利用传递矩阵法和Riccati传递矩阵法分析转子临界转速.doc

利用传递矩阵法和Riccati传递矩阵法分析转子临界转速一、 所需求解转子参数将转子简化为如下所示：三个盘的参数为：另，阶梯轴的三段轴的截面惯性矩分别为： 三段轴的单位长度轴段的质量分别为：二、 试算转轴的传递矩阵取试算转速 ; 则，各轴段的传递矩阵分别为：第1段 第2段 第3段 第4段 第5段 第6段 此6段传递矩阵均采用MATLAB编程求解，MATLAB的源文件为H.m三、 采用传递矩阵法进行各段轴的状态参数的传递初始参数列阵为:令，则初始矩阵可化为：以初始矩阵乘第一轴段的传递矩阵，则可得第一段轴的终端状态参数：由于考虑支座的支撑刚度系数变化从，先取，那么，此处，则可得支座A后第2段的起始端参数阵为：用第2段的传递矩阵乘此矩阵，可得第2段终端参数：用中间圆盘的传递矩阵乘第2段终端参数阵，即可得第3段起始端参数：用第3段传递矩阵乘其始端参数矩阵：用上式乘以支座刚度矩阵，得其终端参数：则，根据可得： ,则可得支座B后第4段的起始端参数阵为：同上，用此段轴的传递函数乘其起始端的状态参数，可得：则，根据可得： 则，可得第5段的起始参数矩阵：其中，为铰链处的转角。用第5段的传递矩阵乘此参数矩阵，即得第5段的终端参数：用上式乘以支座刚度矩阵可得第6段的初始状态参数阵：则，用第6段的传递矩阵乘此状态参数即可得其终端的参数阵：根据最右边盘得传递矩阵，可得转子终端的状态参数：则根据终端的自由状态，则应该;通过令解出，并将其带入到的表达式中，可得：；此处使用的MATLAB源程序为calculate.m在MATLAB中使用线性插值法寻找最佳p值使得逼近于0。其程序为rotor.m经计算，考虑支撑刚度变化之间时，取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为因此随着刚度的增加，一阶临界转速的值越来越大，而当不考虑支座的刚度变化，假设为完全刚性的话，一阶临界转速值为，因此当取时一阶临界转速值已相当接近完全刚性的情况。四、 采用Riccati传递矩阵法进行各段轴的状态参数的传递根据Riccati传递矩阵法的原理，只需在传递矩阵法的基础之上求得各截面的Riccati传递矩阵。将转子截面的状态参数分组：,因为左端和右端均为自由端，故，；，;所以，我们可得到左端截面的Riccati传递矩阵；根据第i+1截面、之间的Riccati变换公式：可得（同样，试算转速选为）：左盘右边截面的Riccati传递矩阵：；第1轴段末的Riccati传递矩阵：；刚性支承在此处的处理因为涉及到刚度，取的情况，所以在获取其支承左边的Riccati传递矩阵后，需将转换为(即第二类Riccati变换)，然后再代入到普通传递矩阵的式子：;可得：。最终可得：,即;此处的即为刚性支承右端截面的第二类Riccati传递矩阵。则，第2段轴段末的Riccati传递矩阵：可得：通过中间圆盘后，可得圆盘右边的Riccati传递矩阵：;则，第3轴段右边的Riccati传递矩阵为：;到达第二个刚性支承处，同样采用第二类Riccati变换，并带入Riccati传递矩阵公式：即可得：继续进行传递，第4轴段末的Riccati传递矩阵为：可得：由于，第4轴段末是球头联轴器，故，在此也要进行另外的推导，由于球头联轴器的力矩刚性系数趋近于0，则在此利用弹性铰链的传递矩阵：；把带入上式中，可得： 则，可得： 再根据第5轴段的传递矩阵，可得第5轴段末的Riccati传递矩阵：第5轴段末为一刚性支承，则同样采用第二种Riccati变换，可得刚性支承右端的Riccati传递矩阵： 同样，根据第6轴段的传递矩阵，可得第6轴段末的Riccati传递矩阵：最后，通过最后一个圆盘的传递，可以得到转子最右端的Riccati传递矩阵：即，最右边截面上应该满足：；又，由于；所以，只有当时，才能取到的值，所以只有临界转速值p才能使尽量接近于0。此处；此处的算法MATLAB程序为calculate2.m利用线性插值法来求取最终的临界转速值p，只需将第一次求解的rotor.m的程序中的算法程序calculate.m改为calculate2.m即可。考虑支撑刚度变化之间时，取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为取时，一阶临界转速值为因此随着刚度的增加，一阶临界转速的值越来越大，而当不考虑支座的刚度变化，假设为完全刚性的话，一阶临界转速值为，因此当取时一阶临界转速值已相当接近完全刚性的情况。附录：H.m function output = H(in1,in2,in3,in4)% in1=l in2=J in3=m in4=psyms S T U V k a E J m p l;E=2e11;l=in1;J=in2;m=in3;p=in4;k=l*(m*(p2)/(E*J)0.25;S=0.5*(0.5*(exp(k)+exp(-k)+cos(k);T=0.5*(0.5*(exp(k)-exp(-k)+sin(k);U=0.5*(0.5*(exp(k)+exp(-k)-cos(k);V=0.5*(0.5*(exp(k)-exp(-k)-sin(k);a=k/l;output=S T/a U/(a2*E*J) V/(a3*E*J);a*V S T/(a*E*J) U/(a2*E*J);a2*E*J*U a*E*J*V S T/a;a3*E*J*T a2*E*J*U a*V S;Calculate.mfunction output=calculate(in)syms p a