（计算数学专业论文）发展型方程的h1galerkin混合有限元方法.pdf

摘要 本文主要研究各向异性网格f 圩- 一g n f e r 胁混合有限元方法在发展型方程 中的若干应用首先对两个逼近空间都是备向异性非协调矩形元的悸况，根据 单元特点并通过引入新的方法和技巧，在不需采用z i 把投影情况下，对三类 不同的方程得到了与传统方法楣同的误差估计 其次，把逼近空问分别取成具有备向异性特征的协凋线性三角形元和一个 新的二次h e m t 怡型三角形元，针对双曲型积分方程，给出了相应的收敛性分 析及其误差估汁 最后，本文研究了逼近空间取为协调鲍四边形q 1 元和非协调类彬t f s o n 元 的情况，同样在剖分网格不满足正则性条件下，得到了与传统方法相同的能量 模和l 2 模洪羞估计从丽拓宽了混合有限元方法的应用范围 关键调：h 1g 矗衙航n 混合元方法，非协调元，各向异性，发展方程 误差分析 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，、v ef o c u so nt h es t u d yo ft h ea p p l i c a t i o n so f 日1 一g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di ne v o l u t i o ne q u 8 t i o n so na n i s o t r o p i cm e s h e s a tf i r s t ，w ec o n s i d e rt h ec a s e w h e nt h et w oa p p r o 蜮m a t i o ns p a c e sa r en o n c o m f o r m i n g6 n i t ee l e m e n t s ，b ym e a n so ft h e n o v e lt e c h n i q u e sa n dt h et y p i c 出c h a r a c t e r i s t i c so ft h ee l e m e n t s ，t h es a m ee r r o re s t i m a t e so f c o n v e r g e n c ea st h ec l a s s i c a lm e t h o d sa r ep r e s e n t e dw i t h o u tr e q u i r i n gt h er i t zp r o j e c t i o n n e x t ，w es t u d yt h ec 蠲ew h e nt h ea p p r o x i m a t i o ns p a c e sa r et h ea n i s o t r o p i cl i n e a rt r i a n _ g u l a re l e m e n ta n dan e wc o n f o r m i n gt r i 8 n g l l l a rh e h n i t e - t y p eo n e ，b yt a k i n ga d v a n t a g eo f as e r i e so fn e wa p p r o a c h e s ，t l l ec o n v e r g e n c ea n a l y s i so fh y p e r b o l i ct y p ei n t e g r o d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n si sp r o v i d e d ，t h e 盯r o re s t i m a t e sa r ea l s oo b t a i n e d f i n a l l y ) w ed i s c u s st h a tt h ec o m b i n a t i o no fc o n f o r m i n gq u a d r i l a t e r a lq 1e l e m e n ta n d n o n c o n f o r m i n gq u a s i w i l s o ne l e m e n to na n i s o t r o p i cm e s h e s t h ee r r o re s t i m a t e so ft h e e n e r g yn o r ma n dl 2 一n o r ma r eo b t a i n e d ，w h i c ha r et h es a m ea st h 0 8 eo ft h et r a d i t i o n 出 m e t h o d s t h u st h er e 8 u l t so ft h i sp