广东省珠海一中等六校高三数学上学期第一次联考试卷 理（含解析）.doc

广东省珠海一中等六校2015届高三上学期第一次联考数学试卷 （理科）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合m=x|x23x40，n=x|0x5，则mn=（）a（0，4b0，4）c1，0）d（1，02（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z=1+i，则+i=（）a2b2ic2d2i3（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最小值为（）a2b5c6d74（5分）若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（）a3bc3d5（5分）平行四边形abcd中，ac为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（）a6b8c8d66（5分）已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：月份12345广告投入（x万元）9.59.39.18.99.7利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=7.5x+a，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）a95.25万元b96.5万元c97万元d97.25万元7（5分）如图：正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别是棱a1b1，cd的中点，点m是ef的动点，fm=x，过点m、直线ab的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为v（x），则函数v（x）的大致图象是（）abcd8（5分）以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数m，使得函数（x）的值域包含于区间m，m例如，当1（x）=x3，2（x）=sin x时，1（x）a，2（x）b现有如下命题：设函数f（x）的定义域为d，则“f（x）a”的充要条件是“br，ad，f（a）=b”；函数f（x）b的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）+g（x）b；若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，ar）有最大值，则f（x）b；若函数f（x）=ln（x2+a）a，则a0其中的真命题有（）abcd二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（913题）9（5分）若不等式|x+1|x4|a+，对任意的xr恒成立，则实数a的取值范围是10（5分）已知函数f（x）=ln（1+x）ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y1=0平行，则实数a的值为11（5分）已知数组（a1，a2，a3，a4，a5）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个使ai=i（i=1，2，3，4，5），则所有不同的数组中的各数字之和为12（5分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且=若b=，a+c=4，则a的值为13（5分）等比数列an的首项a1=1，前n项和为sn，若，则公比q等于三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）已知曲线c的极坐标方程为：=2cos，直线的极坐标方程为：2cos=则它们相交所得弦长等于四、（几何证明选讲选做题）15已知圆o的半径为3，从圆o外一点a引切线ad和割线abc，圆心o到ac的距离为2，ab=3，则切线ad的长为五、解答题（本大题共六个小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值17（12分）广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4个小组进行综合素质过关测试，设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各组是否过关是相互独立的（1）求测试中至少3个小组过关的概率；（2）x表示测试中能够过关的组数，求x的数学期望18（14分）如图，在三棱锥pabc中，pa面abc，bac=120，且ab=ac=ap，m为pb的中点，n在bc上，且bn=bc（1）求证：mnab；（2）求平面man与平面pan的夹角的余弦值19（14分）已知数列an中，a1=3，前n项的和是sn满足：nn*都有：sn=（n+bn）31，其中数列bn是公差为1的等差数列；（）求数列an的通项公式；（）设cn=，求tn=c1+c2+cn20（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切（）求椭圆c的方程；（）设a（4，0），过点r（