南通中学数学高考复习100练51-100答案.doc

49 G F HE D C B A 51 直观图与平面的性质 1 4 2 3 4 AC 5 6 3 7 8 或 9 ODBDABOB 2 4 10 11 提示 设等腰直角三角形的腰在正三棱柱的侧棱的落差为 则三 2 6 16 a2 3x 角形的腰长为 斜边长为 由勾股定理得 解得 斜 2 4x 2 44x 22 2 4 44xx 2 2x 边长为 12 提示 两组相对侧面分别平行 一组相对侧面平行且全等 对角线交于一点 底面是2 3 平行四边形等中任取两个 13 1 2 证明 平面 平面 PAB AB ABCP ABC 平面 平面 RAC AC ABCR ABC 又 PR 由公理 2 得 平面 ABCPR 平面 平面 QBC BC ABCQ ABC 又 点在平面与平面的交线上 即 Q QABC QPR 三点共线 P Q R 52 空间两条直线的位置关系 1 1 或 3 个 2 异面或相交 3 梯形 4 5 6 正方 7 8 9 5 提示 根据异面直线的判定定理判断符合要求的棱为 BC CD 11 C D 1 BB 1 AA共 5 条 10 20 11 无数 提示 过任作一个平面与直线相交 连结这两个交点的直线必与三条直线都 11 ADEFCD 相交 12 提示 放在正方体中研究 显然 线段 OO1 EF FG GH HE 的中点到两垂直异面直线 AB CD 的距离都相等 所以排除 选 亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线 AB CD 的 距离相等 13 1 E F 分别为 AB BC 的中点 EF AC 且 EF AC 2 1 同理 HG AC 且 HG AC EF 与 HG 平行且相等 2 1 EFGH 是平行四边形 又 F G 分别为 BC CD 的中点 FG BD EFG 是异面直线 AC 与 BD 所成的角 AC BD EFG 90o EFGH 是矩形 A B C 50 2 取中点 连结 所以BDI EI GI EG 1 2 EGEIGIADBC 分别是的中点 E G AB CD EIAD GIBC 且 1212 2222 EIADGIBC 异面直线所成的角即为所成的角 AD BC EI GI 在中 EGI 222 EGGIEI 异面直线所成的角为 90EIG AD BC90 异面直线垂直 AD BC 53 直线与平面的位置关系 一 1 平行 异面或相交 2 3 3 4 5 6 7 8 9 平行 提示 同理 所以 10 对于 均 a aac c bc ab 可能出现 l 而对于 是正确的 11 垂 提示 如图 由得 从而 由 PAPB PAPC PAPBC 平面PABC 得 所以 即 同理 所PHABC 平面PHBC BCPAH 平面BCAH ABCH 以是垂心 HABC 12 2 6 03 3 2 6 4 2 32 3 3 xx y xx 提示 设的中点为 在菱形中利用相似形处理 11 AACC EF 1 BED F 13 证明 1 取的中点 连 PDQAQNQ 是的中点 MN ABPC QNDCAM 1 2 QNDCAM 四边形为平行四边形 AMNQ MNAQ MNPAD AQPAD 平面平面 MNPAD平面 2 PAABCD 平面PACD CDAD PAADA CDPAD 平面CDAQ MNAQ MNCD 3 在中 Rt PAD 45PDA AQPD AQCD PDCDD AQPCD 平面 MNAQ MNPCD 平面 54 直线与平面的位置关系 二 1 平行或相交 2 异面垂直 或写成垂直但不相交 B C A D E I G 51 3 4 3 5 6 8 7 3 8 9 平行 10 提示 过点 A 作平面 的垂线 3 4 垂足为 C 在 内过 C 作 l 的垂线 垂足为 D 连结 AD 有三垂线定理可知 AD l 故 ADC 为二面角的平面角 为 60 又由已知 l ABD 30 连结 CB 则 ABC 为与平面所成的角 设 AD 2 则 AC CD 1 AB AB 3 4 0 sin30 AD sin ABC 3 4 AC AB 11 由PQ AC QM BD PQ QM可得AC BD 故 正确 由PQ AC可得 AC 截面PQMN 故 正确 异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角 故 正确 综上 C是错误的 12 0 62 提示 根据条件 四根长为 2 的直铁条与两根长为 a 的直铁条要 组成三棱镜形的铁架 有以下两种情况 1 地面是边长为 2 的正三角形 三条侧棱长为 2 a a 如图 此时 a 可以取最大值 可知 AD 3 SD 2 1a 则有 2 1a 2 3 即 22 84 3 62 a 即有 a0 综上分析可知 a 0 62 13 证明 1 连结 设连结 11 AC 11111 ACB DO 1 AO 是正方体 是平行四边形 且 1111 ABCDABC D 11 A ACC 11 ACAC A 11 ACAC 又分别是的中点 且 是平行四边形 1 O O 11 AC AC 11 OCAO A 11 OCAO 11 AOC O 面 面 面 111 C OAO AO A 11 AB D 1 C O 11 AB D 1 C OA 11 AB D 2 面 又 1 CC 1111 ABC D 11 CCB D 1111 ACB D 1111 B DACC 面 同理可证 又面 111 ACB D 即 11 ACAB 1111 D BABB 