【备考】全国数学试题分类解析汇编（11月第四期）E单元 不等式.doc

e单元不等式 目录e单元不等式1e1不等式的概念与性质1e2 绝对值不等式的解法1e3一元二次不等式的解法1e4 简单的一元高次不等式的解法1e5简单的线性规划问题1e6基本不等式1e7 不等式的证明方法1e8不等式的综合应用1e9 单元综合1 e1不等式的概念与性质【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】14.已知不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_.【知识点】指数不等式解法；不等式恒成立的条件. e1 e8【答案】【解析】-3m5解析：根据指数函数的单调性得：对任意恒成立，所以，解得-3m0时，才能取到最小值2；d中，“直线2x+my+1=0与直线mx+8y+2=0互相平行”则m0且，m=4，故为充要条件故选b【思路点拨】a中取特值，a正b负即可判断；b中由根的存在性定理只需判断f（0）f（1）的符号；c中注意检验基本不等式求最值时是否都是正实数；d中可先求出“直线2x+my+1=0与直线mx+8y+2=0互相平行”的充要条件。【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】8、已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）a b c d【知识点】函数的性质；解不等式. b1 e1【答案】【解析】d解析：原不等式为：（1）（2）综上得不等式的解集为，故选d.【思路点拨】根据已知，画出函数f(x)的描述性图形，结合图形将原不等式转化为两个不等式组求解.e2 绝对值不等式的解法【数学理卷2015届西藏拉萨中学高三上学期第二次月考（期中考试）（201411）】20. （本题12分）已知函数（1）解不等式（2）若恒成立，求实数的取值范围。【知识点】含绝对值不等式 恒成立问题e2 e8【答案】【解析】（1）；（2）.解析：（1）已知函数取绝对值可得：其图像如下：所以的解析为；（2）由（1）可得，要使恒成立，只需即可，即，所以的范围为.【思路点拨】根据零点分段法取绝对值可得分段函数，画出其图像即可从图像读出不等式的解集；恒成立，即，进而通过解一元二次不等式求得范围.【数学理卷2015届西藏拉萨中学高三上学期第二次月考（期中考试）（201411）】14.若不等式对于一切非零实数均成立，则实数的取值范围为 【知识点】含绝对值的不等式 基本不等式e2 e6【答案】【解析】解析： 因为与同号，所以（当且仅当时取“=”），所以，解得，故答案为.【思路点拨】由题意对于一切非零实数均成立，可得即可，利用基本不等式求得，即可求解.【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11不等式的解集为_ _【知识点】绝对值不等式的解法.e2【答案】【解析】 解析：原不等式等价于或，解得或，所以原不等式的解集为，故答案为。【思路点拨】对，分类讨论即可。e3一元二次不等式的解法【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】20、（本小题满分12分） 已知函数（其中） （1）若为的极值点，求的值； （2）在（1）的条件下，解不等式【知识点】导数的应用；不等式的解法. b12 e3【答案】【解析】（1）a=0；（2）不等式的解集为x|x1.解析：(1)因为，所以因为x=0 为f(x)的极值点，所以由得a=0检验，当a=0时，有x0时，.所以x=0为f(x)的极值点，故a=0.-4分（2）当a=0时，不等式整理得，即或-6分令当x0时， ；当x0时，所以h(x)在单调递减，在单调递增，所以，即所以g(x)在r上单调递增，而g(0)=0，故；，所以原不等式的解集为x|x1.-12分【思路点拨】(1) 由x=0 为f(x)的极值点得，解得a=0，再检验a=0时，x=0是否是函数f(x)的极值点即可；（2）当a=0时，不等式整理得，利用导数分析函数的单调性，得函数g(x)在r上单调递增，而g(0)=0，故；，由此得原不等式的解集.e4 简单的一元高次不等式的解法e5简单的线性规划问题【湖北省襄阳四中、龙泉中学、宜昌一中、荆州中学2015届高三10月四校联考数学（文）答案】10 已知函数的定义域是-2，+）且f(4)=f(-2)=1, 为f(x)的导函数，且的图像如下图所示，则不等式组所围成的平面区域的面积是（ ）a 4 b 5 c 8 d 2【知识点】简单的线性规划问题e5【答案解析】a 由导函数的图象得到f（x）在-2，0递减；在0，+）递增f（4）=f（-2）=1f（2x+y）1-22x+y4表示的平面区域如下所以平面区域的面积为24=4故选a【思路点拨】利用导函数的图象判断出函数的单调性；利用函数的单调性化简不等式f（2a+b）1；画出不等式组表示的平面区域；利用三角形的面积公式求出区域的面积【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】6.