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于p，q两点，连结ap，aq分别交直线x=于m，n两点，试探究直线mr、nr的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由21（14分）定义在r上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：且h（3）=2（）求g（x）和h（x）的解析式；（）对于x1，x21，1，均有h（x1）+ax1+5g（x2）x2g（x2）成立，求a的取值范围；（）设，讨论方程ff（x）=2的解的个数情况广东省珠海一中等六校2015届高三上学期第一次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）设集合m=x|x23x40，n=x|0x5，则mn=（）a（0，4b0，4）c1，0）d（1，0考点：交集及其运算 专题：集合分析：求解一元二次不等式化简集合m，然后直接利用交集运算求解解答：解：由x23x40，得1x4m=x|x23x40=x|1x4，又n=x|0x5，mn=x|1x4x|0x5=0，4）故选：b点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数若z=1+i，则+i=（）a2b2ic2d2i考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：把z及代入+i，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值解答：解：z=1+i，+i=故选：c点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=xy的最小值为（）a2b5c6d7考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：先画出约束条件 的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=xy，不难求出目标函数z=xy的最小值解答：解：如图作出阴影部分即为满足约束条件 的可行域，由得a（3，5），当直线z=xy平移到点a时，直线z=xy在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=xy取最小值为2故选a点评：本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义4（5分）若双曲线x2+ky2=1的离心率是2，则实数k的值是（）a3bc3d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：先根据双曲线方程可知a和b，进而求得c的表达式，利用离心率为2求得k的值解答：解：依题意可知a=1，b=c=2，求得k=故选b点评：本题主要考查了双曲线的简单性质考查了学生的基础知识的积累5（5分）平行四边形abcd中，ac为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（）a6b8c8d6考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：根据所给的向量的坐标和向量加法的平行四边形法则，写出要用的向量的坐标，根据两个向量数量积的坐标公式写出向量的数量积解答：解：由向量加法的平行四边形法则可以知道，=（2，4），=（1，3），=（1，1）=（3，5）=（1）（3）+（1）（5）=8故选b点评：本题考查向量的数量积和向量的加减，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的6（5分）已知某企业上半年前5个月产品广告投入与利润额统计如下：月份12345广告投入（x万元）9.59.39.18.99.7利润（y万元）9289898793由此所得回归方程为y=7.5x+a，若6月份广告投入10（万元）估计所获利润为（）a95.25万元b96.5万元c97万元d97.25万元考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：首先求出x，y的平均数，利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，根据样本中心点满足线性回归方程，代入已知数据求出a的值，写出线性回归方程当自变量取10时，把10代入线性回归方程，求出所获利润解答：解：由题意，=（9.5+9.3+9.1+8.9+9.7）=9.3，=（92+89+89+87+93）=90，将（9.3，90）代入y=7.5x+a，可得a=20.25，x=10时，y=75+20.25=95.25故选：a点评：本题考查回归分析的初步应用，考查求线性回归方程，考查预报y的值，是一个综合题目7（5分）如图：正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f分别是棱a1b1，cd的中点，点m是ef的动点，fm=x，过点m、直线ab的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为v（x），则函数v（x）的大致图象是（）abcd考点：函数的图象 