第四章构件的静力分析94-114.doc

第四章 构件的静力分析学习目标1. 理解力、刚体和约束等概念。2. 深刻理解静力学各公理的内涵3. 了解各种常见典型约束的性质，会正确表示各种典型约束的约束反力。4. 初步学会对物体进行受力分析的方法，能正确画出研究对象的受力图。5. 理解力矩和力偶的概念及力偶的性质6. 重点掌握力矩计算方法及力矩平衡条件和平面力偶系平衡条件的应用。7. 熟练应用平衡方程求解简单的平面汇交力系平衡问题。8. 了解力的平移定理及其应用9. 掌握平面一般力系平衡条件及平衡方程的应用，能熟练地计算在平面一般力系作用下简单物体的平衡问题。10. 掌握平面平行力系平衡方程的应用。构件的静力分析是选择构件材料、确定构件外形尺寸的基础。一般情况下，构件受力后产生的变形相对构件的几何尺寸而言是微小的，对研究构件整体平衡或运动影响甚微，可近似认为构件受力时不产生变形，这种理想化的物体称为刚体。在研究平衡问题时，略去与平衡无关或关系甚少的因素可使问题的研究得到简化。事实上，在受力状态下不变形的物体是不存在的，不过，当物体的变形很小，在所研究的问题中把它忽略不计，并不会对问题的性质带来本质的影响时，该物体就可近似看作刚体。刚体是在一定条件下研究物体受力和运动规律时的科学抽象，这种抽象不仅使问题大大简化，也能得出足够精确的结果，因此，静力学又称为刚体静力学。4-1力力在人们的生产劳动和日常生活中处处可见。如图4-1，提水、掰手腕等活动都会引起肌肉紧张收缩的感觉，从而让我们体会到力的存在。图4-1一、 力的定义力是物体之间相互的机械作用。这种作用使物体的机械运动状态发生变化或使物体的形状发生改变，前者称为力的外效应或运动效应，后者称为力的内效应或变形效应。在静力学中只研究力的外效应。如图4-2图4-2力对物体的作用效果取决于力的三个要素：(1)力的大小；(2)力的方向；(3)力的作用点。因此力是矢量，且为定位矢量，如图 4-3所示，用有向线段 AB 表示一个力矢量，其中线段的长度表示力的大小，线段的方位和指向代表力的方向，线段的起点(或终点)表示力的作用点，线段所在的直线称为力的作用线。图4-3在静力学中，用黑斜体大写字母 F 表示力矢量， 在国际单位制中，力的单位是牛顿(N)或千牛(kN)。二、静力学公理为了讨论物体的受力分析，研究力系的简化和平衡条件，必须先掌握一些最基本的力学规律。这些规律是人们在生活和生产活动中长期积累的经验总结，又经过实践反复检验，被认为是符合客观实际的最普遍、最一般的规律、称为静力学公理。静力学公理概括了力的基本性质，是建立静力学理论的基础。公理 1 力的平行四边形法则由4-4可以得到力的平行四边形公理：作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线确定。图4-4或者说，合力矢等于这两个力矢的几何和如图 4-5(a)所示。即 (4-1)亦可另作一力三角形来求两汇交力合力矢的大小和方向，即依次将 和 首尾相接画出，最后由第一个力的起点至第二个力的终点形成三角形的封闭边，即为此二力的合力矢 ，如图 4-5(b)，这一力的合成方法称为力的三角形法则。（a） （b）图4-5推论（三力平衡汇交定理）：若作用于物体同一平面上的三个互不平行的力使物体平衡，则它们的作用线必汇交于一点。如图4-6图4-6公理 2 二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体处于平衡的充要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且作用在同一直线上，如图4-7所示。该两力的关系可用如下矢量式表示图4-7这一公理揭示了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所必须满足的条件，满足上述条件的两个力称为一对平衡力。需要说明的是，对于刚体，这个条件既必要又充分，但对于变形体，这个条件是不充分的。