利用数学美激发学生的学习兴趣(2).doc

利用数学美激发学生的学习兴趣（甘肃省泾川县荔堡中学 闫天虎）摘 要 数学课程标准中强调数学教学要注重解决问题能力、数学思想方法的培养和学生对数学的体验.教师应该充分挖掘数学中的美学因素,让学生体会数学美,以激发学生学习数学的兴趣.使数学教学由枯燥乏味变得有趣有用,令课堂充满生机和活力,使数学教学成为一门艺术.关键词 数学美; 感受美; 品味美; 对称美; 规律美; 奇异美我教的是高中数学,教着优秀生,也教着学困生.优秀生比较好教,因为是玉,琢一琢便成器.而学困生,说老实话:“教得最苦,分数最低”.加之数学本身的内容枯燥乏味,晦涩难懂,所以学生也就大伤脑筋,久而久之,学生对数学也就敬而远之,成绩自然不理想.再则现行的考试,不仅是考学生,也可以说是考老师,教师在名誉,职称等重压之下,比学生更加关注成绩, 于是教师便去强压强添,而结果却是收效甚微.一位教育家曾说过:“如果人们吃饭没有食欲,勉强地把食物吞到胃里去,其结果只能引起恶心和呕吐,至少是消化不良,健康不佳.反之,他就会乐意接受,并且很好地消化它.”然而兴趣和热爱是最好的老师,是一种无形的力量,是学好数学的保证.学生怕数学,讨厌数学,症结就是缺少对数学的热爱.那么怎样培养学生对数学的兴趣,把要学生学数学,变成学生自己要学数学, 把枯燥乏味的数学,变成有趣有用的数学呢？我认为利用数学美来激发学生学习数学的兴趣是一种行之有效的方法.什么是兴趣？兴趣就是发现优点.数学究竟美在哪里呢？法国数学家庞加莱说得十分中肯:“到底是什么使我们感到一个解法,一个证明优美呢？哪就是各个部分之间的和谐,对称,恰到好处的平衡.”下面我用例子谈谈如何利用数学美来激发学生学习数学的兴趣.1数学问题,浩如烟海,求解时很难找到一定的模式.有时,在“美的号召”下,凭借美的感受,领悟问题显露的美,并以此为思维向导,另辟蹊径,常可获得别开生面的妙解.案例 求证:自然数列的前和我便引导学生利用数学对称美来解.设 倒过来 + 得: 此解法原于平面镜成像原理,物和像到镜面的距离相等,即对称性. 你比再方说:毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形.这是数学中对称美最好的典型事例. 案例 计算 :我便引导学生利用数学规律美来解决此问题.想到组合数性质:,原式数学问题中存在规律美,规律美在哪里？美在对她的发现,美在对她的品味,美在对她的巧妙运用.案例3（年全国高考,题）已知: 则的最小值是（ ） 我便启发学生利用数学和谐美来解决此问题.这个问题可以这样去理解:表示数轴上的点到点的距离的和,由绝对值的几何意义可知当时,有最小值这个问题也可以这样去理解:(1)设甲,乙个村子地处在同一直线上,问在何处打一水井,使得个村子的居民到水井打水的距离之和最小？(2)设甲,乙,丙个村子地处在同一直线上,问在何处打一水井,使得个村子的居民到水井打水的距离之和最小？()设甲,乙,丙个村子地处在同一直线上,问在何处打一水井,使得个村子的居民到水井打水的距离之和最小？通过教师巧妙的启发学生很快归纳得出了相应的结论:设表示村子的个数,表示水井的位置,当为偶数时,水井打在距离第一个村子处,这个村子的居民到水井打水的距离之和最小;当为奇数时,水井打在在距离第一个村子处,这个村子的居民到水井打水的距离之和最小;此解法找到了实际生活背景“离你近点,离我近点,大家打水都方便,生活便和谐”,同时也体现了数学和谐美,令人兴奋使学生跃跃欲试.你再比方说:美神维纳斯的美被所有人所公认,原因是她的身材比恰恰是黄金分割比（）一个神圣的比例,在它的身上我们看到的是最完美的和谐.2数学思想,种类繁多.教师若能用优美,风趣的文学语言去诠释数学思想,就会使数学思想具体形象,生动活泼,富有美感.学生不但理解的深刻,而且记忆犹新.案例 数形结合思想的介绍我是这样诠释的:数形结合是中学数学的重要思想方法,数形结合就是为了解决问题我们要把图形和数据一并表出,以形定性,以形助数;用数定量,用数解形.形象地说:就是“缺数难入微,无形少直观.数形本相依,岂可两分离.数形结合颇可完美！”数与形好比一对夫妇,形影不离,心心相印.数与形又好比一只鸟的双翼,要数学这只鸟展翅高飞,必须双翼丰满！著名数学家华罗庚也曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事休”.这说明,以形助数,可使许多抽象的概念和复杂的关系直观化、形象化、简单化;而用数解形,借助数量的计算和分析,可使问题的解决严谨化,善于用图形往往能很快获得解题途径、方法;有些同学在解题时经常将二者分裂开来,导致解题冗繁甚至错误,不善用图,往往容易陷入四处碰壁的被动局面,以失败告终. 例如 已知方程及方程的根分别是和,则剖析:本题给出的两个方程均属超越方程,在高中阶段,试图通过分别求出两方程的根,再求出两根之和的办法是相当困难的.