若变量x，y满足约束条件则的最大值为a.b.0c.d.【知识点】简单的线性规划.e5 【答案】【解析】c 解析：根据x，y满足约束条件画出线性区域如下图：则线性目标函数过a时有最大值，最大值为。【思路点拨】先根据线性约束条件画出线性区域，再求出目标函数过a时取得最大值即可。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】9.若目标函数满足约束条件且最大值为40，则的最小值为a.b.c.1d.4【知识点】简单线性规划的应用e5 【答案】【解析】b 解析：不等式表示的平面区域阴影部分，当直线过直线与直线的交点时，目标函数取得最大40，即，即，而故选b【思路点拨】先根据条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可【典例剖析】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】12.已知函数的定义域的图象如图所示,若正数则的取值范围是（ ） a. b. c. d.【知识点】线性规划.e5【答案】【解析】a 解析：如图所示：f（x）0在-3，+）上恒成立函数f（x）在-3，0）是减函数，（0，+）上是增函数，又f（2a+b）2=f（6）画出平面区域令表示过定点（2，-3）的直线的斜率如图所示：故选a【思路点拨】由题意可利用数形结合的方法求出范围，再根据所求值的几何意义求出结果.【典例剖析】线性规划问题要注意数形结合的运用，同时要注意几何意义.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】13已知x，y满足约束条件，则x2+4y2的最小值是_.【知识点】与线性规划相关的问题. e5【答案】【解析】解析：设，这个椭圆与与可行域有公共点，只需它与线段x+y=1()有公共点，把y=-x-1代入椭圆方程得，由判别式得，且时，.【思路点拨】把问题转化为直线与椭圆的位置关系问题求解.【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】12已知点在不等式组所表示的平面区域内运动，为过点和坐标原点的直线，则的斜率的取值范围为 【知识点】简单的线性规划；斜率的计算公式.e5 h1【答案】【解析】1,2 解析：由不等式组可得所表示的可行域，由图可知：当取点p时，直线l的斜率的取得最大值，当取点p时，直线l的斜率的取得最小值，故答案为：1,2【思路点拨】由不等式组可得所表示的可行域，即可得到：当取点p时，直线l的斜率取得最大值当取点p时，直线l的斜率的取得最小值。【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】11设满足约束条件,则的最大值是 【知识点】简单线性规划e5【答案】【解析】5 解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示做直线l：2x+y=0，然后把直线l向可行域平移，结合图象可知当直线过点a时，z最大，由可得a（2，1），即当x=2，y=1时，zmax=5故答案为：5【思路点拨】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】 6 .设变量x，y满足约束条件 则目标函数z3x4y的最大值和最小值分别为( )a3，11 b3，11c11，3 d11,3【知识点】简单的线性规划问题e5【答案解析】a 作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当直线z=3x-4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选a【思路点拨】作出可行域z为目标函数纵截距负四倍画直线3x-4y=0，平移直线观察最值【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】11已知x，y满足约束条件，且的最小值为-6，则常数k=_.【知识点】 简单的线性规划问题. e5【答案】【解析】0解析：画出可行域如图，平移目标函数得点b(3，-3-k)为最优解，所以.【思路点拨】画出可行域，平移目标函数，确定最优解，代入目标函数求得k值.【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】17（本小题满分12分）在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（1）若，求；（2）用表示，并求的最大值.