（电路与系统专业论文）基于EBERSMOLL模型的三极管建模[电路与系统专业优秀论文].pdf

摘要 摘要 在e b e r s m o l l 模型的基础上建立三极管模型，通过对输入信号的区别对待， 分别有低频小信号、低频大信号、高频小信号、高频大信号当作输入信号的情况。 同时还用贝塞尔函数的母函数展开做了输出谐波的分析。 低频小信号输入时，考虑了基区体电阻的影响，使得求解输入e b e r s - m o l l 模 型的直流偏置电压的问题变成一个超越方程。用牛顿迭代法分析可解得输入 e b e r s m o l l 模型的直流偏置电压。既而求出交流电阻，最后得到输出信号。这 时的三极管可以看成是一个线性器件。 当信号的幅度变大时，输出的信号中就会有很多谐波的产生。这时不能把三 极管当一个线性器件看。求输入e b e r s m o l l 模型的直流偏置电压的方法还是牛顿 迭代法。但是在求输入e b e r s m o l l 模型的信号却是求很多个超越方程解。在这些 方程中，有相当的一部分不能用牛顿迭代法解。原因是牛顿迭代法在求解这些方 程时发散，取而代之的是二分法求解。 当高频小信号输入时，用了二种方法来推导模型的结果。高频时，必须考虑 结电容的影响，列出电路方程进行求解，这时三极管还可以看成是一个线性器件。 频域方法主要是用傅立叶变换到频域来分析的，时域方法是直接从时域上分析来 得到最后的结果的。因为这里是从两个不同的角度来分析同一个问题，所以两种 方法的输出结果是一致的。 当输入信号又是高频，幅度又比较大时，问题就会变复杂。关于输入e b e r s m o l l 模型的信号或是输出信号的求解，都是对一个一阶非线性非齐次微分方程的求解 问题。同样的，采用数值解法来做。综合考虑，采用改进的欧拉算法，即预测校 正法来求解这个微分方程，最后得到输入e b e r s m o l l 模型的信号和输出的信号。 另外，对模型的动态范围做了说明。还有信号大小的界定，即把三极管看成 是非线性器件还是线性器件，也做了分析。高频与低频的区别和界限也有叙述， 主要是要不要考虑结电容的问题。还阐述了在模型中关于间断点的处理方法。 最后，对于任意信号输入的问题有一些补充。 关键词：e b e r s m o l l 模型，贝塞尔函数，牛顿迭代法，二分法，欧拉算法 a b s t r a e t a b s t r a c t at r a n s i s t o rm o d e lh a sb e e ns e tu po nt h eb a s i co f 氇ee b e r s m o l lm o d e l 。w h e nt h e i n p u ts i g n a li sl o w - f r e q u e n c ys m a l l s i g n a l ，l o w f r e q u e n c yl a r g e s i g n a l ，h i g h - 丘e q u e n c y s m a l l s i g n a l ，o rh i 醢一f r e q u e n c yl a r g e s i g n a l ，t h ew a v e f o r mo f t h eo u t p u ts i g n a lh a sb e e n a n a l y e z e d a tt h es a m et i m e ，t h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no ft h eb e s s e lf u n c t i o nh a sb e e n u s e dt od ot h eo u t p u th a r m o n i ca n a l y s i s w h e nt h ei n p u ts i g n a li sl o w - f r e q u e n c ys m a l l s i g n a l ，c o n s i d e r i n gt h eb a s eb o d y r e s i s t a n c e ，m a k i n gt h ep r o b l e mo fs o l v i n gt h ed i r e c tc u r r e n t ( d c ) b i a sv o l t a g eo ft h e i n p u t t i n ge b e r s - m o l lm o d e lp a r ti n t oat r a n s c e n d e n t a le q u a t i o n 。u s i n gn e w t o ni t e r a t i o n a n a l y s i s s o l u t i o nm a yg e tt h ed cb i a sv o l t a g eo fi n p u t t i n ge b e r s m o l lm o d e l s u b s e q u e n t l ya l t e r n a t i n gc u r r e n t ( a c ) r e s i s t o r ( t h i sr e s i s t o rw i l lb ei n t r o d u c e di nt h e c h a p t e r3 ) c a l lb eg e t , f i n a l l yt h eo u t p u ts i g n a lo ft h ew h o l em o d e l c a l lb ec a l c u l a t e d a t t h a tm o m e n t ，t h et r a n s i s t o rc a l lb er e g a r d e da sal i n e a rd e v i c e w h e nt h ea m p l i t u d eo ft h es i g n a lb e c o m e sl a r g e r , t h eo u t p u ts i g r 绉1w i l lc o n t a i n m u c hh a r m o n i cw a v e a tt h i st i m et h et r a n s i s t o rs h o u l dn o tb et r e a t e da sal i n e a rd e v i c e t h en e w t o ni t e r a t i o nm e t h o ds t i l lb eu s e dt og e tt h ed cb i a sv o l t a g eo ft h ei n p u t t i n g e b e r s m o l lm o d e lp a r t h o w e v e r ，t h es o l v i n gt h es i g n a lo ft h ei n p u t t i n ge b e r s m o l l m o d e lp a r tc o n t a i n sal o to fat r a n s c e n d e n t a le q u a t i o n s n e w t o ni t e r a t i o nm e t h o dc a n n o tb eu s e di nm a n yo ft h e s ee q u a t i o n s t h er e a s o ni sw h e ns o l v i n gt h e s ee q u a t i o n s ，t h e n e w t o ni t e r a t i o