bp=in;H1=H(0.06,1.7e-8,2.45,p);H2=H(0.15,3.2e-8,3.063,p);H3=H(0.05,3.2e-8,3.063,p);H4=H(0.03,3.2e-8,3.063,p);H5=H(0.1,0.9e-8,1.587,p);H6=H(0.06,0.9e-8,1.587,p);o1=1 a -(1-0.016/0.012)*0.012*p2*a 3.5*p2;o1=H1*o1;KK=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0 1 0;-108 0 0 1;o2=KK*o1;o2=H2*o2;K1=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0.025*p2 1 0;7*p2 0 0 1;o3=K1*o2;o3=H3*o3;o4=KK*o3;o4=H4*o4;d=solve(o4(3);o5=subs(o4,a,d);o5(2)=o5(2)+b;o5=H5*o5;o6=KK*o5;o6=H6*o6;K2=1 0 0 0;0 1 0 0;0 -(1-0.016/0.012)*0.012*p2 1 0;3*p2 0 0 1;oo=K2*o6;RC=solve(oo(4);ee=subs(oo(3),b,RC);output=double(ee);ee=vpa(ee); Calculate2.mfunction output=calculate2(in)syms p k;p=in;H1=H(0.06,1.7e-8,2.45,p);H2=H(0.15,3.2e-8,3.063,p);H3=H(0.05,3.2e-8,3.063,p);H4=H(0.03,3.2e-8,3.063,p);H5=H(0.1,0.9e-8,1.587,p);H6=H(0.06,0.9e-8,1.587,p);S=0 0;0 0;K1=1 0 0 0;0 1 0 0;0 -(1-0.016/0.012)*0.012*p2 1 0;3.5*p2 0 0 1;T22=K1(1,1:2);K1(2,1:2);T21=K1(1,3:4);K1(2,3:4);T12=K1(3,1:2);K1(4,1:2);T11=K1(3,3:4);K1(4,3:4);S1=(T11*S+T12)*inv(T21*S+T22);T22=H1(1,1:2);H1(2,1:2);T21=H1(1,3:4);H1(2,3:4);T12=H1(3,1:2);H1(4,1:2);T11=H1(3,3:4);H1(4,3:4);S2=(T11*S1+T12)*inv(T21*S1+T22);iS2=inv(S2);KK=0 0;-105 0;I=eye(2);iS3=iS2*inv(I+KK*iS2);T11=H2(1,1:2);H2(2,1:2);T12=H2(1,3:4);H2(2,3:4);T21=H2(3,1:2);H2(4,1:2);T22=H2(3,3:4);H2(4,3:4);S4=(T21*iS3+T22)*inv(T11*iS3+T12);K2=1 0 0 0;0 1 0 0;0 0.025*p2 1 0;7*p2 0 0 1;T22=K2(1,1:2);K2(2,1:2);T21=K2(1,3:4);K2(2,3:4);T12=K2(3,1:2);K2(4,1:2);T11=K2(3,3:4);K2(4,3:4);S5=(T11*S4+T12)*inv(T21*S4+T22);T22=H3(1,1:2);H3(2,1:2);T21=H3(1,3:4);H3(2,3:4);T12=H3(3,1:2);H3(4,1:2);T11=H3(3,3:4);H3(4,3:4);S6=(T11*S5+T12)*inv(T21*S5+T22);iS6=inv(S6);iS7=iS6*inv(I+KK*iS6);T11=H4(1,1:2);H4(2,1:2);T12=H4(1,3:4);H4(2,3:4);T21=H4(3,1:2);H4(4,1:2);T22=H4(3,3:4);H4(4,3:4);S8=(T21*iS7+T22)*inv(T11*iS7+T12);KKK=0 0;1/k 0;S9=S8*inv(I+KKK*S8);S9=limit(S9,k,0);T22=H5(1,1:2);H5(2,1:2);T21=H5(1,3:4);H5(2,3:4);T12=H5(3,1:2);H5(4,1:2);T11=H5(3,3:4);H5(4,3:4);S10=(T11*S9+T12)*inv(T21*S9+T22);iS10=inv(S10);iS11=iS10*inv(I+KK*iS10);T11=H6(1,1:2);H6(2,1:2);T12=H6(1,3:4);H6(2,3:4);T21=H6(3,1:2);H6(4,1:2);T22=H6(3,3:4);H6(4,3:4);S12=(T21*iS11+T22)*inv(T11*iS11+T12);K3=1 0 0 0;0 1 0 0;0 -(1-0.016/0.012)*0.012*p2 1 0;3*p2 0 0 1;T22=K3(1,1:2);K3(2,1:2);T21=K3(1,3:4);K3(2,3:4);T12=K3(3,1:2);K3(4,1:2);T11=K3(3,3:4);K3(4,3:4);S13=(T11*S12+T12)*inv(T21*S12+T22);ee=det(S13);output=double(ee); rotor.msyms a b;a=1200;b=2300;a1=a+0.5*(b-a);f1=calculate(a