【知识点】简单线性规划e5【答案】【解析】（1）；（2） 1 解析：（1） ， 又 （2） 即 两式相减得：令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1. 【思路点拨】（1）由点的坐标求出向量和的坐标，结合，再由求得的坐标，然后由模的公式求模；（2）由得到，作差后得到，令，然后利用线性规划知识求得的最大值【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】5 已知满足，则的最大值为( )a b c d【知识点】简单的线性规划问题e5【答案解析】b 作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=2x+y得y=-2x+z平移直线y=-2x+z由图象可知当直线y=-2x+z经过点c时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大由，解得，即c（3，3），代入目标函数z=2x+y得z=23+3=9即目标函数z=2x+y的最大值为9故选：b【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】16、在直角梯形中， ，点是梯形内或边界上的一个动点，点是边的中点，则的最大值是 【知识点】向量的坐标运算；简单的线性规划问题. e5 f2 f3【答案】【解析】6解析：以a我原点，直线ab 为x轴，直线ad为y轴，建立直角坐标系，则，设，则=x+2y,由图可知点c(2，2)为取得最大值的最优解，所以的最大值是6.【思路点拨】建立直角坐标系，把向量的数量积用坐标表示，再用线性规划求解.【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】15、动点在区域上运动，则的范围是 【知识点】与线性规划有关的问题. e5 【答案】【解析】解析：画出可行域如图，因为，设，则，所以的范围是.【思路点拨】画出可行域，变形目标函数，转化为求斜率范围问题.【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】13.若实数，满足，则的最大值为 【知识点】简单的线性规划.e5【答案】【解析】3 解析：画出线性约束条件满足的线性区域如下图：设z=，由z表示的几何意义可知：当直线经过a(2，1)时，有最大值，最大值为3，故答案为3.【思路点拨】先画出平面区域，再结合z表示的几何意义可得结果。e6基本不等式【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】13 已知点c在直线ab上运动，o为平面上任意一点，且 ()，则的最大值是 【知识点】基本不等式.e6【答案】【解析】 解析：由题易知， ，当且仅当x=4y=时取等号.【思路点拨】先由已知条件得，再利用基本不等式即可.【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】4、已知锐角满足，则的最大值为（ ）a b c d【知识点】两角和的正切；三角函数的值域；基本不等式. c1 c5 e6【答案】【解析】d解析：设tana=a，tanb=b,因为是锐角，所以a、b都是正数，由得：，整理得，当且仅当时等号成立，故选d.【思路点拨】利用两角和的正切公式，把已知等式转化为tanb关于tana的函数，再由tana、tanb都是正数及基本不等式求得结论.e7 不等式的证明方法【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】24.（ 满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数(1) 若a=-1,解不等式； (2) 如果x r, ，求a 的取值范围.【知识点】不等式.e7【答案】【解析】(1) (2) 解析：（）当时，由3得3（）x-1时，不等式化为1-x-1-x3 即-2x3不等式组的解集为综上得，的解集为 5分（）若，不满足题设条件若 的最小值为 的最小值为所以的充要条件是，从而的取值范围为 【思路点拨】根据不等式的意义求出解集，再分情况讨论a的取值.e8不等式的综合应用【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】21.（本小题满分13分） 设函数，函数(其中ar，e是自然对数的底数） (1)当a=0时，求函数的极值； (2)若在0，+）上恒成立，求实数a的取值范围【知识点】 利用导数求函数的极值；利用导数求不等式恒成立得条件. b12 e8【答案】【解析】（1）函数在处取得极大值，无极小值；（2）.解析：（1）函数当x1时，,故函数在上单调递增，在上单调递减.函数在处取得极大值.函数无极小值.