只在两个力作用下而平衡的刚体称为二力构件或二力杆，根据二力平衡条件，二力杆两端所受两个力大小相等、方向相反，作用线沿两个力的作用点的连线。公理3 作用与反作用定律两个物体间的作用力与反作用力总是同时存在，且大小相等，方向相反，沿着同一条直线，分别作用在两个物体上。若用 表示作用力， 表示反作用力，则该公理表明，作用力与反作用力总是成对出现，但它们分别作用在两个物体上，因此不能视作平衡力。公理应用：人在划船离岸时，常把浆向岸上撑（如图4-8）。这就是利用了作用力和反作用力的原理图4-8三、 约束与约束反力1、自由体（图4-9）与非自由体（图4-10）图4-9图4-10我们把那些对非自由体的限制称为约束。当物体沿着约束所能限制的方向有运动趋势时，约束为了阻止物体的运动，必然对物体有力的作用，这种力称为约束反力或反力。常见的约束类型（1） 柔性约束由绳索、链条、皮带等所构成的约束统称为柔性约束，这种约束的特点是柔软易变形，它给物体的约束反力只能是拉力。因此，柔索对物体的约束反力作用在接触点，方向沿柔索且背离物体。如图 4-11、图 4-12 所示。图4-11 图4-12（2） 光滑接触面约束物体受到光滑平面或曲面的约束称作光滑面约束。这类约束不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能限制物体沿接触表面法线并指向约束的位移。因此约束反力作用在接触点，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束物体。如图 4-13所示。图4-13（3） 光滑铰链约束由铰链构成的约束称为铰链约束，如图4-14所示。如果铰链约束中两个构件有一个固定在地面或机架上，则这种约束称为固定铰链支座，简称固定铰支。铰链约束两构件与地面或机架的连接是可动的，则这种约束称为活动铰链支座，简称活动铰支。如图 4-15图4-14图4-15（4） 固定端约束有时物体会受到完全固结作用，如楼房阳台，如图 4-16(a)所示。这时物体的 A 端在空间各个方向上的运动(包括平移和转动)都受到限制，这类约束称为固定端约束。其简图如图 4-16(b)所示。其约束反力可这样理解：一方面，物体受约束部位不能平移，因而受到一约束反力 作用；另一方面，也不能转动，因而还受到一约束反力偶 的作用。如图 4-16(c)所示。图4-16四、 物体受力分析将所研究的物体或物体系统从与其联系的周围物体或约束中分离出来，并分析它受几个力作用，确定每个力的作用位置和力的作用方向，这一过程称为物体受力分析。物体受力分析过程包括如下两个主要步骤。(1) 确定研究对象，取出分离体。待分析的某物体或物体系统称为研究对象。明确研究对象后，需要解除它受到的全部约束，将其从周围的物体或约束中分离出来，单独画出相应简图，这个步骤称为取分离体。(2) 画受力图。在分离体图上，画出研究对象所受的全部主动力和所有去除约束处的约束反力，并标明各力的符号及受力位置符号。这样得到的表明物体受力状态的简明图形，称为受力图。下面举例说明受力图的画法。【例41】 重量为G的梯子AB，放置在光滑的水平地面上，并靠在铅直墙上，在D点用一根水平绳索与墙相连，如图4-17a所示。试画出梯子的受力图。 解：（1）将梯子从周围物体中分离出来，作为研究对象画出其隔离体。（2）画出主动力，即梯子所受重力G，作用于梯子的重心，方向垂直向下。（3）画墙和地面对梯子的约束反力。根据光滑结束面约束的特点，A、C处的约束反力、与地面、梯子垂直并指向梯子。（4）D点绳索提供的约束反力应沿着绳索的方向并离开梯子。梯子受力图如图4-17b所示。 （a） （b）图4-17【例42】 如图4-18a所示，简支梁AB跨中受到集中力F的作用，A端为固定铰支座约束，B端为动铰支座约束。试画出梁的受力图。解：(1) 取梁AB为研究对象，解除A、B两处的约束，画出其隔离简图。(2) 在梁的中点C画出主动力F(3) 在受约束的A处和B处，根据约束类型画出约束反力。