高中数学第三章不等式2_2一元二次不等式的应用课件北师大版必修5

2 2一元二次不等式的应用 第三章不等式 1 会解简单的分式不等式和高次不等式 2 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型 并加以解决 3 掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一分式不等式的解法 等价 好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式 0与 x 3 x 2 0等价吗 将 0变形为 x 3 x 2 0 有什么好处 答案 梳理 一般的分式不等式的同解变形法则 1 0 2 0 3 a 0 f x g x 0 f x g x 0 g x 0 知识点二穿针引线法解高次不等式 思考 分别画出y x 1 y x 1 x 2 y x 1 x 2 x 3 的图像 并观察它们与相应的x 1 0 x 1 x 2 0 x 1 x 2 x 3 0的关系 答案 不等式的解集恰是对应图像当y 0时相应的横坐标集合 梳理 一般地f x x a x b x c a b c 的图像是一条连续不断的曲线 且f x 的符号每顺次经过就会发生一次变化 从右到左在区间上f x 的符号正负相间 如图 故解不等式 x a x b x c 0 或0 则拣取区间 a b c 即为所求解集 x轴的一个交点 c b c a b a 知识点三一元二次不等式恒成立问题 思考 x 1 0在区间 2 3 上恒成立的几何意义是函数y x 1在区间 2 3 上的图像恒在x轴上方 区间 2 3 内的元素一定是不等式x 1 0的解 反之不一定成立 故区间 2 3 是不等式x 1 0的解集的子集 x 1 0在区间 2 3 上恒成立的几何意义是什么 区间 2 3 与不等式x 1 0的解集有什么关系 答案 梳理 一般地 不等式f x 0在区间 a b 上恒成立 的几何意义是函数y f x 在区间 a b 上的图像全部在x轴方 区间 a b 是不等式f x 0的解集的 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题 即 若f x 有最大值 则k f x 恒成立 k 若f x 有最小值 则k f x 恒成立 k 上 子集 f x max f x min 题型探究 类型一一元二次不等式在生活中的应用 例1某种汽车在水泥路面上的刹车距离 刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离 sm和汽车车速xkm h有如下关系 s x x2 在一次交通事故中 测得这种车的刹车距离大于39 5m 那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少 精确到0 01km h 解答 设这辆汽车刹车前的车速至少为xkm h 移项整理 得x2 9x 7110 0 显然 0 x2 9x 7110 0有两个实数根 即x1 88 94 x2 79 94 然后 根据二次函数y x2 9x 7110的图像 得不等式的解集为 x x79 94 在这个实际问题中 x 0 所以这辆汽车刹车前的车速至少为79 94km h 反思与感悟 一元二次不等式应用题常以二次函数为模型 解题时要弄清题意 准确找出其中的不等关系 再利用一元二次不等式求解 确定答案时应注意变量具有的 实际含义 由题意列出不等式S甲 0 1x甲 0 01 12 S乙 0 05x乙 0 005 10 分别求解 得x甲30 x乙40 由于x 0 从而得x甲 30km h x乙 40km h 经比较知乙车超过限速 应负主要责任 跟踪训练1在一个限速40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm h之间分别有如下关系 S甲 0 1x 0 01x2 S乙 0 05x 0 005x2 问谁应负超速行驶主要责任 解答 类型二分式不等式和高次不等式的解法 例2解下列不等式 解答 0 x 3 x 2 0 2 x 3 原不等式的解集为 x 2 x 3 解答 令 3x 1 x 3 x 1 0 得x1 3 x2 1 x3 如图穿针引线 3 3x 1 x 3 x 1 0 解答 3x 1 x 3 x 1 0的解集为 3 1 反思与感悟 分式不等式的解法 先通过移项 通分整理成标准型 0 0 或 0 0 再化成整式不等式来解 如果能判断出分母的正负 直接去分母也可以 跟踪训练2解下列不等式 解答 解答 解答 令 3x 1 2x 1 x 1 0 如图穿针引线 类型三不等式的恒成立问题 例3设函数f x mx2 mx 1 1 若对于一切实数x f x 0恒成立 求m的取值范围 解答 要使mx2 mx 1 0恒成立 若m 0 显然 1 0 满足题意 4 m 0 2 对于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范围 解答 方法一要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 当m 0时 g x 在 1 3 上是增函数 g x max g 3 7m 6 0 当m 0时 6 0恒成立 当m 0时 g x 是减函数 g x max g 1 m 6 0 得m 6 m 0 方法二当x 1 3 时 f x m 5恒成立 即当x 1 3 时 m x2 x 1 6 0恒成立 反思与感悟 有关不等式恒成立求参数的取值范围 通常有两种处理方法 1 考虑能否进行参变量分离 若能 则构造关于变量的函数 转化为求函数的最大 小 值 从而建立参变量的不等式 2 若参变量不能分离 则应构造关于变量的函数 如一次函数 二次函数 并结合图像建立参变量的不等式求解 跟踪训练3当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 则m的取值范围是 构造函数f x x2 mx 4 x 1 2 则f x 在 1 2 上的最大值为f 1 或f 2 由于当x 1 2 时 不等式x2 mx 4 0恒成立 5 答案 解析 当堂训练 由题意 得 m2 4 0 2 m 2 1 若不等式x2 mx 1 0的解集为R 则实数m的取值范围是A m 2B m 2C m 2或m 2D 2 m 2 答案 解析 1 2 3 4 2 若产品的总成本y 万元 与产量x 台 之间的函数关系式是y 3000 20 x 0 1x2 0 x 240 若每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本 销售收入不小于总成本 时的最低产量是A 100台B 120台C 150台D 180台 1 2 3 4 y 25x 0 1x2 5x 3000 0 即x2 50 x 30000 0 解得x 150或x 200 舍去 答案 解析 3 解不等式 0 1 2 3 4 解答 原不等式可化为 1 2 3 4 穿针引线如图 由图知 解集为 1 2 1 2 3 4 4 解下列不等式 解答 解得x 1或x 2 原不等式的解集为 x x 1或x 2 1 2 3 4 解答 6x 4 4x 3 0 规律与方法 1 解分式不等式时 一定要等价变形为一边为零的形式 再化归为一元二次不等式 组 求解 当不等式含有等号时 分母不为零 2 对于有的恒成立问题 分离参数是一种行之有效的方法 这是因为将参数予以分离后 问题往往会转化为函数问题 从而得以迅速解决 当然这必须以参数容易分离作为前提 分离参数时 经常要用到下述