a p e re x t e n dt h ea p p l i c a b l es c o p eo ft h em i x e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d s 、 k e yw b r d s ：日1 一g a l e r k i nm i x e d 矗n i t ee k m e n tm e t h o d ；n o n _ c o m f o r m m g ； a n i s o t r o p i c ；e v 0 1 u t i o e q u a t i o n s ； e r r o ra n a l y s i s 2 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、 抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为，否则本人愿意承担由此产生的一 切法律责任和法律后果，特此郑重声明。 学位论文作者( 签名) ： 丑囟 z 二零零六年牛月矽日 引言 有限元方法的基本思想就是将微分方程边值问题转化为相应的变分问题， 然后再利用分片多项式离散但是对同一微分方程边值问题，存在着不同的变 分形式混合变分形式可以把一个高阶问题用低阶方程组代替而产生，而混合 有限元方法则是用离散的有限元空间里的函数逼近上述混合变分形式利用混 合有限元方法有很多优点，例如在计算多孔介质流时，通常计算速度，如用通 常的有限元法，只能先求出压力，然后求导得到速度，这样做将降低精度，而 利用? 昆合有限元方法求解，可同时求出压力和速度，提高了离散解的精度此 外，许多问题本身自然的g a l e r 舌n 逼近只能采用混合有限元方法，例如s t o k e s 问题的有限元逼近t 昆合有限元方法已有很多研究【1 5 ，但是这种方法通常所 涉及两个有限元逼近空间需要满足所谓的z n ，一s 即条件或l b b 条件，这大大 地限制了混合有限元方法使用 p a p 】提出了日1 一g 。f e r 七锄混合有限元方法，它使得这两个有限元空间坛 和取成不同次数的多项式空间，而且不须验证l b b 相容性条件，同时对 剖分网格也没有提出一致条件f 7 j 但在估计h 一模时却需要满足正则性条件 在实际应用中，对于窄边区域，如果采用传统的正则剖分计算量将会非常 大这时如果采用各向异性剖分可以用较少的自由度而得到同样的估计但在 这种情况下，传统的引理在插值误差跟分析中已不再使用，而且对于非协调元 来说其传统边界估计技巧也不再使用，因为此时对单元的长边其误差估计可能 趋于无穷ta p e l 【8 】等人研究了各向异性下协调元的误差估分析，并给出了判 别一个单元是否具有各向异性的判定定理，但这种方法有时难以验证陈绍春 和石东洋j 对它进行了改进，给出更为一般的各向异性判定定理，并将之应 用到实际问题中，取得了许多有意义和价值的成果f 1 1 1 4 1 最近，对于二阶或四阶椭圆问题在各向异性网格下出现了关于非协调混合 有限元的研究 1 5 1 8 j ，而对发展型方程非协调混合元还没有研究另外到目前 为止对h 1 一g n f e r 七z n 混合有限元方法的研究 6 ，1 9 ，2 0 都是在正则网格下对协 调元进行的，而且r i 把投影是必不可少的工具本文主要的目的是将各向异 性网格下非协调何1 一g 。把r m 混合有限元方法应用到三类发展型方程，在不 用r 甜。投影的情形下，通过引入新的技巧和方法得到了和用传统混合元方法 相同的误差估计。 本文安排如下： 第一章：简单介绍需要用到的引理和记号 第二章：将两个逼近空间取成各向异性非协调元，通过新的方法和技巧， 根据单元特点，在不采用r i 如投影情况下，得到与传统相同的误差估计 第三章：把逼近空间分别取成具有各向异性特征的协调线性三角形元和一 个新的二次h e 姗i t e 型三角形元，针对双曲型积分方程，给出了相应的收敛性 分析及其误差估计 第四章：逼近空间取为协调的四边形q 。元和非协调类w i f s o n 元，同样在 剖分网格不满足正则性条件下，得到了与传统方法相同的能量模和l 。模误差 估计 2 第一章预备知识 1 1s d 6 0 拒u 空间及一些记号 设r “表示实礼维空间，x = ( 轧z 。，z 。) 表示舒中的点令qcr n ， o = ( 。n 。) 是一多重指标，其每一分量都是非负整数，且记q 的长度为 混合偏导记为 s 。6 0 f e 空间定义为 i n i = 。 1 9 茎“ 脚= 丽高瓦 空间w 一( q ) 的范数和半范分别记为 w ”9 ( q ) i f = 上【d “ l d z i n i ! m 1 ”；w “9 ( n ) l = i n p ”声 l o l = m 空间h “( f 2 ) = “，2 ( q ) 范数和半范分别简记为f i 。