专题：函数思想分析：本题关键是理解，体积v（x）的变化是随变x的变化而怎样变化的，可以找列出v关于x的关系式，利用相似比就可以找到它们的关系，从而得到答案，当然此题也可以从体积的变化快慢来理解得到答案解答：解：如图：（1）当时，过点m、直线ab作平面交cc1，dd1于点p、q，则四边形abpq为矩形，此时，截面下面那部分是三棱矩adqbcp，fm=cm1=x，如图：b1c=，bb1m1pm1c，由相似比得，cp=，三棱矩adqbcp的体积v（x）=sbcpab=；（2）当时，过点m、直线ab作平面交b1c1，a1d1于点p、q，则四边形abpq为矩形，此时，截面下面那部分是四棱矩adqa1bcpb1，fm=x，由相似比知c1p=，四棱矩adqa1bcpb1的体积v（x）=v（x）=由解析式，知v（x）的图象为c故选：c点评：本题考查空间相象能力，函数思想，关键是要求理解变量与变量之间的关系属于较难题8（5分）以a表示值域为r的函数组成的集合，b表示具有如下性质的函数（x）组成的集合：对于函数（x），存在一个正数m，使得函数（x）的值域包含于区间m，m例如，当1（x）=x3，2（x）=sin x时，1（x）a，2（x）b现有如下命题：设函数f（x）的定义域为d，则“f（x）a”的充要条件是“br，ad，f（a）=b”；函数f（x）b的充要条件是f（x）有最大值和最小值；若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）a，g（x）b，则f（x）+g（x）b；若函数f（x）=aln（x+2）+（x2，ar）有最大值，则f（x）b；若函数f（x）=ln（x2+a）a，则a0其中的真命题有（）abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：简易逻辑分析：由函数的定义判断；举具体函数f（x）=x（1x1）说明错误；由函数的定义结合判断；由f（x）=aln（x+2）+ （x2），知当a0或a0时，函数f（x）都没有最大值当a=0时可得命题正确；由对数函数定义域和值域间的关系判断解答：解：对于，若f（x）a，则f（x）的值域为r，于是，对任意的br，一定存在ad，使得f（a）=b，故正确；对于，取函数f（x）=x（1x1），其值域为（1，1），于是，存在m=1，使得f（x）的值域包含于m，m=1，1，但此时f（x）没有最大值和最小值，故错误；对于，当f（x）a时，由可知，对任意的br，存在ad，使得f（a）=b，当g（x）b时，对于函数f（x）+g（x），如果存在一个正数m，使得f（x）+g（x）的值域包含于m，m，那么对于该区间外的某一个b0r，一定存在一个a0d，使得f（a0）=bg（a0），即f（a0）+g（a0）=b0m，m，故正确；对于，f（x）=aln（x+2）+ （x2），当a0或a0时，函数f（x）都没有最大值要使得函数f（x）有最大值，只有a=0，此时f（x）= （x2），易知f（x），存在正数m=，使得f（x）m，m，故正确；对于，若f（x）a值域是r，则x2+a的值要取遍所有的正实数，从而a0，故错误正确的命题是故选：d点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，训练了特值法思想在解题中的应用，关键是对题意的理解，是中档题二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（913题）9（5分）若不等式|x+1|x4|a+，对任意的xr恒成立，则实数a的取值范围是（，41，0）考点：绝对值不等式 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：令y=|x+1|x4|，则由|x+1|x4|（x+1）（x4）|=5，求得y的最小值，再由题意得5a+，解出不等式即可解答：解：令y=|x+1|x4|，则由|x+1|x4|（x+1）（x4）|=5，即有5y5，当x=1时，取得最小值5由题意得，5a+，即有或，解得a或a4或1a0则实数a的取值范围是（，41，0）故答案为：（，41，0）点评：本题考查不等式恒成立问题，注意转化为求最值，考查不等式的解法，属于中档题和易错题10（5分）已知函数f（x）=ln（1+x）ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y1=0平行，则实数a的值为1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的综合应用分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，由导数值等于求得实数a的值解答：解：由f（x）=ln（1+x）ax，得，则函数f（x）=ln（1+x）ax的图象在x=1处的切线与直线x+2y1=0平行，即a=1故答案为：1点评：本题考查了利用导数研究函数在某点处的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值是中档题11（5分）已知数组（a1，a2，a3，a4，a5）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个使ai=i（i=1，2，3，4，5），则所有不同的数组中的各数字之和为675考点：排列、组合的实际应用 