立体几何中折叠与展开问题(2).doc

立体几何中折叠与展开问题（2）祁东育贤中学 周友良【知识与方法】折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现。处理这类题型的关键是抓住两图的特征关系。折叠问题是立体几何的一类典型问题是实践能力与创新能力考查的好素材。解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，并弄清折叠前后哪些发生了变化，哪些没有发生变化。这些未变化的已知条件都是我们分析问题和解决问题的依据。而表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试。【认知训练】1.ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将ABC沿AD折成大小为的二面角B-AD-C，若，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（ ）A、锐角三角形 B、钝角三角形C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：ABCDEFMN点M到AB的距离为三棱锥CDNE的体积是 AB与EF所成角是 其中正确命题的序号是 3将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是 （ ）MNPQMP QNMNPQMNPQ A B C D4.正方形ABCD中，M为AD的中点，N为AB中点，沿CM、CN分别将三角形CDM和CBN折起，使CB与CD重合，设B点与D点重合于P，设T为PM的中点，则异面直线CT与PN所成的角为（ ）A,300 B,450 C,600 D,900 ) 5.（06山东卷）如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,DAB=60,E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则PDCE三棱锥的外接球的体积为(A) (B) (C) (D) 6.在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，C1CBA1ACB90，AC6，BCCC1，P是BC1上一动点，则CPPA1的最小值是_7.用一张正方形的包装纸把一个棱长为a的立方体完全包住，不能将正方形纸撕开，所需包装纸的最小面积为A. B C. D. 【能力训练】例1.点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点沿对角线把正方形折成直二面角DACB（）求的大小；（）求二面角的大小例2.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为，设这条最短路线与C1C的交点为N。求1) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；2) PC和NC的长；3) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐角）的大小（用反三角函数表示）ABCDGE例3.已知ABC的边长为3，D、E分别是边BC上的三等分点，沿AD、AE把ABC折成ADEF，使B、C两点重合于点F，且G是DE的中点（1）求证：DE平面AGF（2）求二面角ADEF的大小；（3）求点F到平面ADE的距离.例4（江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；图1图2（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）例5.（辽宁卷）已知正方形.、分别是、的中点,将沿折起,如图所示,记二面角的大小为.(I) 证明平面;(II)若为正三角形,试判断点在平面内的射影是否在直线上,证明你的结论,并求角的余弦值. AACBDEFBCDEF【达成测试】1.长方形中，AB=BC,把它折成正三棱柱的侧面，使AD与BC重合，长方形的对角线AC与折痕线EF、GH分别交于M、N,则截面MNA与棱柱的底面DFH所成的角等于( )A30o B45o C60o D90o2如图999是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，ABC的值为（）图999A180 B120C45 D603.如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点， G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将ABC 沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度 数为 （）A90B60C45D04.如图9100表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有_对图9100 图9101【分析】平面图形的翻折应注意翻折前后各元素相对位置的变化，AB、CD、EF和GH在原正方体中如图9101有AB与CD、EF与GH、AB和GH三对异面直线5.如下图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_(要求：把你认为正确图形的序号都填上) 6.设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DEAB于E(如图)现将ADE沿DE折起，使二面角ADEB为45，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线与AE所成角的大小等于_6.