1 AC 11 AB D 55 平面与平面的位置关系 1 平行或异面 2 3 4 5 平行或相交 6 7 5 平面平面 平面平面 平面平面 平面PAB ABCDPAD ABCDPAB PAD PCD 平面 平面平面 8 i ii PADPBC PAB 9 必要不充分 提示由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线 m 则 反 过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 10 11 或 提示 要使平面平面 只要平面 MDPC MBPC MDB PCDPC MDB A B C D 52 12 1 1 2 提示 此题的破解可采用二个极端位置法 即对于 F 位于 DC 的中点时 1t 随着 F 点到 C 点时 因 CBAB CBDKCB 平面ADB 即有CBBD 对于 2 1 3CDBCBD 又1 2ADAB 因此有ADBD 则有 1 2 t 因此t的取值范围是1 1 2 13 1 证明 PCBC PCAB ABBCB PCABC 平面 平面平面 PCPAC 平面 PAC ABC 2 解 平面平面 PEFAMBPEF 平面平面 PMBCPE ABM 平面平面PMBCBM PEMB 是中点 2 1BCPM PMBCE BC 同理可证 是中点 EFABF AC 56 柱 锥 台 球的表面积与体积 1 96 2 1 8 3 24 4 5 6 4 提示 由已知 球O的直径为22RSC 2 3 9 7 2 表面积为 2 44 R 7 4 提示 设球半径为 r 则由可得3VVV 想想想 3 解得 r 4 8 2 3 提示 由题意知 以正方体各个面的中心为顶点的凸多面 322 4 86 3 rrrr 体为正八面体 即两个同底同高同棱长的正四棱锥 所有棱长均为 1 其中每个正四棱锥的高均为 2 2 故正八面体的体积为 2 122 2 21 323 VV 正四棱锥 9 2 1 提示 由于 G 是 PB 的中点 故 P GAC 的体积等于 B GAC 的体积 在底面正六边形 ABCDER 中 BH ABtan30 3 3 AB 而 BD 3AB 故 DH 2BH 于是 VD GAC 2VB GAC 2VP GAC 10 6 1 11 可证 11 ACD DBBACBE 平面 从而故 正确 由 11D B 平面 ABCD 可知 EFABCD平面 也正确 连结 BD 交 AC 于 O 则 AO 为三棱锥ABEF 的高 4 1 1 2 1 2 1 BEF S 三棱锥ABEF 的体积为 24 2 2 2 4 1 3 1 为定值 正确 故 错误 12 提示 容器内水的体积等于正四棱锥体积的 2 倍 13 1 证明 因为 PD 平面 ABCD BC 平面 ABCD 所以 PD BC 由 BCD 900 得 CD BC 又 PD DC D PD DC 平面 PCD 所以 BC 平面 PCD 因为 PC 平面 PCD 故 PC BC 2 方法一 分别取 AB PC 的中点 E F 连 DE DF 则 易证 DE CB DE 平面 PBC 点 D E 到平面 PBC 的距离相等 又点 A 到平面 PBC 的距离等于 E 到平面 PBC 的距离的 2 倍 由 1 知 BC 平面 PCD 所以平面 PBC 平面 PCD 于 PC 因为 PD DC PF FC 所以 DF PC 所以 DF 平面 PBC 于 F 易知 DF 2 2 故点 A 到平面 PBC 的距离等于 2 方法二 体积法 连结 AC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h A B C DE F H 53 因为 AB DC BCD 900 所以 ABC 900 从而 AB 2 BC 1 得ABC 的面积1 ABC S 由 PD 平面 ABCD 及 PD 1 得三棱锥 P ABC 的体积 11 33 ABC VSPD 因为 PD 平面 ABCD DC 平面 ABCD 所以 PD DC 又 PD DC 1 所以 22 2PCPDDC 由 PC BC BC 1 得PBC 的面积 2 2 PBC S 由 A PBCP ABC VV 11 33 PBC ShV A 得2h 故点 A 到平面 PBC 的距离等于2 57 空间直角坐标系 1 2 或 3 4 5 c 0 2 0 P 0 8 0 P 1 2 3 3 4 5 1 1 2 6 7 直角三角形 8 4 提示 设所求点的坐标为 由得 53 2 0 0 x 2 1 1 13x 同理可求轴上的点 但原点只能算一次 0 2xx 或yz 9 提示 3 5 5 2222 193 5 1 21 5225 555 ABttttt 10 0 1 0 提示 0 0 My由 222 141 3 1yy 可得1y 故 0 1 0 M 11 提示 该点坐标为 到原点的距离是 12 6 2 222 222 6 2 3 13 解 1 取中点 连 是以为直角顶点的ACOOBOP ABC B 等腰直角三角形 在底面2 2ABBC 2 OAOBOCOBAC 且PAPBPC P 上的射影是的外心 即 且 以为坐标ABCABC POABC 平面 22 5POPAOA O 原点 所在直线分别为轴建立如图所示的坐标系 可得OBOCOP xyz 2 的中点 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 5 ABCP ABPC 5 1 1 0 0 1 2 MN 所以 222 