，和1 j 。 s o b o l e v 嵌人定理：设q 为具有l 印s c 泐边界的区域，1 n ，则w “一( q ) 一伊( q ) 即存在常数c ，讹w m 伊( q ) 存在晓上的一个连续 函数与u 等价，仍记为u ，使得 。( 。) 曼c ，州。) h d l d e r 不等式：设l p ，qs 。o ，1 = ：+ ：，妒( q ) ，9 ( q ) 则厂9 三1 ( q ) ， 且f 1 ，9 怯( n ) m 川圳皿 带e 的y o u n g 不等式：对于c ( ) = ( 印) 一；q 一，成立 n bs “”+ c ( e ) 泸( n 、6 0 ， o ) 3 g r o n w a l l 不等式：设( t ) 于 o ，t ) 上连续并满足： ! ，( t ) s 珈+ z a ( r ) ( r ) 打 其中a ( t ) o 且a ( t ) l 1 ( o ，t ) ，贝4 ( t ) s 珈e 印( z 。a ( r ) 打) 1 2有限元中的一些引理 l a x - m i l g r a m 引理设h 是为日i f 6 e 竹空间，a ( ，) 定义在h h 上的双线形 泛函，如果满足： ( 1 ) 有界性，即存在正常数c 使 l o ( ， ) l e | | 札f 抒i i | | 打讹， h ( 2 ) 强制性，即存在正常数，y 使 i o ( ，u ) 7 | i 口| | 备v 日 则对任意，日7 ，存在唯一的“，使 其中h 7 为日的共轭空间 求解微分方程数值的有限元方法需要先将微分方程转化为与其等价的变分 形式，如j 9 z 州c m 酣边值问题转化为：求“日j ，使 n ( u ，”) = | 厂( ”) ，帕嘲 设v 为日z z 6 e 九空间，对下面一般的抽象变分问题，求。鳏使 n ( “， ) = ，( ) ，讹明f 3 1 1 4 给定区域q 的一个剖分尻，一般为三角形或者四边形单元k 玩，记k 为 单元的直径，腑为最大内接球直径，h2 嬲k 如果存在常数g 使剖分族巩，( o o 使 n ， ) q l l u l 麦，z ， 其中z = x 陋g ) ，均m 1 ( 2 ) ) 在xxm 上满足l b b 条件，即存在常数 o 使 銎p 粼三p 引 m ，均m 则混合变分问题有唯一解( ”，p ) xxm 设，螈为x 和m 的有限元逼近空间，若溉x 且峨m 则成为协调 元空间，否则称为非协调元空间 对于协调元，混合变分问题的离散变分形式为： 求( “ ，) 螈满足， f ：f 乱n ，u h ? + ? c ” ，? ，= c 一， 一，奇。 j 吒， 。34 ， 16 ( p h ) ：( 9 砧v g h 慨， 34 对于协调元，离散的混合变分问题( 3 4 ) 犹如下结论： 基本定理2 若双线性型n ( ，) ，b ( ) 满足 ( 1 ) n ( 。) 在玩置。满足强制性，即存在血 o 使 。( ，口) 之 艮帕甄， ( 2 ) 6 ( ) 在x 螈上满足l b b 条件，即存在常数p o 使 。黑粼俐 7 则离散格式( 3 ，4 ) 有唯一解( u n ，肌) x 螈并且与连续变分形式( 33 ) 的解之 间有误差估计 i l “一u n i | x + i i p p f j m 茎e 。毫蓝。螈( f f u 一”n i x + f 旧一吼j i m )f t h ，q h t 若有限元空间是非协调的，即甄x ，螈m 至少有一个不成立 假设可以找到更大的空间和y 使得) x ， ，y ) m ，y 螈同时成 立，以及双线性n ( ，) 扩展到，6 ( ，t ) 可以延拓到y 线性泛函( ，) ，( ”) 也可以进行相应的延拓延拓后，在有限元空间上的双线性型记作n 。( ) ，“( ) 等，此时离散格式为 r in h ( u ，z 如) + 6 h ( z ，p ) = ( ， h ) ，v u ， 1 6 ( 吼) ：( 蚴) ，v 眯 基本定理3 若双线性型n 。( ，) ，h ( ，) 满足 ( 1 ) 。n ( ，) 在瓦满足强制性，即存在a o 使 ( ， ) q 惜，v ， ( 2 ) ( ，) 在玩慨上满足b b 条件，即存在常数 o 使 。畿篙警冽挑，v 慨 则离散格式( 3 5 ) 有唯一解( “n ，p n ) 凰慨并且与连续变分形式( 3 3 ) 的解之 间有误差估计 f f “一“ i f w + l 陋一p h j | y c 。毫臻。腩。( f f “一z f | w + j l j ) 一f l 】，+ 尬 + 坞 ) 其中 1 j ! 