（5分）（2）由题在上恒成立，当则，若则恒成立，则.不等式恒成立等价于在上恒成立，（6分）令则又令则.当时，则在上单调递减， 在上单减， 即在上恒成立（8分）当时，（i）当，即时，则在上单调递减， 在上单调递减， 此时在上恒成立；（9分）（ii）若，即时，若时，则在上单调递增，在上也单调递增， 即，不满足条件.（11分）综上，在上恒成立时，实数a的取值范围是.（13分）【思路点拨】(1)利用导数公式求得，进而求得，根据=0的根两侧的符号，确定极值情况；（2）首先确定在上，不等式中各式有意义的条件：只需在上恒成立，当a=0时成立，当时，综上知需求时在0，+）上恒成立，实数a的取值范围.这时，不等式在恒成立，等价于在上恒成立.利用导数求函数在上最大值，使此最大值小于或等于0的a范围即为所求.【典例剖析】本题第二问，在ar条件下，求在0，+）上恒成立实数a的取值范围，可以先由不等式中各式在0，+）有意义，缩小a的取值范围，成为在的条件下，恒等变形不等式后，再确定其在0，+）上恒成立的条件，这是本题的特殊点.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】10.若存在正数x使2x（x-a）1成立，则a的取值范围是 a b（) c() d（）【知识点】 不等式有解的条件的确定. e8 【答案】【解析】d解析：即不等式有正数解，由图像可知，故选d.【思路点拨】把条件转化为不等式有正数解，然后利用图像确定a满足的条件.【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】21.（本小题满分13分） 已知函数 (1)当a=0时，求的极值； (2)当a0时，求的单调区间；（3）若对任意当及，恒有成立，求实数m的取值范围【知识点】 导数的应用；不等式恒成立问题. b12 e8【答案】【解析】（1）的极小值为无极大值；（2）当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为；（3）解析：（1）依题意知的定义域为，当时，令，解得当时，；当时，.又的极小值为无极大值.（3分）（2）当时，令得或，令得当时，得令得，令得当时，综上所述，当时，的递减区间为和，递增区间为；当时，在上单调递减；当时，的递减区间为和，递增区间为.（8分）（3）由（2）可知，当时，在区间上单调递减；当x=1时，取得最大值；当x=3时，取得最小值；恒成立，整理得，恒成立，（13分） 【思路点拨】（1）通过判断导函数为零的点两侧，导函数值的符号，确定极值情况；（2）通过对a取值的讨论，确定：导函数大于零的x范围是增区间，导函数小于零的范围是减区间；（3）由（2）的结论，化简恒成立的不等式为：，恒成立，由此求得实数m的取值范围【典例剖析】本题第（3）小问是不等式恒成立问题，虽然是常见题型，但本题有一定难度.需要利用第（2）小问的结论求在上的最大值，从而转化为常规的恒成立问题求解.【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】19.（本小题满分13分） 已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)若，数列满足关系式求证：数列的通项公式为（3）设（2）中的数列的前项和sn，对任意的正整数n，恒成立，求实数p的取值范围.【知识点】等差数列；已知递推公式求通项；不等式恒成立问题. d2 d1 e8【答案】【解析】（1）（2）证明：见解析；（3）.解析：（1）设等差数列的公差为d，由已知，有解得所以即等差数列的通项公式为（3分）（2）因为所以当时，.证：当时，所以将这n-1个式子相加，得即.当n=1时，也满足上式.所以数列的通项公式为.（7分）（3）由（2），所以所以原不等式变为即所以对任意恒成立，所以所以p的取值范围是.（13分）【思路点拨】(1)利用已知求得首项和公差即可；（2）累加法证明结论；（3）由（2）中结论化简恒成立的不等式，即对任意恒成立，而，所以【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】14.已知不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是_.【知识点】指数不等式解法；不等式恒成立的条件. e1 e8【答案】【解析】-3m5解析：根据指数函数的单调性得：对任意恒成立，所以，解得-3m0时，=0得x=lna，易得f(x)在x=lna处有最小值，要使恒成立，需使，即，所以，设，易得函数在处有最大值，所以ab的最大值为，故选d.【思路点拨】利用导数确定函数恒成立的条件为(a0),从而得：，然后再用导数求的最大值即可.【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】21、（本小