55 12 22 MN 54 58 立体几何综合训练 1 正六边形 提示 边长是正方体棱长的倍的正六边形 2 必要不充分 提示 由平面与平面垂直 2 2 的判定定理知如果m为平面 内的一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要 不充分条件 3 提示 不相交的直线a b的位置有两种 平行或异面 当a b异面时 不存在 平面 满足 又只有当a b时 才成立 4 相交 提示 直线AB与直线外一点E确定的平面 为A1BCD1 EF 平面A1BCD1 且两直线不平行 故两直线相交 5 M FH 6 36 提示 四面体 A B1CD1的外接球即为正方体的外接球 所以 2r r 3 V球 r3 27 36 3 2 r 3 2 4 3 4 3 7 7 8 7 提示 9 10 3 84 7Srr lr 侧面积 11 提示 四面体 ABCD 的外接球一定是以为直径的球 与四面体 ABCD 的体积无关 25 AC 12 8 提示 设 AC a CC1 b 则由 BC12 BC2 CC12 BC12 DC12 DB2 即得 a2 b2 3 1 4 2 a2 b2 得 b2 2a2 又 a2 6 a2 8 V 8 4 8 1 2 3 2 3 4 3 13 证明 1 法一 取 A1B1的中点为 F1 连结 FF1 C1F1 由于 FF1 BB1 CC1 所以 F1 平面 FCC1 因此平面 FCC1即为平面 C1CFF1 连结 A1D F1C 由于 A1F1綊 D1C1綊 CD 所以四边形 A1DCF1为平行四边形 因此 A1D F1C 又 EE1 A1D 得 EE1 F1C 而 EE1 平面 FCC1 F1C 平面 FCC1 故 EE1 平面 FCC1 法二 因为 F 为 AB 的中点 CD 2 AB 4 AB CD 所以 CD 綊 AF 因此四边形 AFCD 为平行四边形 所以 AD FC 又 CC1 DD1 FC CC1 C FC 平面 FCC1 CC1 平面 FCC1 AD DD1 D AD 平面 ADD1A1 DD1 平面 ADD1A1 所以平面 ADD1A1 平面 FCC1 又 EE1 平面 ADD1A1 所以 EE1 平面 FCC1 2 连结 AC 在 FBC 中 FC BC FB 又 F 为 AB 的中点 所以 AF FC FB 因此 ACB 90 即 AC BC 又 AC CC1 且 CC1 BC C 所以 AC 平面 BB1C1C 而 AC 平面 D1AC 故平面 D1AC 平面 BB1C1C 3 用等体积法 解略 59 抽样方法 1 15 青年职工 中年职工 老年职工三层之比为 7 5 3 所以样本容量为 7 15 7 15 2 8 16 10 6 因为 故各层中依次抽取的人数分别是 401 80020 160 8 20 320 16 20 200 10 20 3 18 4 25 17 8 5 该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有 120 6 20 5 7 户 所以所占比例的合理估计是 5070 9900010005700 990100 5700 1000005 7 55 6 10 7 乙 8 9 10 11 40 12 nm N 1 2 50 1003 am m n p an m n p ap m n p 13 1 4 1 66 5 ii i X Y 4 22222 1 345686 i i X 4 5X 3 5Y 2 66 54 4 5 3 566 563 0 7 864 4 58681 b 3 50 7 4 50 35aYbX 所求的回归方程为 0 70 35yx 2 吨 预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前100 x 100 0 70 3570 35y 降低 吨 9070 3519 65 60 用样本估计总体 1 92 2 8 2 8 0 125 3 40 4 60 提示 设第一组至第六组数据的频率分别为 则2 3 4 6 4 xxxxx x 解得 所以前三组数据的频率分别是 故前234641xxxxxx 1 20 x 234 20 20 20 三组数据的频数之和等于 27 解得 n 60 5 0 030 3 6 37 20 提示 由分组可 234 202020 nnn 知 抽号的间隔为 5 又因为第 5 组抽出的号码为 22 所以第 6 组抽出的号码为 27 第 7 组抽出的号码为 32 第 8 组抽出的号码为 37 40 岁以下年龄段的职工数为200 0 5100 则应抽取的人数为 40 10020 200 人 7 8 30 提示 100 0 001 0 001 0 004 5 30 axbyczdw abcd 9 90 提示 产品净重小于 100 克的概率为 0 050 0 100 2 0 300 已知样本中产品净重小于 100 克的 个数是 36 设样本容量为n 则300 0 36 n 所以120 n 净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的 概率为 0 100 0 150 0 125 2 0 75 所以样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120 0 75 90 10 提示 考查统计中的平均值与方差的运算 甲班的方差较小 数据的平均值为 7 故方差 2 5 22222 2 67 00 87 