3.2.2 复数代数形式的乘除运算 学案（人教A版选修1-2）.doc

3.2.2复数代数形式的乘除运算课标解读1.掌握复数代数形式的乘、除运算(重点)2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点)3理解共轭复数的概念(易错点)复数的乘法【问题导思】1如何规定两个复数相乘？【提示】两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成1，并且把实部与虚部分别合并即可2复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？【提示】满足(1)设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(2)对于任意z1，z2，z3C，有交换律z1z2z2z1结合律(z1z2)z3z1(z2z3)乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3复数的除法与共轭复数【问题导思】如何规定两个复数z1abi，z2cdi(a，b，c，dR，cdi0)相除？【提示】.(1)z1abi，z2cdi(a，b，c，d为实数，cdi0)，z1，z2进行除法运算时，通常先把(abi)(cdi)写成的形式再把分子与分母都乘以cdi化简后可得结果：i.(2)共轭复数如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用表示即zabi，则abi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.复数代数形式的乘除法运算(1)(2013课标全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则z()A1iB1iC1iD1i(2)(2013大纲全国卷)(1i)3()A8 B8 C8i D8i(3)计算()6_.【思路探究】(1)先设出复数zabi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值(2)直接利用复数的乘法运算法则计算(3)先计算再乘方，且将的分母实数化后再合并【自主解答】(1)设zabi，则(1i)(abi)2i，即(ab)(ba)i2i.根据复数相等的充要条件得解得z1i.故选A.(2)原式(1i)(1i)2(1i)(22i)26i28.(3)法一原式6i61i.法二原式6i61i.【答案】(1)A(2)A(3)1i1复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成abi(a，bR)的形式2记住以下结论可以提高运算速度(1)(1i)22i，(1i)22i；(2)i，i；(3)i.计算：(1)(1i)2；(2)(i)(i)(1i)；(3).【解】(1)(1i)212ii22i.(2)(i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)(i)(1i)iii.(3)i.虚数单位i的幂的周期性及其应用(1)计算：()2 013；(2)若复数z，求1zz2z2 013的值【思路探究】将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解【自主解答】(1)原式()21 006()i()1 006ii1 006i(2)1zz2z2 013，而zi，所以1zz2z2 0131i.1要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值2如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解在本例(2)中若zi，求1zz2z2 013的值【解】由题意知1zz2z2 0131ii2i2 0131i.原式1i.共轭复数的应用设z1，z2C，Az1z2，Bz1z2，问A与B是否可以比较大小？为什么？【思路探究】设出z1，z2的代数形式化简A，B判断A，B是否同为实数结论【自主解答】设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则abi，cdi，Az1z2(abi)(cdi)(cdi)(abi)acadibcibdi2acbciadibdi22ac2bdR，Bz1z2|z1|2|z2|2a2b2c2d2R，A与B可以比较大小1z|z|2|2是共轭复数的常用性质2实数的共轭复数是它本身，即zRz，利用此性质可以证明一个复数是实数3若z0且z0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数已知zC，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.【解】设zabi(a，bR)，则abi(a，bR)，由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有，解得或，所以z1或z13i.记错i2值而致误设复数z满足i，则z()A2iB2iC2i D2i【错解】设复数zabi(a，bR)满足i，所以12iaib.解得所以z2i，故选D项【答案】D【错因分析】将i21当成i21来运算漏掉负号【防范措施】在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用【正解】设复数zabi(a，bR)满足i，所以12iaib.解得所以z2i，故选C项【答案】C1复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律(2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题3复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi(a，bR)，利用复数相等的充要条件转化.1(2012北京高考)在复平面内，复数对应的点的坐标为()A(1,3)B(3,1)C(1,3) D(3，1)【解析】13i，其对应点的坐标为(1,3)，选A.【答案】A2(2013安徽高考)设i是虚数单位，若复数a(aR)是纯虚数，则a的值为()A3 B1C1 D3【解析】因为aaa(a3)i，由纯虚数的定义，知a30，所以a3.【答案】D3若x2yi和3xi互为共轭复数，则实数x_，y_.【解析】由题意得：【答案】114计算：(1)(1i)(i)(1i)；(2)；(3)(2i)2.【解】(1)法一(1i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)iii21i.法二原式(1i)(1i)(i)(1i2)(i)2(i)1i.(2)i.(3)(2i)2(2i)(2i)44ii234i.一、选择题1复数(2i)2等于()A34iB54iC32i D52i【解析】(2i)244ii244i134i.故选A.【答案】A2i是虚数单位，复数()A1i B1iC1i D1i【解析】1i.【答案】C3(2013课标全国卷)若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()A4 BC4 D【解析】(34i)z|43i|，zi，z的虚部为.【答案】D4若z6，z10，则z()A13i B3iC3i D3i【解析】设zabi(a，bR)，则abi，解得a3，b1，则z3i.【答案】B5(2013湖北高考)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】z1i，所以1i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限【答案】D二、填空题6(2013江苏高考)设z(2i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为_【解析】z(2i)234i，所以|z|34i|5.【答案】57若abi(a，b为实数，i为虚数单位)，则ab_.【解析】(3b)(3b)ii.解得ab3.【答案】38当z时，z2 012z2 014_.【解析】z，z2i，z2 012(i)2 0121，z2 014(i)2 0141，z2 012z2 014110.【答案】0三、解答题9计算下列各题：(1)；(2)(i)5()4()7；(3)(i)12()8.【解】(1)原式(1i)23(1i)23(2i)3i(2i)3(i)881616i16i.(2)(i)5()4()7i()5(1i)22(1i)2i716(1i)i(16)(161)i.(3)(i)12()8(i)12(i)