互动课堂(2.1.2 演绎推理).doc

或互动课堂重难突破 1.概念理解演绎推理是一种重要的推理形式,指前提与结论之间蕴涵关系的推理.演绎推理在思维过程的方向上与归纳推理相反,即由一般到特殊的推理过程,其推理形式为在推理形式中,不论任何具体概念代入S、M与P,只要代入后的前提是正确的,那么代入后的结论也是正确的,这表明在演绎推理中,从正确前提出发,运用正确的推理形式,就必然得出正确的结论.“三段论”是由古希腊的亚里士多德创立的.亚里士多德还提出了用演绎推理来建立各门学科体系的思想.例如欧几里得的原本就是一个典型的演绎系统,它从10条公理和公设出发,利用演绎推理,推出所有其它命题.像这种尽可能少地选取原始概念和一组不加证明的原始命题(公理、公设),以此为出发点,应用演绎推理,推出尽可能多的结论的方法,称为公理化方法.公理化方法的精髓是:利用尽可能少的前提,推出尽可能多的结论.演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式.演绎推理的主要形式,就是由大前提,小前提推出结论的三段论式推理.三段论式推理常用的一种格式,可以用以下公式来表示:三段论推理的根据,用集合论的观点来讲,就是:若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P.三段论的公式中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结论.例如,用三段论证明并指出每一步推理的大前提和小前提.图2-1-8如图2-1-8所示,在锐角ABC中,ADBC,BEAC,D,E是垂足.求证:AB的中点M到D,E的距离相等.分析:解答题需要利用直角三角形斜边上的中线性质作为大前提.证明:(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提在ABD中,ADBC,即ADB=90,小前提所以ABD是直角三角形.结论同理,AEB也是直角三角形.(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提而M是RtABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线,小前提所以DM=AB.结论同理,EM=AB.所以,DM=EM.2.演绎推理的应用就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.但数学结论、证明思路等的发现过程,主要靠合情推理.因此,我们不仅应当学会证明,也应当学会猜想.继原本之后,公理化方法广泛应用于自然科学、社会科学领域,例如牛顿以牛顿三定律为公理,运用演绎推理推出关于天体空间的一系列科学理论,建立了牛顿力学的一整套完整的理论体系.3.注意的问题演绎推理是一种必然性推理.演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系,因而,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么结论必定是真实的.但错误的前提可能导致错误的结论.活学巧用一、认清“三段论”的结构【例1】指出下面推理中的错误.(1)自然数是整数,大前提-6是整数,小前提所以-6是自然数;结论(2)中国的大学分布于中国各地,大前提北京大学是中国的大学,小前提所以北京大学分布于中国各地.结论解:(1)大、小前提中的“自然数”(P)与“-6”(S)都分别与“整数”(M)的一部分存在联系,这样“整数”(M)就不能起到联结“自然数”(M)与“-6”(S)的作用,因此不能使“自然数”(M)与“-6”(S)发生必然的确定关系.(2)这个推理的错误原因是“中国的大学”未保持同一,它在大前提中表示中国的各所大学,而在小前提中表示中国的一所大学.点评:三段论法的论断基础是这样一个公理:“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体.”简言之,“全体概括个体.”M、P、S三个概念之间的包含关系表现为:如果概念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图2-1-9);如果概念M排斥概念P,则P必排斥M中的任一概念S(如图2-1-10). 图2-1-9 图2-1-10弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.【例2】已知a、bR,求证:.证明:设f(x)=,x0,+),x1、x2是0,+)上的任意两个实数,且0x1x10,所以f(x2)f(x1).所以f(x)= 在0,+)上是增函数.(大前提)由|a|+|b|a+b|0,(小前提)知f(|a|+|b|)f(|a+b|),即成立.点评:求证式的形式特点是解题思路的重要信息,对不等式两端进行化简是关键.二,应用三段论证明数学问题【例3】梯形的两腰和一底如果相等,它的对角线必平分另一底上的两个角.已知在梯形ABCD中(如图2-1-11),AB=DC=AD,AC和BD是它的对角线,求证:AC平分BCD,DB平分CBA.图2-1-11证明:(1)等腰三角形两底角相等(大前提),DAC是等腰三角形,DA、DC是两腰(小前提),1=2(结论).(2)两条平行线被第三条直线截出的内错角相等(大前提),1和3是平行线AD、BC被AC截出的内错角(小前提),1=3(结论).(3)等于同一个量的两个量相等(大前提),2和3都等于1(小前提),2=3(结论),即AC平分BCD.(4)同理,DB平分CBA.点评:这个证明中如果把(4)也详细地写出,则一共通过六次三段论的形式.因此一个命题的证明形式,确切地常叫做复合三段论的形式,或说命题的推证方法是复合三段论法,但是事实上,每一次三段论的大前提并不写出,某一次三段论的小前提如果是它前面某大三段论的结论,也就不再写出了.如例3的证明可写成:DA=DC(省略了大前提),1=2.ADBC,且被AC截得内错角为1和3(省略大前提).1=3.2=3,即AC平分BCD(省略大前提,小前提).同理,可证DB平分ABC.这样,一般地在推论命题时所采用的这种表达方法,就叫做简化的复合三段论法.【例4】已知函数f(x)=+bx,其中a0,b0,x(0,+),确定f(x)的单调区间,并证明在每个单调区间上的增减性.证明:设0x1x2,则f(x1)-f(x2)=(+bx1)-(+bx2)=(x2-x1)(-b).当0x10,0x1x2b,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在(0,上是减函数.当x2x1时,则x2-x10,x1x2,b,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2).f(x)在