02 55 s 11 4 12 提示 根据信息可知 连续 10 天内 每天 的新增疑似病例不能有超过 7 的数 选项 中 中位数为 4 可能存在大于 7 的数 同理 在选项 中也有 可能 选项 中的总体方差大于 0 叙述不明确 如果数目太大 也有可能存在大于 7 的数 选项 中 根 据方差公式 如果有大于 7 的数存在 那么方差不会为 3 故答案选 13 图 1 注射药物 A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A 后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间 而注射药物 B 后的疱疹面积的中位数在 56 A B CD E F 70 至 75 之间 所以注射药物 A 后疱疹面积的中位数小于注射药物 B 后疱疹面积的中位数 61 三随机事件的概率 1 2 3 3 4 4 2000 5 6 解析 填 1 3 题中三张卡片随机地排成一行 共有三 0 1 1 5 种情况 BEE EBE EEB 概率为 1 3 7 8 每人拿一张 有基本事件 4 3 2 1 24 种 不 7 10 拿自己写的那张有 3 3 1 9 种 概率为 9 解 设总体中的个体数为x 则 101 120 12 x x 3 8 10 11 12 提示提示 基本事件 6 6 36 个 心有灵犀 包含相等的 6 个 差 1 的 10 个 故 1 2 1 4 P A 13 解 先后掷一枚形状为正方体的骰子出现点数向上有 36 种等可能事件 向上 164 369 的点数不相等的情况有 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 2 1 2 3 2 4 2 5 2 6 3 1 3 2 3 4 3 5 3 6 4 1 4 2 4 3 4 5 4 6 5 1 5 2 5 3 5 4 5 6 6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 共 30 个基本事 件 故所求概率为 满足 6 的情况有 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 1 p 30 36 5 6 xy 2 2 2 3 3 1 3 2 4 1 共 10 个基本事件 故所求概率为 2 p 10 36 5 18 62 古典概型 1 1 5 2 2 次都不中靶 3 解析 由 25 16 1 2 p得 5 3 p 4 5 0 2 提示 考查等 3 5 可能事件的概率知识 从 5 根竹竿中一次随机抽取 2 根的可能的事件总数为 10 它们的长度恰好相差 0 3m 的事件数为 2 分别是 2 5 和 2 8 2 6 和 2 9 所求概率为 0 2 6 0 7 7 5 18 解析 正方 形四个顶点可以确定 6 条直线 甲乙各自任选一条共有 36 个基本事件 两条直线相互垂直的情况有 5 种 4 组邻边和对角线 包括 10 个基本事件 所以概率等于 5 18 方法技巧 对于几何中的概率问题 关键是正确作出几何图形 分类得出基本 事件数 然后得所求事件保护的基本事件数 进而利用概率公式求概率 8 0 75 提示 依据四条边长 可得满足条件的三角形有三种情况 2 3 4 或 3 4 5 或 2 4 5 故 3 4 33 4 P C 0 75 9 0 24 0 76 提示 三人均达标为 0 8 0 6 0 5 0 24 三人中至少有一人达标为 1 0 24 0 76 10 0 03 11 提示 所有事件数为 和为偶数的事件有 3 个全是偶数 2 个奇数 1 个偶数共有 11 21 9 8 7 84 3 2 57 4 40 44 12 4 75 提示 如图 甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线 乙也从这 6 个点中任意 选两个点连成直线 共有 22 66 15 15225CC 种不同取法 其中所得的两条直线相互平行但不重合 有 ACDB ADCB AEBF AFBE CEFD CFED 共 12 对 所以所求概率为 124 22575 p 13 基本事件总数为 25 要此函数为一次函数 则 a 只能取 0 b 共有 4 种取值 故为一次0b 2 yaxbxc 函数的概率为 要此函数为二次函数 则 a 有 4 种取值 b 共有 5 种取值 故有种取法 4 25 5 420 则为二次函数的概率为 2 yaxbxc 4 5 63 几何概型 1 2 3 4 5 解析 P x 1 27 201 8 3 4 1 200 2 3 1 1 2 2 1 3 命题意图 本题考察几何概率 属容易题 6 2 3 提示 如图可设1AB 则1AB 根据几何概率可知其整体事件是 其周长3 则其概率是 2 3 7 1 4 提示 长方形面积为 2 以 O 为圆心 1 为半径作圆 在矩形内部 的部分 半圆 面积为 2 因此取到的点到 O 的距离小于 1 的概率为 2 2 4 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为1 4 8 9 提示 区域 D 为圆面 区域 d 为直线与 4 4 6 34 12 1x 直线之间的部分即由矩形与两个弓形构成 10 3 1 提示 在区间 1 1 上随机取一个数 x 即1x 1 1 x 时 要使cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间 需使 