你尝试过吗？其实本题利用数形结合的思想可一举获得成功.方程,即,方程,即. 图1-1 图2-1在同一直角坐标系中分别画出函数,的图象,如图1-1所示,则,分别是与,与的图象交点、的横坐标.注意到与的图象关于直线对称,而直线与直线互相垂直,垂足为,那么必为线段的中点,由,得的横坐标为.根据中点坐标公式易得.案例 辅助元思想的介绍我是这样诠释的:辅助元思想就是为了解决问题的需要去做辅助线,辅助角,辅助变元（中间变量）,构造辅助函数,使所求问题简捷化.形象地说:就是“搭桥”,“造船”,找“纽带”;就是找“月老”,找“红娘”来牵线;就是典型的“他山之石,可以攻玉”！构造法是在辅助元思想指导下变更已知数学形式,构造另外一种形式解题的方法.下面给出一个用构造法解题的示例.例如 当是锐角时,求证:证明:构造如图2-1的单位圆.,则弧,过点作切线交的延长线于,过做,是垂足,因为单位圆的半径,显然有:,即:,.案例 化抽象为具体思想的介绍我是这样诠释的:变抽象为具体,就是抽象问题具体化,熟悉化,化为我们熟知的雏形（原型,母式）形象地说:“就是你与她前生有约定,今生来相会.而她却带上了神秘的面纱,你便是揭开面纱的人！”有些数学问题,当其仅以数学特性,及抽象的数学符号的形式来陈述时,常常显得复杂,抽象,使解题陷入困境,这时可考虑化抽象为具体思想,通过其满足的特性刻画出具体的雏形,有时显得具体,明确,豁然开朗.例如 已知是定义在上的函数且有,.求:的值解析:由所满足的三个特性,可联想到指数函数,将其具体化为易得 .记得当时的却是这样讲的,学生听得很认真,连平时上课长睡不肯醒的学困生听得都是津津有味,课后都在津津乐道:原来,数学思想是黑夜里熊熊燃烧的篝火,它给无助的人们不仅带来了光和热,而且指明了前行的方向.3数学故事,绚丽多彩,美丽动人;数学家的轶事,令人感叹不已, 引人入胜;数学家的研究,硕果累累,奥妙无穷！课余时间抽空给学生多讲些数学故事,可激发学生学习数学的兴趣,说不准无意插柳柳成荫,学生还会爱上数学.案例 亲合数的故事公元年,古希腊的毕达哥拉斯发现了这样的一对数与,他说:的所有真因子之和等于,而的所有真因子等于即:,;结果事实如此.与之间“你中有我,我中有你”的关系多像一对形影不离,心心相印的好朋友呀！人们惊叹于这两个数之间亲如手足般的微妙关系,从而把它们看作友谊的象征.称之为“亲和数”这就是数学史上的第一对“亲和数”自从第一对“亲和数”被发现之后,人们怀着极大的兴趣就像大海探宝一样,继续寻找着亲和数.相继发现了:17296与18416,9363584与9437056等多对亲和数.然而颇具戏剧性的是,第二对亲和数1184与1210,竟然逃过了众多数学家的火眼金睛,被一位年仅16岁的意大利男孩帕哥尼于1866年发现！这不就是数学的奇异美吗？相信在座的各位也能发现新的亲和数,只要你们有好奇性！案例 不合情理的约分全世界有很大影响的俩份杂志曾联合邀请全世界的数学家们评选“近年的最佳数学问题”,其中有一道相当简单的问题:有哪些分数型如,不合理地把约去得到结果却是对的？经过一种简单的计算,可以找到四个分数:,.这个问题涉及到“运算谬误,结果正确”的歪打正着.在给人惊喜之余,不也展现一种奇异美吗？还有一些“歪打正着”的例子,比如:,.这其中的玄妙是不是很奇异,很美妙.案例 丢番图的故事古希腊数学家丢番图的墓碑文用独特的方式介绍他的平生.“过路人,这里安葬着丢番图.他生命的是幸福的童年,生命的是青少年时代,又过了生命的才结婚.婚后的年有了一个孩子,孩子活到父亲的一半年纪就死去了.孩子死后,丢番图在深深的悲哀中活了年、,也结束了尘世的生涯.过路人,你知道丢番图的年纪吗？”丢番图是古希腊最后一位数学家,他的碑文写得多么妙！多么奇特！这是用未知的方程写出了已知的一生,谁想知道丢番图的年纪,谁就得解一个一元一次方程:设表示丢番图的年纪,则 解得,即丢番图享年岁,碑文是一个方程应用题,丢番图写这个碑文的目的是,提醒前来瞻仰的人们,不要忘记他所献身的事业.通过老师对数学故事的讲述,学生的心灵被震撼了.他们从数学家的身上看到了智慧的火花,人生的真谛,领悟到了热爱才是最好的老师.数学前辈们生前酷爱数学,直至生命的最后一刻都不忘数学.这世上唯有至情至圣的东西,我们才会动真感情.如果说数学是你的生人,你会与他形同陌路,你会对他视而不见;如果说数学是你的友人,你会与他义结金兰,你会对他肝胆相照;如果说数学是你的爱人,你会与她形影相随,你会对他至死不渝.以上三点做法或多或少的表明:学生在获得美的感受的同时,学习兴趣和求知欲望必然得到激发.他们不会再讨厌数学了,反而会喜欢数学.正如伟大的教育家孔子所说“知之者不如好之者,好之者不如乐之者”.不管怎样只要我们有一颗炽热的心,有一份涌动的激情,潜心研究,充分挖掘数学中的