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文档简介
矩阵分析在电路中的应用本人主要通简单的实例,进行浅显地说明矩阵在求解方程过程中的应用:第一,通过矩阵进行相容方程的求解;第二,通过矩阵进行不相容方程的求解;其中,在不相容方程的求解过程中,会涉及到广义逆矩阵、伪逆矩阵以及矩阵的满秩分解。在具有实际物理背景下的有关方程组能够通过矩阵的理论知识,得到、高效地求解。一、 矩阵在相容方程求解中的应用已知n元线性方程组如下表示:其矩阵的表达形式如下:矩阵A可记为如果矩阵A满秩,且非矛盾方程,则可以通过消元法计算出每个未知量。见如下示例:例1设桥式电路中闭合回路的电流分别为,如图2所示:图2已知,计算流过中央支路的电流.解:由基尔霍夫第二定律(电压定律)得如下方程组:即同样计算如下几个行列式 所以从而,流过中央支路的电流为.即电流是从流向的.二、 矩阵在不相容方程组求解中的应用但是在实际问题中,会出现A不满秩,需要根据实际情况补充相关的方程,使得方程封闭;同时,在求解的实际问题当中,可能会出现矛盾方程,因为这些系数不是通过理论的推导得到,而是经过数值的计算或是实验的测量,往往不是精确解。如何才能得到满足精度要求,且得到最优的解。这就用到矩阵的广义逆相关理论知识。 若线性方程组,对于任意m维向量,有使解成立的存在时,便称为矩阵的广义逆矩阵。广义逆矩阵应满足。 设n维向量满足对于任何一个n维向量x,都有便称是方程组的一个最小二乘解。 是方程组的最小二乘解,其中广义逆矩阵还需满足Penrose-Moore方程(1)、(3)。即满足、。有了广义逆便可以得到矛盾方程的最小二乘解,也就是可以得到一组近似解,该近似解带入原方程后,与方程右端b向量的误差最小。通过广义逆,可以求解矛盾方程,但是对于一个确定的矩阵(对应一个方程组)有着多个符合上述条件的广义逆矩阵,这样带来新的问题便是如何在这多组最小二乘解中确定一组最优解。矩阵分析给出了最佳最小二乘解,也就是所有最小二乘解中,解向量模长最小的一组解。,则u为最佳最小二乘解。在求解最佳最小二乘解时,需要系数矩阵A的伪逆矩阵。伪逆矩阵是唯一的,这也对应着最佳最小二乘解唯一性。把满足Penrose-Moore 4个方程的矩阵定义为伪逆矩阵。伪逆矩阵的求法一般通过矩阵A的满秩分解A=BC,得到矩阵B、C,然后以某一算法求得对应的伪逆矩阵,一般通过=得到伪逆矩阵。通过一个示例给出矩阵的满秩分解方法,例2求矩阵的满秩分解。 解:对矩阵A只做初等行变换注意将矩阵化为阶梯型矩阵,且每行首元素为1,并且该元素1所在列的其他元素必为0。然后以主元所在列对应变换前的矩阵A的各列向量构成矩阵B以阶梯矩阵主元所在行向量构成矩阵C容易验证A=BC 在构造B矩阵时,若所化简的阶梯阵形式不同,则所选取的列向量会有差别,这也导致了矩阵的满秩分解不唯一。那么,是否与伪逆矩阵的唯一性相协调? 虽然,矩阵的满秩分解不唯一,如,但由以及求得的伪逆矩阵是唯一的。即。现给出证明, 证明: 若,则, 易知(r也为矩阵A的秩), 则 (1)记
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