223 x 或 322 x 2 1 3 x 或 2 1 3 x 区间长度为 3 2 由几何概型知cos 2 x 的值介于 0 到 2 1 之间的概率为 3 1 2 3 2 11 提示 硬币的圆心落在连长为 1 的正方形内 12 13 点 m n 所在的 1 916 58 区域 D 为边长为 1 的正方形 关于 x 的一元二次方程有实数根的条件是 2 0 xnxm 40nm 所以在区域 D 内且满足条件的点 m n 所在的面积为 则所求的概率是 1 8 1 8 64 统计概率综合运用 1 1 3 2 13 3 60 4 0 4 解析 由表格可知 0 10 39 780 190 3108 9xyxy 联合解得0 4y 5 0 128 解析 由题意知 所求概率为 2 42 5 C0 80 2 0 128 6 7 3 51 解析 考查等可能事件概率 2 10 5 抽出的 2 张均为红桃 的概率为 51 3 2 52 2 13 C C 8 9 14 5 7 2 3 解析 该地拥有 3 套或 3 套以上住房的家庭可以估计有 5070 9900010005700 990100 户 所以所 占比例的合理估计是5700 1000005 7 10 解析 记两个零件中恰好有一个一等品的事件为 A 则 P A P A1 P A2 5 12 211 3 35 43412 11 12 0 5 1 0 6 1 0 5 0 6P 0 20 30 5 1 1 0 5 1 0 6 0 8P 8 39 13 1 设该厂本月生产轿车为 n 辆 由题意得 5010 100300n 所以 n 2000 z 2000 100 300 150 450 600 400 2 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车 因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的 样本 所以 400 10005 m 解得 m 2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车 3 辆标准型轿车 分别记作 S1 S2 B1 B2 B3 则 从中任取 2 辆的所有基本事件为 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 B1 B2 B2 B3 B1 B3 共 10 个 其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基本事件 S1 B1 S1 B2 S1 B3 S2 B1 S2 B2 S2 B3 S1 S2 所以从中任取 2 辆 至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 7 10 3 样本的平均数为 1 9 48 69 29 68 79 39 08 2 9 8 x 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的数 为 9 4 8 6 9 2 8 7 9 3 9 0 这 6 个数 总的个数为 8 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0 5 的概率为 75 0 8 6 65 合情推理与演绎推理 42 41 123 2 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直 则这两个二面角相等或互补 答案不唯 59 一 假命题 3 4 四面体的三个侧面互相垂直 且与底面所成的角分别是 1 2 2 n n nf 则 5 大前提是错误的 6 3 1coscoscos 222 2 2 5 12 2 15 Nkkn n Nkkn n n S 7 8 答案 方法一 猜想 q 4 n 113135 1 16 81 SSSSSS 4 1321n SSSn 方法二 先求出 然后求和 对文科学生要求较高 不必介绍 9 2 21 21 221 n Snnn 提示 设 00 22 1 x xy y ab 111 P x y 222 P xy 则过 P1 P2的切线方程分别是 因为在这两 000 P xy 11 22 1 x xy y ab 22 22 1 x xy y ab 000 P xy 条切线上 故有 这说明 在直线上 故 1010 22 1 x xy y ab 2020 22 1 x xy y ab 111 P x y 222 P xy 00 22 1 x xy y ab 切点弦 P1P2的直线方程是 10 00 22 1 x xy y ab sin 11 12 10 1 1 2 36 nn 提示 当 n 3 时 如图所示分别设各顶点的数用小写 4 1 3 i i V iH k 字母表示 即由条件知 121212 1 abcxxab yybc zzca 121212122112 2 2 2xxyyzzabcgxyxzyz 121212 62 2gxxyyzzabc 即 121212 11110 3 1 3233 gfabcxxyyzzg 而 进一步可求得 4 5f 由上知 1 f中有三个数 2 f中 有 6 个数 3 f中共有 10 个数相加 4 f中有 15 个数相加 若 1 f n 中有 1 1 n an 个数相加 可得 f n中有 1 1 n an 个 数相加 且由 363331045 1 1 2 1 3 2 4 5 3 3333333 fffffff 可得 1 1 3 n f nf