竺：垒2 二亟垒2 1 第二章日1 一g o l e r 胁n 各向异性非协调混合元在发展方程的应用 2 1引言 在讨论日，一g 削e r 锄混合有限元方法时，通常考虑的是正则网格下的协调 元即剖分满足譬se ，其k 磊，磊是q 的一个凸剖分族，满足晓= uk 这里k 是一般单元，k ，m 分别是k 的最大直径与最大内切圆直径，c 是与 h 无关的常数 另一方面，对于二阶或四阶椭圆问题在各向异性网格下出现了关于非协调 混合有限元的研究【1 5 1 8 ，而对发展型方程非协调混合元还没有研究另外到 目前为止对h 1 一g 。f e r z n 混合有限元方法的研究【6 ，1 9 ，2 0 都是在正则网格下 对协调元进行的，而且r i 比投影是必不可少的工具本文主要的目的是将各 向异性网格下非协调日1 一g n f e r m 混合有限元方法应用到三类发展型方程， 在不用r i 比投影的情形下，通过引入新的技巧和方法得到了和用传统混合元 方法相同的误差估计 2 2单元构造 为简单起见，设n 是r 2 中的一个有界凸多边形区域其边界a q 平行于z 轴或轴，玩是q 的一个矩形剖分族，即n = uk ，不要求满足上述的正则 性假设和拟一致假设v k 尻，设其中心点为( z k ，欺) ，两边分别平行于z 轴和 9 轴，两边长分别为2 。和2 h ，设霞= 一1 ，1 】卜1 ，1 是一目平面上的参考单 元，其四个顶点分别为a 1 = ( 1 ，一1 ) ，a 2 = ( 1 ，一1 ) ，a 。：( 1 ，1 ) 和缸：( 一1 ，1 ) ，四条 边为2 t = 百面，2 2 = 石蕊，3 = 否孬和；4 = 西蕊则存在可逆仿射变换氏：霞。： z = z k h 。 2 = k + 1 9 q q f 2 1 1 在詹上构造有限元( 膏，p ( ”，宝( t ) ，0 ：1 ，2 ) 如下 宝1 = ，。1 ，吃，如，也) ，户( i ) = 唧n ( 1 ，q ，妒幢) ，妒( 卵) ) 盼2 “ 音2 = 仉，。2 ，。3 ，。4 ，。1 + 伲= 。2 + i 4 ) ，户( 2 ) 。s p n 扎 1 ，叩) 1 2 5 其中魂2 击e 。豳，i = l ，2 ，3 ，4 ，。= 南& 。世咖，妒( ) ：；( 3 2 1 ) 容易验证怕h 1 ( 霞) ，其插值函数r i ( ；) 。0 ：1 ，2 ) 可分别表示为： n n ) 。2 奶+ ；( 也一。n ) f + ；( 。s 一。，) q + ；( i 。+ 也一2 。) 妒( f ) + ；( 也+ 饥一2 。) 妒( 7 7 ) ( 22 ) n ( 2 ) i ：；( 。，+ 。z + 。+ 吼) + ；( 啦一。4 ) f + ；( 奶一i ，) ” ( 2 3 ) 引理1 播值算子疗；( i = l ，2 ) 具有各向异性插值特征，即对任意。日z ( 露) 及多重指数o = ( a “勉) ，当h ：i 时，有 | | d 。( 。f l 2 o ) 霄se f d “i | 。疗 证：我们只对一1 证明，z = 2 时类似当：( 1 ，o ) 时， d 。( n 1 。) = ；( 如幽) + ；( 魄+ 讥2 如) 显然， l ，f ) 是伊户的一组基令毋：嘉，则 j ( 。z 一。a ) 2 ( 见。咖丘。咖) = ；( 正。( 虮q ) 。( 一1 ，q ) ) 咖 2 去屈赛您却= 南& 西蜓咖= 日( 西) ， f 2 4 1 ( 2 5 ) ；( 赴+ 啦2 谝) 2 ( ， ( 1 ，q ) 嘲+ 1 ( 一l ，叩) d 1 一& 。武d 叩) = 素屈f 赛必咖：南坛f 西蟛咖：毋( 曲) ( 26 ) 由日d f d 卯不等式，我们有 钏2 南厶西d e 咖茎南厶蚓武咖s 高( 厶，。必打厶c ：，。蟛；钏训啦 同理 咒( 白) fsc lj 白l i o 矗 1 0 故f j ( c = i ) ，0 = l ，2 ) 是h ，( 玄) 上的有界线性泛函a = ( 1 ，o ) 时可类似地验证故 由【1 1 】中的基本定理可知，该单元具有各向异性插值特征 定义一般单元k 上的 ( z ，y ) 如下：”f ) = ”( z ( ，q ) ，( ，q ) ) = o ( f ，q ) 相应的有限元空间为： k = u h ；口hi k p 1 ( k ) ，v k r h ；二p h = o ，fck ) = ；( ) di k 尸2 ( k ) ，d = 2 ，3 ，v k n ；二 = o ，fc ) 这里表示跨过单元边界的跳跃度，当fca q 时， 一 定义插值n ：日1 ( q ) 一，jj k = k ，1 ( ) ”= ( n l o ) 眩1 2 ：h 1 ( q ) 斗w 么，2 i k = n 竞，2 ( k ) 钉= ( n 2 0 ) f 菇1 2 3双曲型积分微分方程各向异性网格下的收敛性分析 考虑下面双曲型积分微分方程问题 “一v u ( z ，t ) ： u ( z ，0 ) z n ，( 0 ，丁 z a q ，t o ，t 】 ( 2 7 ) z q 其中，n = 。