专题：计算题分析：根据题意，分析可得满足ai=i，即该数字的大小与位置相同的情况有5种，再举例a1=1，由分步计数原理计算可得a1=1时，满足题意的数组的个数，由满足ai=i的情况数目，计算可得满足题意的数组的个数，又由每个数组里，各数字之和为1+2+3+4+5=15，将其相乘，即可得答案解答：解：根据题意，每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个使ai=i，则ai=i，即该数字的大小与位置相同的情况有5种，剩余的4个数字的大小与位置均不相同，假设a1=1，即1在第一个位置，则2、3、4、5四个数字分别放在第2、3、4、5的位置，数字2有3种放法，若放在位置3，则数字3有3种放法，数字4、5只有1种放法，即a1=1时，有33=9个满足题意的数组，则满足题意的数组共有59=45个，每个数组里，各数字之和为1+2+3+4+5=15，则所有不同的数组中的各数字之和为4515=675；故答案为675点评：本题考查排列、组合的应用，难点在于理解“每个数组中有且仅有一个使ai=i”的含义，分析得到满足题意的数组的个数12（5分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，且=若b=，a+c=4，则a的值为1或3考点：正弦定理的应用 专题：计算题；解三角形分析：运用正弦定理和两角和的正弦公式及诱导公式，求出角b，再由余弦定理，结合条件，解方程，即可得到a解答：解：=，即有2acosb=bcosc+ccosb，即2sinacosb=sinbcosc+coscsinb=sin（b+c）=sina，即有cosb=，由于b为三角形的内角，则b=，又b2=a2+c22accosb，即有13=a2+c2+ac，又a+c=4，解得，a=1，c=3或a=3，c=1故答案为：1或3点评：本题考查正弦定理和余弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式及应用，考查运算能力，属于中档题13（5分）等比数列an的首项a1=1，前n项和为sn，若，则公比q等于考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和 专题：计算题分析：利用数列前n项和的定义及等比数列通项公式 得出=1+q5=，解出q即可解答：解：an是等比数列，由数列前n项和的定义及等比数列通项公式得s10=（a1+a2+a5）+（a6+a7+a10）=s5+q5（a1+a2+a5）=（1+q5）s5=1+q5=，q5=，q=，故答案为：点评：本题主要考查等比数列前n项和的计算、通项公式利用数列前n项 定义，避免了在转化时对公比q是否为1的讨论三、选做题（1415题，考生只能从中选做一题）（坐标系与参数方程选做题）14（5分）已知曲线c的极坐标方程为：=2cos，直线的极坐标方程为：2cos=则它们相交所得弦长等于3考点：简单曲线的极坐标方程 专题：坐标系和参数方程分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心和半径，再求得弦心距，利用弦长公式求得弦长解答：解：曲线c的极坐标方程为：=2cos，即 2=2cos，化为直角坐标方程为+y2=3，表示以c（，0）为圆心，半径等于的圆 直线的极坐标方程为：2cos=，即 x=，故弦心距为d=，故弦长为 2=2=3，故答案为：3点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式和弦长公式的应用，属于基础题四、（几何证明选讲选做题）15已知圆o的半径为3，从圆o外一点a引切线ad和割线abc，圆心o到ac的距离为2，ab=3，则切线ad的长为考点：圆的切线的性质定理的证明 专题：计算题；压轴题分析：由已知中圆o的半径为3，圆心o到ac的距离为2，由半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出bc的长，进而求出ac长，由切割线定理，得到切线ad的长解答：解：圆o的半径为3，圆心o到ac的距离为2bc=2=2又ab=3，ac=5又ad为圆o的切线abc为圆o的割线由切割线定理得：ad2=abac=35=15ad=点评：本题考查的知识点是弦长公式，切割线定理，其中根据半径长、弦心距、半弦长构成直角三角形，满足勾股定理，求出bc的长，是解答本题的关键五、解答题（本大题共六个小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）已知函数f（x）=cosxsin（x+）cos2x+，xr（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在闭区间，上的最大值和最小值考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：三角函数的图像与性质分析：（）根据两角和差的正弦公式、倍角公式对解析式进行化简，再由复合三角函数的周期公式求出此函数的最小正周期；（）由（）化简的函数解析式和条件中x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求出再已知区间上的最大值和最小值解答：解：（）由题意得，f（x）=cosx（sinxcosx）=所以，f（x）的最小正周期=（）由（）得f（x）=，由x，得，2x，则，当=时，即=1时，函数f（x）取到最小值是：，当=时，即=时，f（x）取到最大值是：，所以，所求的最大值为，最小值为点评：本题考查了两角和差的正弦公式、倍角公式，正弦函数的性质，以及复合三角函数的周期公式应用，考查了整体思想和化简计算能力，属于中档题17（12分）广东某六所名校联盟办学，他们不但注重学生的学习成绩的提高，更重视学生的综合素质的提高；六校从各校中抽出部分学生组成甲、乙、丙、丁 