n 所以 11113 1 2 1 3333333 nnnnnn f nf nf nf 113211 1 2 3333336 nnn nn 60 13 猜想 证明 2200 3 sincos 30 sincos 30 4 000 2200 1 cos21 cos 602 sin 302 sin30 sincos 30 sincos 30 222 0 0 cos 602 cos211 1 sin 302 222 00 0 2sin 302 sin3011 1 sin 302 222 00 3113 sin 302 sin 302 4224 66 直接证明与间接证明 三个方程中都没有两个相异实根 2 假设三内角都大于 60 度 3 18 18 4 7 5 0 6 35 7 答案不唯一 如 8 5 9 0 故 z 为纯虚数 设 z yi y 则 y a yi i 0 故 y2 y R 1 0 y z 9 提示 设 z log2 m2 3m 3 i log2 m 3 2 4 2 aa i aa 2 4 2 15 m R 若 z 对应点在直线 x 2y 1 0 上 则 log2 m2 3m 3 2 log2 m 3 1 0 故 2 m2 3m 3 m 3 2 61 m 或 m 不适合 10 z i 提示 原方程化简为 1515 2 1 2 3 iizzz 1 2 设 z x yi x y R 代入上述方程得 x2 y2 2xi 1 i x2 y2 1 且 2x 1 解得 x 且 y 原方程 2 1 2 3 的解是 z i 11 提示 提示 而 即 2 1 2 3 51 z1 2 az20 a 12 x 1 y 2511 2 a51 z 解析 考查复数的乘法运算 可采用展开计算的方法 得 2 1 xix iy 没有虚部 x 1 y 2 13 解 由题意得 z1 2 3i 于是 i i 1 51 21 zz ia24 得 a2 8a 7 0 解得 1 a 7 4 4 2 a 1 z134 4 2 a13 68 推理与证明 复数综合训练 4 2 i 12 1 3 1 3 1 1 3 1 42zziiii 2 1 3 1 4 tan5 tan 20 tan 20 tan 60 tan 60 tan 5 1 5 6 7 正方形的 1 34n 414 1 n 对角线相等 8 9 10 提示 利用复数相等 mnnm a ba b n n ccc 21 122zii 或 的条件列方程组 11 提示 因为为实数 所以故 1 6 22 2 mni nmimnnm i 22 nm 则可以取 1 26 共 6 种可能 所以 mn 61 666 P 12 13 412 i 解析 33 3313 391241233 iiii i i 13 aa证明 假设不是偶数 则是奇数 222 21 21 441annZannn 设 则 222 44441nnnna 是偶数 是奇数 即是奇数 2 a这与是偶数矛盾 a 假设不成立 是偶数 69 导数的概念及运算 1 2 2 125 3 4 m 1 n 2 5 2 0 3 或10 xy 6 由 21 1211 2 1 0 nn nn fxaa xnaxna xfa 则 62 7 sin sinfxxf 由得 8 解析解析 0 2 x yxaa 1a 0 b 在切线在切线 10 xy 1b 9 提示 32 yxaxab 由 0y 得 2 3 ab xa x 当xa 时 y取极大值 0 当 2 3 ab x 时y取极小值且极小值为负 故填 或当xb 时0y 当xb 时 0y 填 10 y 2x 3 11 解析 由题意 3 1 2 12 1 2 xx yeaxayex 整理得对此再求导易知单调递减 00 00 1 2 1 xx eaxaex 0 00 3 2 2 x a xx 0 1 单调递增 当时得 当时得 3 1 2 0 1x min 1a 0 0 x max 3 2 a 12 1 1n 提示 对 1 1 nn yxnNynx 求导得 令1x 得在点 1 1 处的切线的斜 率1kn 在点 1 1 处的切线方程为1 1 1 1 nn yk xnx 不妨设0y 1 n nn x 则 12 12311 23411 n nn xxx nnn 13 解 过 1 0 的直线 与 3 yx 相切于点 3 00 x x 所以切线方程为 32 000 3 yxxxx 即 23 00 32yx xx 又 1 0 在切线上 则 0 0 x 或 0 3 2 x 当 0 0 x 时 由0y 与 2 15 9 4 yaxx 相切可得 25 64 a 当 0 3 2 x 时 由 2727 44 yx 与 2 15 9 4 yaxx 相切得1a 1 或 25 64 70 导数在研究函数中的应用 1 解析 则此函数为奇函数 所以 2 2 3 42 fxaxbx 1 1 2ff 1 0 和 1 4 3 4 5 3 6 4 提示 由已知 1 2 g 而 1 0 e 1 0 3 ab 2fxg xx 所以 1 1 2 14fg 因为函数 yf x 的导函数 yfx 在 区间 a b上是增函数 即在区间 a b上各点处的斜率k是递增的 由图易知选 注意 中yk 为 常数 8 得减区间是 9 6 注 2 6 2 1 4 33 0fafaabfxx 可求得解所以 1 1 意 c 2 时 2 不是极值 10 1 记 63 由知是减函数 又 32 267f xxx 2 6126 2 0fxxxx x 0 2 f x 在 所以只有一个根 11 9 万件 解析 令导数 0 2 0ff 解得 令导数 解得 所以函数 