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第二十四章圆,24.1圆的有关性质,24.1.2垂直于弦的直径,新知1圆的轴对称性,圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.,例题精讲,【例1】下列图形(如图2418所示)是轴对称图形吗?如果是,画出它的对称轴.(有多条对称轴的只画一条),解析图是轴对称图形,有无数条对称轴;图是轴对称图形,有无数条对称轴;图是轴对称图形,过两圆心的直线是其对称轴,只有一条;图是轴对称图形,过圆心和直线的交点的直线是其唯一的一条对称轴.,解这四个图形都是轴对称图形,画出对称轴如图2419所示.,举一反三,1.下列图形中对称轴最多的是()A.圆B.正方形C.等腰三角形D.线段2.圆的对称轴是()A.弦B.半径C.直径D.经过圆心的直线3.圆是对称图形,它的对称中心是,圆也是轴对称图形,它有条对称轴.,A,D,中心,圆心,无数,新知2垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.如图24110所示,是垂径定理的基本图形,这个定理的条件有两项:CD是O的直径,AB是弦;CDAB,垂足为E.定理的结论有三条:,注意:(1)这里的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段,其本质是“过圆心”;(2)垂径定理中的“弦”为直径时,结论仍然成立;(3)垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据;(4)垂径定理也可以这样理解:一条直线,如果它具有两个性质:经过圆心;垂直于弦,那么这条直线就具有另外三个性质:平分弦;平分弦所对劣弧;平分弦所对优弧.,【例2】如图24111所示,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证:ACBD.解析注意到AB,CD是两个圆的弦,要证明线段相等,联想到垂径定理,可考虑作垂直于弦的直径(线段).,例题精讲,证明如图24112,过点O作OEAB,垂足为点E,则AEBE,CEDE,AECEBEDE,即ACBD.,举一反三,B,1.如图24113,在O中,AB是弦,半径OCAB,垂足为点D,要使四边形OACB为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是()A.ADBDB.ODCDC.CADCBDD.OCAOCB.,2.如图24114,已知O的直径ABCD于点E,则下列结论不一定正确的是()A.CEDEB.AEOEC.D.OCEODE,B,3.如图24115,AD是O的直径,弦BCAD于点E,ABBC12,则OC.,新知3垂径定理的推论,推论1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.推论2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧.推论3平分弦所对的一条弧的直径,垂直于弦并且平分弦所对的另一条弧.,例题精讲,【例3】如图24116,O1与坐标轴交于A(1,0),B(5,0)两点,点O1的纵坐标为.求O1的半径.,解析过点O1作O1CAB于点C,根据垂径定理可知点C为AB的中点,利用勾股定理可解.,解过点O1作O1CAB,垂足为点C,如图24117所示.则有ACBC.由A(1,0),B(5,0)得AB4,AC2.在RtAO1C中,点O1的纵坐标为,O1C.O1的半径O1A3.,举一反三,2,1.如图24118,O的半径为2,A30,则弦AB的长度为.,2.如图24119,在O中,点C是弦AB的中点,若AB8,OC3,那么O的半径为.,5,3.如图24120,为直径是10cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为2cm,那么油面宽度ABcm.,8,A,1.(4分)如图KT2413,AB是O的直径,ABCD于点E,若CD6,则DE等于()A.3B.4C.5D.6,2.(4分)如图KT2414,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为点M,下列结论不成立的是()A.CMDMB.C.ACDADCD.OMMD,D,3.(4分)两个同心圆的对称轴()A.仅有1条B.仅有2条C.有有限条D.有无数条4.(4分)如图KT2415所示,AB是O的直径,弦CDAB,垂足为E,连接AC,若CAB22.5,CD8cm,则O的半径为cm.,D,4,5.(4分)已知O中一条长为24的弦的弦心距为5,则此圆的半径长为.6.(10分)已知在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D(如图KT2416).(1)求证:ACBD;(2)若大圆的半径R10,小圆的半径r8,且圆O到直线AB的距离为6,求
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