( z ) ，b r ) = 6 ( z ；，r ) ，n ，b w 1 ，o 。( q ) ，且n 是有界区域，令 裟臀巾诎2 9 s ， 记l 2 ( q ) = ( 驴( n ) ) 4 ，d = 2 ，3 定义内积和范数， nd， ( d ，“，) = e ( 瓯，“j z ) ，j l | | = ( f l i i f ) ；，日( ( f 劫；q ) = “，l 2 ( q ) ；v l 2 ( q ) # = l0 ：i ”峪( 。= ”惦+ lj 加憾可验证她。：) 是个模 z ， i i 打 力 v 力 k 乇 扛 m h 玑 卜 膳 一 m v 眈 则( 2 1 8 ) 的弱形式是求 u ，q ) ：【o ，t 】一硪暂( 出t ，q ) 满足 ( o v “，v 口) + 蛞( 6 ( t ，丁) v “( r ) ，v ) d 7 _ = ( g ，v u ) ， ( o 吼e ，u ) + ( v q ，v u ) = 2 ( 岛v 乱，u ) + ( p v 钍，u ) + ( 后债v 让打，u ) 一( ，v u ) ， “( z ，o ) = u o ( z ) ， 其中n = 1 几，p = n 6 ， 记( v l ，v 2 ) = ( v 1 ，v 口2 ) = e j kv u l v u 2 矗z ，其中、口0 1 ， 2 则( 2 9 ) 的半离散格式为：求 “n ，吼) ： o ，刁一坛满足 u 明( q ) u 日( d 如；“，) z f 2 f 2 9 ) ( 。v u ，v ) + 启( 6 ( t ，t ) v u h ( t r ) ，v ) d 丁= ( 吼，v ) ， ( 。f f ) “魄) + ( v g ，v u ) = 2 ( 胁v 札 ，“ ) + ( 卢v 札舭，u ) + ( 厝腹v u 九d r ，u ) 一( ，v u ) u ( z ，0 ) = 西o ( z ) ， f 2 1 0 1 其中锄( z ) 为“n ( o ) 的某个近似，不妨取为n 珏。( 。) ：嘞( z ) 弓l 理2 铷日1 ( q ) ，v ，( v ( 一i ) ，v t 饥) ：o 证：由于坛是分片二次多项式且坛s p n n 1 ，z ，z 2 ，2 ) ，故k 鬻旧。 是常数由西e e n 公式和插值条件知 ( v ( 吩) ，v ) 2 丢k v ( u n k 口) v u n d z 匆 = 一丢厶( ”一羌 出匆+ 嘉k ( 一k ) 筹出 f 2 1 1 1 1 、 2 一丢”n k ( ”n k ”) 如匆+ 善繁如k ( ”一k 。) d s 引理3 ”“设u 是( 2 9 ) 的解且u 球( q ) n 日2 ( 吼则在各向异性网格下有 莓以。u ( 砂n ) d 8 i 曼c 7 t 2 m k w 眠 ( 21 2 ) 而且在证明过程中，利用估计：f 也| ( 】i * sc k l 恻h ，l c k ，恻h n 还可以得到： j 莓z k “( 砂n ) 如j 墨g 懈。 ( 2 1 3 ) 引理4 帕，i o g 川 证：利用对偶技巧，考虑如下的二阶椭圆问题： 一u = g ， 。礼q ， ( 2 1 4 ) lu = o ， d 札a n ， 有二阶问题解的正则性知，( 2 1 4 ) 有唯一解u h 2 ( q ) n 明( n ) 满足恼l i 。sc 蚓l o i 上。圳= l 一上w i = l 莓厶v u v 一萎上筹划 i u l l ，n l l + a l u 2 i 甜h 【“ g 忪怯o f i se i 令g = ，从而1 1 1 l o g 1 k 引理5 记叩：“一n ：u ，尸= g 一2 9 ，其中n ：u ，n 2 9 分别为u ，g 有限元插值当 “：q 硪( q ) n h 2 ( q ) ， | j q | j o + l ”f g 九2 i “1 2 ( 2 1 5 ) j i p l | o + f i p | | 疗f 出们g 2 | g 】2 ( 21 6 ) 证：由b r a l l b l e h i l b e r t 弓l 理，易得l “一n l u i f ose f t 2 1 牡1 2 ，l g 一 口1 1 0sc ，z 2 1 口 2 利用仿射变换氏的定义及引理1 ， | “n j “l l ：= j “一n n “i ；、 = f j d “( u n 一“) 惬 k j if 8 b 1 = 矗茅。( k ，) l f d 。一立血) 晤膏 k 西tf n l = 1 c 孑。( 。，b ) f d 。姘i 矗l d l = 1 e ，t 别d ”9 “憾。 = 1 例= l sc ，z 2 m i ， 同理 i q 一：q 队g a 2 2 由于 删备( 圳= i + j v 棚 啊刊忙丢厶( 豢+ 髻) 2 如白兰e 莓上( 鲁) 2 + ( 等) 2 d 嘞：屋 即引理得证 定理1 设 “，q ) ， u ，) 分别是( 2 8 ) ，( 2 9 ) 的解，若 “，q ) ( 日2 ( q ) ) 4 日( d 峨q ) 札一“ j j o + j g 一吼i o = o ( ，。) i u 一札 i = o ( ) g 一锄i 豆( 哦。；n ) = d ( ) 证令札 = ( u 一：“) + ( u u ) = 叩+ f ，g 一铂= ( q 一2 9 ) + ( g 由( 2 9 ) 一( 2 1 0 ) ，及引理2 ， ， 得误差方程 ( 8 v ，v ) + 后( 6 v ，v ) d r = ( ( n a ) v 口，v ) 一后( ( 6 ( q 口“ ) + ( vp ，v f 2 1 7 ) ( 2 1 8 1 ( 2 1 9 ) 吼) = p + 日 b ) v f ，v ) d 7 + ( p + 口，v ) ( 2 2 0 ) u ) = 2 ( 胁( v 叩+ v ) ，u ) + ( 矽( v 仇+ v 已) ，u ) 一( n p m u ) ( v n v u ) + ( 菇侥t ( v q + v f ) d l u ) + 丢后k “( u 其中i2 南厶n 出白，5 = 南& 6 出匆 在( 2 2 0 ) 中取= ，且由引理2 n 1 矗s f 2 2 1 1 n 嘲黔厝( 帆v 油= 一( ( 。一面) v 可，v f ) 一肥一5 ) v f ，v f ) 打+ ( p + 臼，v f ) 由y 。“，岬不等式和g m 删“f 引理得 j j v i f ：c ( f j p | j ：+ 1 口1 f ：+ 2 f v 叩i j ：+ ，。2z 2f v qj | ：d r ) 对( 22 0 ) 两端求导， 1 4 ( 2 2 2 ) 船 v+ +v j m 渤 妻瞅慨 卜 一6 卜 一 埘p锨 砜 蛞k + v 0 动 v p 已“ 口 沁 f 并在( 2 2 3 ) 中取= 已，同理可得 | | v & i l ：c ( 2 | | v q | | 3 + | | v 叩c i | j + | | p c i | ：+ 2z i l v ? 7 i i ；d 7 + z 。l i p | | ：d r + | | n | | ：+ z 。| | 目| | 3 d 7 一) ( 22 4 ) 在( 2 2 1 ) 中取u 。= 仇， ；岳l a 吼帱+ j 丢1 1 日l i 刍( 血。舯) = 2 ( 脘( v q + v ) ，哦) + ( 卢( v 仇+ v & ) ，晚) 一( n n t ，吼) 一差( v p ，v 口) 十( v 胁，v p ) + 詹( 屈t ( v 叩+ v f ) ，巩) d 7 - + 如“m 吼+ 佗幽+ ( 口，以) f 22 5 1 另一方面，口( o ) = o ，口( t ) = 雁巩( r ) 打，那么 j 曼g 删础打 ( 2 2 6 ) 由( 22 2 ) ( 2 2 6 ) ，y o u n 口不等式，以及两段从。到积分得 i i n 吼惦+ l l p i f 鸯( 出。，n ) c 名( 1 i v ”惦+ | v 礓惦+ i i p 惦+ 2 i l v _ 惦+ l i 仇惦+ | | 巩惦+ l | 目| | 刍f 幽。：n + j l p “| | 3 + 2 i “l ；) d r 一( v p ，v 目) ( 2 2 7 ) 由y d n g 不等式，西。n f f 引理及( 2 2 6 ) 得 仇| f ；+ f | 口| | 刍( 战。，n ) g 上( i l v 目幅+ l 】v 吼i i i + | l p i i ：+ ，。2 l l v q i l ；+ | | 风惦+ l i p 。l | i + 7 产i 地。| ；) d 丁- f 22 8 1 由引理5 及三角不等式即得结论 2 4 抛物积分方程各向异性网格下的收敛性分析 考虑下面抛物积分方程问题 “c v ( n v ) 一后v ( 6 ( t ，t r ) v 札( r ) d r = ，( z ，t ) ，z q ，t ( o ，丁1 ( z ，) = o ， z a q ， 0 ，丁 ( 2 2 9 ) u ( z ，o ) = u o ( z ) ，z q 1 5 其中，qc 别，( d = 2 ，3 ) ，n = 口( z ，) 以及6 ( t ，f ) g = o v u + 詹6 ( ，下) v 乱( 丁) d 7 - ，n = 1 n ，卢= 6 q ( 2 2 9 ) 的日1 一g f e r 七撕混合有限元变分形式为 使得 6 ( z ；t ，r ) 且o ，6 w 1 ，0 。( q ) 取 求札，q ： o ，t 】一硪日( d 拟n ) ( 。v ，v 口) + j ； ( 6 v “( 7 - ) ，v u ) 打= ( q ，v u ) ， 铷硪 ( 。