4个小组进行综合素质过关测试，设4个小组中：甲、乙、丙、丁组在测试中能够过关的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各组是否过关是相互独立的（1）求测试中至少3个小组过关的概率；（2）x表示测试中能够过关的组数，求x的数学期望考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式 专题：概率与统计分析：（1）根据相互对立事件的概率的乘法公式求出测试中至少3个小组过关的概率p；（2）求出x的可能取值，从而求出x的分布列与数学期望解答：解：（1）测试中至少3个小组过关的概率为p=0.60.52（10.4）+20.60.520.4+（10.6）0.520.4+0.60.520.4=0.09+0.12+0.04+0.06=0.31；（2）x的可能取值为0，1，2，3，4；p（x=0）=（10.6）0.52（10.4）=0.06，p（x=1）=0.60.52（10.4）+2（10.6）0.52（10.4）+（10.6）0.520.4=0.25，p（x=4）=0.60.520.4=0.06；由（1）知，p（x3）=p（x=3）+p（x=4）=0.31，p（x=3）=0.310.06=0.25，p（x=2）=1p（x=0）p（x=1）p（x=3）p（x=4）=10.060.250.250.06=0.38，ex=0p（x=0）+1p（x=1）+2p（x=2）+3p（x=3）+4p（x=4）=0.25+20.38+30.25+40.06=2点评：本题考查了相互对立事件的概率乘法公式的应用问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的应用问题，是中档题目18（14分）如图，在三棱锥pabc中，pa面abc，bac=120，且ab=ac=ap，m为pb的中点，n在bc上，且bn=bc（1）求证：mnab；（2）求平面man与平面pan的夹角的余弦值考点：用空间向量求平面间的夹角 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（1）由已知条件推导出nbaabc，取ab中点q，连接mq、nq，推导出ab平面mnq，由此能证明abmn；（2）过b作bdac，交an延长线于d，连pd，分别取pd、ad中点e、f，连me，ef，mf，可得efm是所求两面角的平面角，即可求平面man与平面pan的夹角的余弦值解答：（1）证明：设ab=ac=ap=1，又bac=120，在abc中，bc2=1+1211cos120=3，bc=，bn=，又abc=nba，nbaabc，且nba也为等腰三角形取ab中点q，连接mq、nq，nqab，mqpaq，pa面abc，paab，mqab，ab平面mnq，又mn平面mnq，abmn；（2）解：过b作bdac，交an延长线于d，连pd，分别取pd、ad中点e、f，连me，ef， mf，由ca面pad，bdacme，paan，efpa，则me面pad，efan，且mfan，efm是所求两面角的平面角bd=ac=，me=bd=，ef=pa=，mf=，cosefm=点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（14分）已知数列an中，a1=3，前n项的和是sn满足：nn*都有：sn=（n+bn）31，其中数列bn是公差为1的等差数列；（）求数列an的通项公式；（）设cn=，求tn=c1+c2+cn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据已知条件及a1=s1即可求出b1=，所以，代入已知的sn即得，所以n1时，并且验证n=1时是否符合通项an，即可得出数列an的通项公式：；（）根据已知的cn可先求出c1=12，然后求出n1时的，所以求出，并且验证n=1是否符合即可得出tn解答：解：（）由已知条件知：，解得；数列bn是公差为1的等差数列，；当n1时，=4（3n23n+1）；n=1带入上式得a1=4不满足已知a1=3；（）n=1时，n1时，=，tn=c1+c2+cn=；n=1带入上式t1=12，即n=1符合tn；点评：考查数列的前n项和与通项an的关系，等差数列的通项公式，通过让前后项相互抵消的方法求数列前n项和20（14分）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切（）求椭圆c的方程；（）设a（4，0），过点r（3，0）作与x轴不重合的直线l交椭圆于p，q两点，连结ap，aq分别交直线x=于m，n两点，试探究直线mr、nr的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出椭圆c的方程（2）设p（x1，y1），q（x2，y2），设直线pq：x=my+3，与椭圆方程联立，得（3m2+4）y2+18my21=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线mr、nr的斜率为定值解答：解：（1）由