2331121 其中是多项式xxxxxx 132321 22 的因式 xxxx 2 4 2 2 21029 说明 先正确分解 再判断 3 解 解 设 21321 322 xxxkxxaxb 则 2132212 3232 xxxkxaxab xb 211 213 a ab bk 解得 a b k 1 6 6 且 k6 21362162132 322 xxxxxxxxx 说明 待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法 所给多项式是三次式 已知有 一个一次因式 则另一个因式为二次式 由多项式乘法法则可知其二次项系数为 1 4 解 解 简析 由于项数多 直接分解的难度较大 可利用待定系数法 设35294 22 xxyyxy 32 35232 22 x