吼，训) + ( v g ，v 训) = 詹( 风v 珏，u ) 打+ ( p v u ，w ) ( ，v 训) ，h ( d z 甜；q ) u ( z ，o ) = u o ( z ) ， z n ( 2 3 0 ) 则( 2 3 0 ) 的半离散格式为；求 u ，) ； 0 ，t 一k 眠满足 ( o v u ，v ) + 后( 6 v 札 ( t ) ，v ) d r = ( ，v ) ， ( 。吼z ， ) + ( v ，v 训h ) = 岳( 风v “ ，甜 ) 打+ ( 卢v 札 ，叫 ) ( ，v ) “ ( o ) = 西o ( z ) ， f 2 3 1 1 其中砒( z ) 为“n ( o ) 的某个近似，不妨取为兀：“。( z ) ：奶( 。) 定理2 设“g ) “h ，吼) 分别是( 2 3 0 ) ，( 23 1 ) 的解，且 u ，g ) ( 明( q ) n 日。( n ) ) 4 。 ( h 2 ( f 2 ) ) 4 ，d = 2 ，3 则 j “一u o + i i g 一f f o = ( ) ( )f 23 2 1 札一牡 = o ( a ) f 2 3 3 ) f f 口一g h l 疗( 疵。；n ) = o ( )f 2 3 4 1 证：由( 23 0 ) 一( 2 3 1 ) 及引理2 知相应的误差方程： n v ，v ) + 上( 6 v f ，v ) 4 t = ( p + 9 ，v n ) 一( ( 。一i ) v q ，v t 饥) 一z 。( ( 6 5 ) v q ，v t 撬) ( 2 3 5 ) ( 吼，“ ) + ( v 口，v u ) = 詹( 腹( v q + v f ) ，“ ) + ( ( v q + v f ) ，。 ) 一( vp ，v “ ) + 丢州 俐s ( a 儿u ) f 2 3 6 1 1 6 其中，a = 南& n 出，5 = 南& 姚， 在( 2 3 5 ) 中取= ， 幡v 堋+ 上。( 6 v ，v f ) d r = ( p + 口，v f ) 一( ( n a ) v q ，v ) 一瓜b 一5 ) v 1 ，v ) d r ( 2 3 7 ) 由。u n g 不等式，( 2 3 7 ) 变为 l l v 旧sc ( i l p 旧十i i 口旧+ 2 厝l i v 叩3 d r + 2 l l v 砰惦+ 蛞i l v 惦d 丁) 由西。删n f f 不等式得旧sc | | v 蠊茎c ( m 培+ 尼+ 2j j v 圳3 + h 。厝；j v 圳3 打) 在( 2 3 5 ) 两端关于求导，取一& ， ；f 。；v 6 f f ：+ z ( 晚v f ，v ) 打+ ( 6 礤，v 已) = ( 胁+ 仇，v & ) 一( 扣一面) v 仉，v 6 ) 一z ( ( b 一6 ) v 叩，v 洲下一( ( 6 5 ) v 叮，v 已) 同理可得 l f v 已f 3 c ( i i 胁i | ；+ 2 蛞l i v q j l 3 d r + l i 晚i 3 + 危2 l l v q i l 3 + 尼j l v i ：d r + 1 | v 仇旧) 在( 2 3 6 ) 中取u 。= 仇，得 j j j 岛jj 3 + ；墨j j 口j j 斋( 枷；。j = 厝( 危( v 日+ v f ) ，玩) + ( p ( v 7 7 + v f ) ，哦) 一爰( v p ，v ，口) 一( v 风，v 目) + 写易u 吼n d s 一( q p t ，岛) + ( 目，仇) f 2 3 8 ) 两端从。到t 积分 “纠j 刍( 以”，n ) 兰譬鬟川j ：紫+ j j 砘j + j | v + 砘躲+ f f 9 f f 霸( a w n ) 十f f 妒叩憾十 2 f f v q 惦 ( 23 9 ) + 蚓l u t 打一( v p v 口) 、 。 由g r o n w n “不等式得 “8 ”刍( “z ”；n ) s e 鬟“11 三”3 + i p t j f 3 + i l v p 川3 + j i v 叩i l ：+ 7 2j v q l l 3 f 2 4 。) + ，。2 3 ) 打+ f l v p 旧 7 由引理5 及三角不等式即得结论 2 5 s d 6 0 f e u 方程各向异性网格下的误差估计 1 7 考虑下面s 0 6 0 f e ”方程问题 毗v ( a v 啦+ b v “) = ，( z ，) ， z q ，( 0 ，刀 “( z ，) = o ， z a q ，t o ，丁】( 2 4 1 ) “( z ，0 ) = 钍o ( z ) ，z q 其中，q c 彤，( d = 2 ，3 ) ，a = a ( z ，) 以及b = b ( z ，) 均为d d 矩阵，4 是正定 矩阵，且a ，口1 ，。