B处为可动铰支座约束，其反力通过铰链中心且垂直于支撑面；A处为固定铰支座约束，其反力可用通过铰链中心且相互垂直的分力、表示。梁的受力图如图4-18b所示。 （a） （b） 图4-184-2平面力系在工程中，作用在物体上的力系往往有多种形式。如果力系中各力的作用线在同一平面内，则称为平面力系。平面力系又分为平面汇交力系、平面平行力系和平面一般力系。平面力系的分类与力学模型见表4-1表4-1 平面力系的分类与力学模型分类工程实例力学模型描述平面汇交力系 作用在物体上各力的作用线都在同一平面内，且都相交于一点平面平行力系 平面力系中各力的作用线互相平行平面一般力系 作用在物体上的力的作用线都在同一平面内，且呈任意分布一、共线力系的合成与平衡观察图4-19中的拔河运动，你能指出拔河双方各自的合力作用在何处吗？你能用二力平衡公理解释吗？图4-19各力的作用方向在同一条直线上的力系称为共线力系。如图4-20所示，、为作用在同一条直线上的共线力。如果规定某一方向（如X轴的正方向）为正，则它的合力大小为各力沿作用线方向的代数和。合力的指向取决于代数和的正负：正值代表作用方向与X轴同向；负值代表作用方向与X轴反向。用公式表示为： 或写成 上式即为共线力系的合成公式。 图4-20由二力平衡公理可知：当合力FR=0时，表明各分力的作用相互抵消，物体处于平衡状态。因此，物体在共线力系作用下平衡的充要条件为：各力作用线方向的代数和等于零，即：二、平面汇交力系1、平面汇交力系作用于物体上的各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。在工程实际中经常遇到，如图4-21所示型钢上的受力及图4-22所示吊环上的受力等。图4-21 图4-22（1）力的合成根据力的平行四边形公理我们知道，可以用一个力代替几个力的共同作用，且效果完全相同，则这个力称为那几个力的合力。已知几个力，求其合力的过程称为力的合成。力的合成要遵循力的平行四边形公理。（2）力的分解将一个已知力分解为两个分力的过程称为力的分解。力的分解是力的合成的逆运算。力的合成是已知平行四边形的两邻边，求对角线的过程，力的分解则是已知平行四边形的对角线，求两邻边的过程； 由一条对角线可以做出无数个平行四边形，这就有无数个解。因此必须要有附加条件，才可求出其确定的解。工程中最常用的是将已知力分解成两个互相垂直的分力，其分解方法如图4-23所示。从已知力F的终点分别作两个互相垂直的分力平行线，且交于两垂直分力的作用线，得到一个矩形，这个矩形的两个邻边即为力的两个分力和。若力与分力的夹角为已知，则：， 图4-23（3）力的投影总所周知，空间物体在灯光的照射下，会在地面或墙壁上出现它的影子。投影法就是根据这一自然现象并经过科学的抽象所总结出的用投射在平面上的图形表示空间物体形状的方法。 （图4-24）图4-24为了能用代数计算方法求合力，需引入力在坐标轴上的投影这个概念。设有一已知力作用于构件的点A（图4-25），在力F作用线所在平面建立直角坐标系Oxy，从力的始点A和端点B分别向x轴、y轴作垂足a、b和a、b。通常F在x轴上投影用表示，在y轴上的投影用表示。、是力F沿x轴、y轴分解所得到的两征缴分力，其正负号规定为：若投影的指向与坐标轴正向一致为正，反之为负。由直角三角形ACB可以看出：图4-25 式中，、分别为F与x、y轴的夹角。显然，利用力在直角坐标轴上的投影可以表示力在直角坐标上分力的大小和方向。2、平面汇交力系的平衡图4-26a所示为同一直线上共点力的平衡示意图，图4-26b所示为非同一直线上三个共点力的平衡示意图。（a） （b）图4-26可以看出，平面汇交力系可以合成一个合力。显然，由共线力系可知：如果合力等于零，则物体在该平面汇交力系的作用下处于平衡状态。由此可得平面汇交力系平衡的充要条件：该力系合力的大小等于零，即：要想上式成立，则必须同时满足：由此可得平面汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有力在任意两个坐标轴上投影的代数和均为零。 