解：如左图,在平面AED内作MQAE交ED于Q,则MQED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQED且QNEB,QN=EB,MQN为二面角ADEB的平面角,MQN=45AB平面BCDE,又AEB=MQN=45,MQ=AE=EB,在平面MQN内作MPBQ,得QP=MP=EB,故PB=QP=EB,故QMN是以QMN为直角的等腰三角形,即MNQM,也即MN子AE所成角大小等于90 7.如图，已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为.8.如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，（）证明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小。ABCDOO1ABOCO1D9. 如图4，在正三棱锥ABCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，E、F分别为AC、AD上的动点，求截面BEF的周长的最小值，以及此时E、F的位置。10.如图：在直角三角形ABC中，已知AB=a，ACB=30o，B=90o,D为AC的中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将ABD沿BD折起，二面角A-BD-C的大小记为。求证：平面AEF平面BCD； 为何值时ABCD？ 在的条件下，求点C到平面ABD的距离。EEABA“FDCBFCD折叠与展开问题参考答案【认知训练】1. 答案：C点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。2. 答案:，把所给平面图复原成NACFEBDM3.C4. 取AN的中点S，则PN2+PT2=TS2+SN2=TN2PNPT，又PNPCPN平面CMP，选D5.解：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，选C6.解：连A1B，沿BC1将CBC1展开与A1BC1在同一个平面内，如图所示，连A1C，则A1C的长度就是所求的最小值。通过计算可得A1C1C90又BC1C45，A1C1C135 由余弦定理可求得A1C7.试题背景：本题与以往把立体图简单地展开为平面图是不一样的，因为正方形的纸不能撕开来。此题情境新颖，具有较高的探索价值，类似于2002年文史类最后一道高考附加题。解析：将正方形纸如图划分，其中BC=2AB=2CD，用标III的部分作下底面，标II的部分作四个侧面，标I的部分正好盖住立方体的上底面。由题意知，标I的部分正好盖住立方体的上底面。由题意知，标II的正方形的边长为a，所以正方形纸的边长为，面积为。故选B。评析：新世纪的高考试题的新颖性越来越明显，能力要求也越来越高，并且也越来越广泛。要在“创新”的大环境下来面对高考，我们应把握好平时的一些新颖试题，充分挖掘其立意，举一反三，广泛联系，以适应新课程的理念及新时代的高考。【能力训练】例1.解法一：（）如图，过点E作EGAC，垂足为G，过点F作FHAC，垂足为H，则，GHMABCDEFODCMHGOFABE因为二面角DACB为直二面角， 又在中， （）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM二面角DACB为直二面角，平面DAC平面BAC，交线为AC，又EGAC，EG平面BACGMOF，由三垂线定理，得EMOF就是二面角的平面角在RtEGM中，所以，二面角的大小为xyzABCDEFO解法二：（）建立如图所示的直角坐标系Oxyz， 则，（）设平面OEF的法向量为由得解得所以，又因为平面AOF的法向量为， 所以，二面角的大小为例2.正解：正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为如图1，将侧面BC1旋转使其与侧面AC1在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。设PC，则P1C，在连接PP1（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH于H，又CC1平面ABC，连结CH，由三垂线定理得，。例3.（1）证：由题知AD=AE，DG=GE DEAG 又DF=EF，DG=GEAEGDFHDEFG 又AGFG=GDE平面AGF（2）由（1）得EAG，DEFG AGF为二面角ADEF的平面角在AGF中，AF=3，AG=，FG=（3）过点F作FHAG于H，由（1）得 DE平面AEFFH面AGF DEFH又AGFH AG面ADE DE面ADE FH平面ADEFH的长就是点F到平面ADE的距离在RtFGH中，FH=GFsinFHG=点F到平面ADE的距离为评注：折叠问题是考查学生空间想象能力的较好载体。如本题，不仅要求学生象解常规立几综合题一样懂得线面垂直的判定方法，二面角平面角的作法以及点面距的求法，还要正确画出正三角形ABC沿特定边折叠而成的空间图形，更要识得折前折后有关线线、线面位置的变化情况以及有关量（边长与角）的变化情况，否则无法正确解题。这正是折叠问题的价值所在。例4解法一：不妨设正三角形ABC的边长为3（1） 在图1中，取BE中点D，连结DF. AE：EB=CF：FA=1：2AF=AD=2而A=600 , ADF是正三角形，又AE=DE=1, EFAD在图2中，A1EEF, BEEF, A1EB为二面角A1EFB的平面角。