( n ) 取g = a v 珏，口：( 口一a ) a1 ，。：a 一1 ( 2 4 1 ) 的h 1 一g 引e r 讥混合有限元变分形式为：求“，q ： o 】一琢( q ) 日( 出u ；q ) ， 使得 ( a v “，v u ) = ( g ，v ) ， 咖嘲 ( g ，) + ( 吼，叫) + ( v ( 吼+ 励) ，v - 叫) = ( ，v 似) ，v 训日( 出 ；f 2 )( 2 4 2 ) u ( z ，0 ) = u o ( z ) ， z n 则( 2 4 2 ) 的半离散格式为；求u ，吼； o ，】。满足 ( 4 v u ，v ) ( 。，叫h ) + f 札 ( 0 ) = 面o ( z ) 甜h ) ， + ( v ( + p q h ) ，v 其中电。( z ) 为u n ( o ) 的某个近似，不妨取为n ：“。( 。) ：西。( 。) 定理3 设 ”，口) ， “n ，吼) 分别是( 24 2 ) ，( 2 4 3 ) 的解，且“，g ) ( 明( q ) n 日。( n ) ) “ ( 硪( f 2 ) ) 4 d = 2 ，3 则 f j “一“ i f 。+ j | g 一魄j f 。= 。( ) f 2 4 4 ) j 让一扎矗 = ( ) ( ，z ) ( 2 4 5 ) f j g g f 疗( 击。，n ) = o ( )f 2 4 6 1 证：由( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 及引理2 知相应的误差方程： ( a v f ，v ”h ) = ( p + 8 ，v t 撬) + ( ( a a ) v 叩，v 呲)f 2 4 7 1 1 r 蜗 2 i ， k 札 ，、【 ( ( 。口) t ， ) + ( v ( 以+ 目) ，v “撬) = 一( v ( p 。+ 励) ，v ) + 善后k 地w n d s 一( q p ， ) 一( 。胁， ) ( 24 8 ) _ e f 、” ” 、”7 在( 2 4 7 ) 中取= ，| 4 v 引f 3 = + 口，v f ) + ( ( a a ) v 叩，v f ) 由y o “札g 不等式及由引理4 得 f i f ；sc f j v 引j ：sc ( j f p 3 + f f 目i f ：+ 2 l f v q f i j ) 在( 2 4 8 ) 中取” = 口，注意到( ( 目) 。，p ) = ；( q 。口，口) + j 墨( a p ，目) 得 j i a ；p f 3 + 岳f f n 目ij 3 + 盖l f v 口i f 3 由y 。u n 9 不等式及引理3 ( v p 口，v 目) 一( v 目，v 目) 一( a 卢，口) ( n 凤，日) ( v 矶，v p ) 一( v 卢p ，v 们 一v + p ，v 9 ) + 丢如女u t 目礼d s ( 2 4 9 ) 岳i f q 9 f i ；+ 叠f f v 目f 1 3sg ( ij p j 3 + j f 胁i j 3 + i v - p j f 3 + l f v p 。f f 。+ i l 口fj 5 + | v 目j 3 + 。j 地；) f 25 0 1 ( 25 0 ) 两端关于时间从。到t 积分并利用g r 。删。“引理 j 目fj j + f v 口f l j c z 2 ( j i p i j ：+ ij nj i ；+ i f v p fj j + v p 。f i j + 。i 。i ；) d ， f 25 1 ) 由引理5 及三角不等式即得结论 全离散误差分析 对时间区间f o ，邪剖分，记。= n ，= 斋( 为正整数) ，西n ：中( t 。) 记反妒： ( 西“一妒一1 ) t ，驴，驴分别为“，g 在扛t 。时的近似值 竺向要欧拉格式，则问题( 2 4 1 ) 的刖g 砒嘲咒混合有限元全离散逼近格式 为：求 沙，驴) 磐。使得 ( a v 矿”，v ) = ( q “，v ) 惦坛 ( q q ”，叫 ) + ( n 磊q ”，u ) + ( v ( 反一吼( 。) ) ，v 训 ) = 一( ，n ，v 叫 ) v 训 u o = l u o ( z ) f 2 5 2 1 记u “一“( t 。) = ( u “一 u ( 。) ) + ( ：趾( 。) 一札( t 。) ) = n + 卵n q “g ( t n ) = ( q “一2 9 ( 。) ) + ( n 2 9 ( 。) 一g ( f 。) ) ：口n + p n 在中( 2 5 2 ) 取t = t 。得误差方程 ( a v ”，v ) = ( 矿+ 口“，v ) ( ( a a ) v q ，v )( 2 5 3 ) ( 。t ( p ”+ p “) ，u ) + ( 。( 画q “一吼( 。) ) ，u ) + ( v ( 反目n q t ( 。) ) ，v