上式也称为平面汇交力系的平衡方程。这是两个独立的方程，可以解出两个独立的未知量。解题时，未知的的方向不明时可先假设，若计算结果为正，则表示所设指向与力的的实际指向相同；若为负值，则表示所设指向与力的实际指向相反。解题前须知：（1）平面汇交力系平衡求解步骤如下： 1）选定研究对象（即确定所要计算的平衡物体），按要求画出其受力图。 2）选定适当的坐标轴，画在受力图上，并作各个力的投影。 3）列平衡方程并解出未知量。如求出其未知力为负值，则表明该力的实际指向与受力图中所示指向相反。遇到这种情况，受力图不必改正，但在答案中必须说明。（2）在受力图上选择坐标轴时，坐标轴尽量与未知力垂直或与多数力平行，将坐标原点放在汇交点处。【例43】 曲柄冲压机如图4-27a所示，冲压工件时冲头B受到工件的阻力=30kN，试求当30时连杆AB所受的力及导轨的约束力。解：（1）取冲头B为研究对象，其受力图如图4-27b所示。（2）作用于冲头的力有工作阻力、导轨约束力和连杆作用力。建立坐标系如图2-28b所示。（3）作投影=-cos60=-cos30=，=0按图示坐标列出平衡方程，+=0，-cos60=0，+=0，-cos30=0得：（力的方向与图示方向相同）（a） （b） 图4-27三、平面力偶系1、力矩力对物体的作用有移动效应，也有转动效应。力使物体绕某点(或某轴)转动效应的度量，称为力对点(或轴)之矩。（1）力对点之矩观察图4-28，你能指出决定门朝哪边转动的条件吗？图4-28再以扳手旋转螺母为例，由经验可知，螺母能否转动，不仅取决于作用在扳手上的力的大小，而且还与点O到的作用线的垂直距离h有关。我们用与h的乘积来度量力使螺母绕点O转动效应的大小，其中点O称为矩心，距离h称为对点O的力臂，如图4-29a、b所示。图4-29力对点O之矩定义为：力的大小与力臂h的乘积冠以适当的正负号，以符合表示。转动有逆时针和顺时针两个转向，如图4-29a、d所示。通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正；反之为负。力矩在下列两种情况下等于零：1）力等于零。2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零，如图4-29c所示。在国际单位制中，以牛顿米（简称牛米）为力矩的单位，记作Nm（2）合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于力系中各分力对于同一点力矩的代数和。即：【例44】 如图4-30a所示，圆柱直齿轮受啮合力的作用。设 =1400N，压力角20，齿轮的节圆（啮合圆）半径r=60mm，试计算力对轴中心O的矩。 解法一： （按力矩定义求解）由图4-30a有：解法二： （用合力矩定理求解）：将力分解成圆周力（或切向力）和径向力，如图4-30b所示，则有： （a） （b）图4-302、力偶与力偶的性质（1）力偶的概念由大小相等，方向相反，作用线平行但不共线的两个力组成的特殊力系，称为力偶，记为(， )，如图 4-31所示。组成力偶的两个力之间的距离称为力偶臂，两个力所在的平面称为力偶的作用面。图4-31实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力越大或力偶臂越大时，力偶使刚体转动效应越明显。力偶对物体的转动效应决定于力偶中力的大小、力偶臂的大小及力偶在作用面内的转向。力与力偶臂的乘积称为力偶矩，用或表示：力偶矩是代数量，一般规定：力偶为逆时针转向时力偶矩为正，反之为负。（2） 力偶的性质1）力偶无合力，同时也不能和一个力平衡，只能用力偶来平衡。2）力偶对其作用面内任一点之矩恒为常数，且等于力偶矩，与矩心的位置无关。