2 810yx 09x 2 810yx 9x 在区间上是增函数 在区间上是减函数 所以在处取极 3 1 81234 3 yxx 0 9 9 9x 大值 也是最大值 12 小 1 提示 由 10 x fxe 知0 x 所以 0 x 时 0fx 当 0 x 时 0fx 所以 max 0 1 f xf 即 f x的值域是 1 而要使 k fxf x 在R上恒成立 结合条件分别取不同的K值 可得 K 取最小值为 1 时符合 此时 k fxf x 13 解 1 因为 f x x4 bx2 cx d 所以 h x f x x3 12x c 1 4 由题设 方程 h x 0 有三个互异的实根 考察函数 h x x3 12x c 则 h x 0 得 x 2 x 2 2 2 2 2 2 h x 0 0 h x 增c 16 极大值 减c 16 极小值 增 所以 故 16 c 16 即 x 2 2 x 4 0 在区间 m 2 m 2 上恒成立 所以 m 2 m 2 是不等式 解集的子集 所以或 m 2 2 即 2 m4 24 22 m m 71 导数的综合应用 1 2 3 17 3 2 15 提示 2 31022yxx 又点 P 在第10 xy 二象限内 2x 点 P 的坐标为 2 15 4 解析 3 4 2 44 1 21 2 x xx x x e y ee e e 1 2 10 x x ey e 即1tan0 3 4 5 1 6 1 11 提示 2 330333 11 1 fxxxxx 由 64 11 1 0 xx 得单调减区间为 1 11 亦可填写闭区间或半开半闭区间 7 1 1ab 8 解得后注意检验 前者不满足在处有极值 10 9 11 4 3 3 4 11abab 1 x 由 所以解得范围为 1 0 2 22 4 1 0 11 1 x fxx x 得 11 m 2m 1 1 0 10 0 提示 由题意该函数的定义域0 x 由 1 2fxax x 因为存在垂直于y轴的切线 故此时斜率为0 问题转化为0 x 范围内导函数 1 2fxax x 存在零点 解法 1 图像法 再 将之转化为 2g xax 与 1 h x x 存在交点 当0a 不符合题意 当0a 时 如图 1 数形结 合可得显然没有交点 当0a 如图 2 此时正好有一个交点 故有0a 应填 0 或是 0a a 解法 2 分离变量法 上述也可等价于方程 1 20ax x 在 0 内有解 显然可得 2 1 0 2 a x 11 4 若 x 0 则不论取何值 0 显然成立 当 x 0 即a f x 时 3 31f xaxx 0 可化为 设 则 0 1x 23 31 a xx 23 31 g x xx 所以 在区间上单调递增 在区间上单调递减 因此 4 3 1 2x gx x g x 1 0 2 1 1 2 从而 4 当 x0 为单调递增区间 最大值在右端点取到 max 1 1 2 ffa 72 算法 一 1 2 解析 24 12223133 输出 25 122263S 3 5 4 当 x 10 时 y 1 10 1 4 2 此时 y x 6 当 x 4 时 y 1 4 1 1 2 此时 y x 3 当 x 1 时 y 11 1 1 22 此时 y x 3 2 当 x 1 2 时 y 115 1 224 此时 y x 3 0 t 1 S t 0 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a2 则 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 11 0 a2 80 X 1 0 2 0 1 a 0 1 a 1 1 a 2 f x 0 0 f x A 极大值 A 极小值 A 当时 f x 0 等价于即 解不等式组得或 1 1 x 2 2 1 f 2 1 f 0 a 0 2 5 8 1 1 0 2 a a 0 2 5 2 a 因此 2 a 5 综合 1 和 2 可知 a 的取值范围为 0 a0 5a1 0 0 82 15a 0 0 28 f f 即 解不等式组得 5 a 5 因此 0a2 89 综合 14 1 4 2 3 60 4 5 6 必要而 0 6a a 或a 5 123453 b bb bbb 1 24 不充分 7 8 4 提示 当 P 在圆内距离圆心最远即为 P 1 3 时 AB 垂直于 2 2 2 0 OP 取最小值为 4 9 4 10 提示 由 522 PBAPBCAP 得 2 2 2 2 PBAPACPBAPAB AC5 11 提示 12 提示 过两点的直线方程为 3 4 1113 2 2244 P 22 4xy 即 所以圆方程为 sincos2 yxab 2 sin2 cos4 yxab 22 4xy 13 解 设 的方程为 11 A x y 22 B xy 11 D xy l1 0 xmym 将代人并整理得 1xmy 2 4yx 2 440ymy 从而 直线的方程为 1212 4 4 yym y y BD 21 22 21 yy yyxx xx 即 2 2 2 21 4 4 y yyx yy 81 令 所以点在直线上 12 0 1 4 y y yx 得 1 0 FBD 由 知 2 1212 1 1 42xxmymym 1212 1 1 1 x xmymy 因为 11 1 FAxy uu r 22 1 FBxy uur 2 12121212 1 1 1484FA FBxxy yx xxxm uu r uur 故 解得 2 8 84 9 m 4 3 m 所以 的方程 l3430 