由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE,又A1E平面BEF,即 A1E平面BEP（2） 在图2中，A1E不垂直A1B, A1E是平面A1BP的垂线，又A1E平面BEP，A1EBE.从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q,且A1Q交BP于点Q,则E1AQ就是A1E与平面A1BP所成的角,且BPA1Q.在EBP中, BE=EP=2而EBP=600 , EBP是等边三角形.又 A1E平面BEP , A1B=A1P, Q为BP的中点,且,又 A1E=1,在RtA1EQ中，,EA1Q=60o, 直线A1E与平面A1BP所成的角为600在图3中，过F作FM A1P与M，连结QM,QF,CP=CF=1, C=600,FCP是正三角形，PF=1.有PF=PQ,A1E平面BEP, A1E=A1Q, A1FPA1QP从而A1PF=A1PQ, 由及MP为公共边知FMPQMP, QMP=FMP=90o,且MF=MQ,从而FMQ为二面角BA1PF的平面角. 在RtA1QP中,A1Q=A1F=2,PQ=1,又. MQA1P在FCQ中,FC=1,QC=2, C=600,由余弦定理得在FMQ中，二面角BA1PF的大小为解法二:（1）作面于,连、,则四边形是正方形,且,以为原点,以为轴,为轴建立空间直角坐标系如图,则(2)设平面的法向量为则由知:;同理由知:可取同理,可求得平面的一个法向量为由图可以看出,三面角的大小应等于则,即所求二面角的大小是.(3)设是线段上一点,则平面的一个法向量为要使与面成角,由图可知与的夹角为,所以则,解得,则故线段上存在点,且,时与面成角.【解后反思】在立体几何学习中,我们要多培养空间想象能力, 对于图形的翻折问题,关健是利用翻折前后的不变量,二面角的平面角的适当选取是立体几何的核心考点之一.是高考数学必考的知识点之一.作,证,解,是我们求二面角的三步骤.作:作出所要求的二面角,证:证明这是我们所求二面角,并将这个二面角进行平面化,置于一个三角形中,最好是直角三角形,利用我们解三角形的知识求二面角的平面角.向量的运用也为我们拓宽了解决立体几何问题的角度,不过在向量运用过程中,要首先要建系,建系要建得合理,最好依托题目的图形,坐标才会容易求得.例5.【解析】(I)证明:EF分别为正方形ABCD得边AB、CD的中点,EB/FD,且EB=FD,四边形EBFD为平行四边形.BF/ED平面.(II)解法1:如右图,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过点A作AG垂直于平面BCDE,垂足为G,连结GC,GD.ACD为正三角形,AC=ADCG=GDG在CD的垂直平分线上,点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上,过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即，设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, ，.解法2:点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上，连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点,又因,所以又且为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即，设原正方体的边长为2a,连结AF在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, .解法3: 点A在平面BCDE内的射影G在直线EF上连结AF,在平面AEF内过点作,垂足为.ACD为正三角形,F为CD的中点,又因,所以又为A在平面BCDE内的射影G.即点A在平面BCDE内的射影在直线EF上过G作GH垂直于ED于H,连结AH,则,所以为二面角A-DE-C的平面角.即设原正方体的边长为2a,连结AF，在折后图的AEF中,AF=,EF=2AE=2a,即AEF为直角三角形, 在RtADE中, ,.【点评】本小题考查空间中的线面关系,解三角形等基础知识考查空间想象能力和思维能力.【达成测试】1.解：不妨设BC=3,则AE=EG=GB=,EM=1,GN=2,延长NM与GE的延长线交与点H,连AH.EM=GN,GE=EH,NM=MH, 又AE=GE ,AE=GE=EH,故GAAH.又由题可知AM=MN,AM=MN=MH,NAAH,GAN即为面AMN与面DHF所成的角，tan= 。 故=30o ,故选A。2.【答案】D3.B4.35. 6. 6.解：如图,在平面AED内作MQAE交ED于Q,则MQED,且Q为ED的中点,连结QN,则NQED且QNEB,QN=EB,MQN为二面角ADEB的平面角,MQN=45AB平面BCDE,又AEB=MQN=45,MQ=AE=EB,在平面MQN内作MPBQ,得QP=MP=EB,故PB=QP=EB,故QMN是以QMN为直角的等腰三角形,即MNQM,也即MN子AE所成角大小等于907. 解：将正三棱柱沿侧棱CC1展开，其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结论为10。ABOCO1Dxyz8.解法一（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）图3O1（0，0，）.从而所以ACBO1. （II）解：因为所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由 得. 设二面角OACO1的大小为，由、的方向可知，ABOCO1D所以cos，=即二面角OACO1的大小是解法二（I）证明 由题设知OAOO1，OBOO1， 所以AOB是所折成的直二