推论1：力偶可在它的作用面内任意移动和转动，而不改变它对物体的作用效果推论2：同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，就不会改变力偶对物体的作用效果。（3）力偶的表示方法力偶可用力和力偶臂来表示，或用带箭头的弧线表示，箭头表示力偶的转向，表示力偶的大小。 如图4-32所示。图4-323、平面力偶系的简化与平衡（1）平面力偶系的简化如图4-33所示，作用在物体上同一平面内由若干个力偶所组成的力偶系称为平面力偶系。平面力偶系的简化结果为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即 图4-33（2）平面力偶系的平衡平面力偶系的简化结果为一合力偶，当其合力偶矩为零时，表明使物体顺时针方向转动的力偶矩与使物体逆时针方向转动的力偶矩相等，作用效果相互抵消，物体保持平衡状态，也就是相对静止或匀速转动，因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件所有力偶矩的代数和等于零。【例45】 多刀钻床在水平工件上钻孔（如图4-34），每个钻头的切削刀刃作用于工件上的力在水平面内构成一力偶。已知切制三个孔对工件的力偶矩分别为，求工件受到的合力偶矩。如果工件在A、B两处用螺栓固定，A和B之间的距离 ，试求两个螺栓在工件平面所受的力。解：（1）求三个主动力偶的合力偶矩负号表示合力偶矩为顺时针方向。（2）求两个螺栓所受的力选工件为研究对象，工件受三个主动力偶作用和两个螺栓的反力作用而平衡，故两个螺栓的反力、必然组成为一力偶，设它们的方向如图4-34所示。由平面力偶系的平衡条件得：解得：=220N（力的方向与图示方向一致）图4-34四、平面一般力系1、平面一般力系的简化（1）力的平移定理观察图4-35中书本的受力情况，在图4-35a中。当力通过书本的重心C时，书本沿力的作用线只发生移动。图4-35b中，将力平移到任意点D，书本将产生怎样的运动呢？什么条件下，书本仍可沿力的作用线只发生移动？ （a） （b）图4-35我们已经知道，力对物体的作用效果取决于力的大小、方向和作用点。力沿作用线移动时，力对刚体的作用效果不变。但是，如果保持力的大小、方向不变，将力的作用线平移到另一个位置，则力对刚体的作用效果将发生改变。如图4-36a所示，设是作用在刚体上点A的一个力，点O是刚体上力作用面内的任意点，在点O加上两个等值、反向的力和，并使这两个力与力平行且=-，如图4-36b所示。显然，由力、和组成的新力系与原来的一个力等效。（a） （b） （c）图4-36这三个力可以看做是一个作用于点O的力和一个力偶（，）。这样，原来作用在点A的力，现在被力和力偶（，）等效替换。由此可见，把作用在点A的力平移到点O时，若使其与作用在点A等效，必须同时加上一个相应的力偶，这个力偶称为附加力偶，如图4-36C所示，此附加力偶矩的大小为：上式说明，附加力偶矩的大小及转向与力对点O之矩相同。由此可得力的平移定理：若将作用在刚体某点的力平行移到刚体上任意点而不改变原力的作用效果，则必须同时附加一个力偶，这个力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。 （2）力的平移性质1）当作用在刚体重心上的一个力沿其作用线滑动到任意点时，因附加力偶的力偶臂为零，故附加力偶矩为零。 2）当力的作用线平移时，力的大小、方向都不改变，但附加力偶矩的大小与正负一般会随指定点O的位置的不同而不同。 3）力的平移定理是把作用在刚体上的平面一般力系分解为一个平面汇交力系和一个平面力偶系的依据。（3）平面一般力系的简化如图4-37所示，设刚体上作用有平面一般力系（、），在平面内任取一点O，点O称为简化中心。根据力的平移定理，将力系中的各力分别平移到简化中心O，得到一个平面汇交力系和一个附加力偶系。 = =图4-372、平面一般力系的平衡方程及应用（1）平面一般力系的平衡方程若使刚体处于平衡，则必须满足作用于刚体上的合矢力=0