3430 xyxy 又由 知 2 21 4 4 4 47 3 yym 故直线 BD 的斜率 直线 BD 的方程为 21 43 7yy 3730 3730 xyxy 因为 KF 为 BKD 的平分线 故可设圆心 M t 0 1 t 1 M t 0 到 t 及 O 的距离分别为 由 得 t 或 t 9 舍去 3 1 3 1 54 tt 3 1 3 1 54 tt 1 9 故圆 M 的半径 r 所以圆 M 的方程为 3 1 2 53 t 22 14 99 xy 90 综合 15 1 2 2 5 3 4 1 5 6 13 23 33 43 53 1 2 3 4 5 2 或322 152 7 4 8 提示 由可得 解得或62sin 30AB 2 3 sin C 3 C 由是锐角三角形 可知 由韦达定理 因此 3 2 CABC 3 C2 32 abba 故 9 提示 6 2 3 412 cos1 2 cos2 2222 CabbaCabbac 6 c 1 2 2 n n 叠加得 分组求和得 1 1 2n nn aa 2 12 2n nn aa 21 2aa 21 n n a 10 962 提示 因为所以 1 2 2 n n Sn 1 22 3 82 5 322 7 1282 观察可得 所以 m n p 962 11 提示 由 9 2512m 400n 50p 7 2 得 令得 即 1 1 225 x x 121 22log 52 xx 1 272xt 2 522log 1 tt 2 tx 82 12 0 0 0f x g yg x f yg xy 13 解析 I 证明 由已知 MA 平面 ABCD PD MA 所以 PD 平面 ABCD 又 BC 平面 ABCD 因为 四边形 ABCD 为正方形 所以 PD BC 又 PD DC D 因此 BC 平面 PDC 在 PBC 中 因为 G 平分为 PC 的中点 所以 GF BC 因此 GF 平面 PDC 又 GF 平面 EFG 所以 平面 EFG 平面 PDC 解 因为 PD 平面 ABCD 四边形 ABCD 为正方形 不妨设 MA 1 则 PD AD 2 ABCD 所以 Vp ABCD 1 3S正方形 ABCD PD 8 3 由于 DA 面 MAB 的距离 所以 DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离 三棱锥 Vp MAB 1 3 1 2 1 2 2 2 3 所以 Vp MAB p ABCD 1 4 91 易错题 1 1 2 3 提示 12max xxfx 4 10 所以 cosB 1 2 故 B 60 因为 sin 1 3 cos2 mAnA 所以m n 3sinA cos2A 3sinA 1 2sin2A 2 sinA 3 4 2 17 8 由 00 0 00 090 60 090 A B C 得 00 000 090 012090 A A 所以 00 3090A 从而 1 sin 1 2 A 故m n 的取值范围是 17 2 8 13 解 I 由题意知 数列是等比数 1 0 1 0 1 1001a 2 0 3 0 1 1003a n a 列 公比 2 1 3 a q a 11 1 3 nn n aa q II 13 数列是等差数列 123 aaa 126123 100 87bbbaaa n b 设数列公差为 则得 n bd 1261 615bbbbd 84 87 1 615bd 27 41 ab 5 d nbn532 III 答 估计该校新生近视率为 91 1231234 0 91 100 aaabbbb 93 易错题 3 1 4 2 3 4 4 15 5 提示 n a有连续四项在集合4 14 2 9 9 54 24 18 36 81 四项24 36 54 81 成等比数列 公比为 3 2 q 6q 9 6 2010 7 提示 设圆心为 是直线上任意一点 则过点的切线长为 因此只要求 14 2 CPP 2 1PC 最小值 8 提示 设是函PC 22 222 xx h x 22 2 22 xx f x P x y 数图象上任意一点 则在函数的图象上 即 yh x 2 Q xy 2 yf x 22 222 xx y 化简得 9 6 10 提示 不等式 等价 22 222 xx y 31 a 2 xb 2 ax 于 它的解应在两根之间 故 因为 所以02 1 222 bbxxa 2 10a 10a 不等式的解集为 又由得 故10a 11 a b x a b ab 10 1 1 0 a b 即 由 且画出2 1 3 a b 3 1 2 a b ab 102 1 3 1 aba 平面区域可知 31 a 11 12 或 13 提示 最大 2 11 156 1562 156 n n a n n n 1213 aa 12 2 2 提示 如图 当2 m或2 m时 圆 面4 22 yx被分成 2 块 涂色方法有 20 种 当 22 m或22 m时 圆面4 22 yx被分 成 3 块 涂色方法有 60 种 当22 m时 圆面 x 2x 2 O y x x 2 x 2 y x 85 4 22 yx被分成 4 块 涂色方法有 120 种 所以m的取值范围是 2 2 13 解 1 易知 0 1 0 1 1 2 5 21 FFcba 设 P x y 则1 1 1 22 21 yxyxyxPFPF 3 5 1 1 5 4 4 222 xxx 5 5 x 0 x当 即点 P 为椭圆短轴端点时 21 PFPF 有最小值 3 当5 x 即点 P 为椭圆长轴端点时 21 PFP