nm e t h o di sd i v e r g e d ，a n di ti sr e p l a c e db yt h ed i c h o t o m ym e t h o d w h e nt h ei n p u ts i g n a li st h eh i g h f r e q u e n c ys m a l l - s i g n a l ，t w ok i n d so fm e t h o d sa r e u s e dt og e tt h er e s u l to ft h em o d e l w h e nt h es i g n a li sh i g h - 行e q u e n c y ，t h ee f f e c t so f j u n c t i o nc a p a c i t a n c em u s tb ec o n s i d e r e d ，a n dt h ec i r c u i te q u a t i o n sa r el i s t e dt os o l v et h e p r o b l e m a t t h i st i m e , t h et r a n s i s t o rc a na l s ob et r e a t e da sal i n e a rd e v i c e t h ef r e q u e n c y d o m a i nm e t h o dm a i n l yu s et h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o nf o rt h ef r e q u e n c yd o m a i n a n a l y s i s ，t i m ed o m a i n m e t h o dd i r e c t l ya n a l y z e st h et i m e - d o m a i nt og i v et h ef i n a lr e s u l t s 。 t h ef m a lr e s u l t so fb o t hm e t h o d sa r ec o n s i s t e n t ，b e c a u s et h es a m ep r o b l e ma r ea n a l y z e d f r o mt w od i f f e r e n ta n g l e s w h e nt h ei n p u ts i g n a li sr e l a t i v e l yh i g hf r e q u e n c ya n dl a r g ea m p l i t u d e ，t h ep r o b l e m a b s t r a c t w i l lb e c o m ec o m p l i c a t e d t h ep r o b l e mo fe b e r s m o l lm o d e lo f i n p u ts i g n a la n do u t p u t s i g n a la r es o l v i n gaf i r s t - o r d e rn o n l i n e a rn o n - h o m o g e n e o u sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i m i l a r l y ，t h en u m e r i c a lm e t h o di s u s e dt os o l v ep r o b l e m b a s e do na l lo v e r a l l c o n s i d e r a t i o n ，t h ei m p r o v e de u l e ra l g o r i t h m ，a si sc a l l e dt h ep r e d i c t i o n c o r r e c t i o n m e t h o di sa d o p t e dt os o l v et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i n a l l yi n p u ta n do u t p u ts i g n a l s o ft h ee b e r s m o l lm o d e la r eg e t i na d d i t i o n ，t h ed y n a m i cr a n g eo ft h em o d e li si n t r o d u c e d t h el i m i t a t i o no ft h e i n p u ts i g n a lw h i c h i st od e f i n et h es m a l l s i g n a lo rl a r g e s i g n a li sn a r r a t e d ，w h i c hd e c i d e s t r e a t i n gat r a n s i s t o ra san o n - l i n e a rd e v i c eo ral i n e a rd e v i c e i sa l s os h o w e d t h el i m i t s w h i c hi su s e dt od i s t i n c th i g h - f r e q u e n c yo rl o w f r e q u e n c yi sd e s c r i b e dt o o i nt h em a i n a r en o tt ow a n tt oc o n s i d e rt h e p r o b l e mo fj u n c t i o nc a p a c i t a n c e a n dm o r e ，t h e t r e a t m e n tm e t h o do fd i s c o n t i n u o u sp o i n t si nt h em o d e li se x p l a i n e d f i n a l l y ，s o m ec o m p l e m e n ta b o u tt h ep r o b l e m ，w h i c hi sc a u s e db yt h ea r b i t r a r yi n p u t s i g n a l ，i sm a d e k e y w o r d s ：e b e r s - m o l lm o d e l ，b e s s e lf u n c t i o n , n e w t o ni t e r a t i o n ，t h ed i c h o t o m y , t h e e u l e ra l g o r i t h m i i i 主要符号表 主要符号表 t ：三极管射极输是总电流 l ：三极管集电极输出总电流 厶：输入三极管基极总电流 i b 。：输入e b e r s m o l l 模型的电流 t d ：三极管射极输出直流电流 t p ：三极管集电极输出直流电流 以d ：输入三极管基极直流电流 z z ：流过酝+ 的总电流 厶：输入e b e r s - m o l l 模型的总电流，包括信号电流分量和直流偏置电流分量 i z o ：当集电极电流为零时的发射极饱和电流 i c o ：当发射极电流为零时的集电极饱和电流 i 2 ：流过电容g ，的电流 蠡：流过电容e 妇的电流 t ：三极管射极输出交流电流 颤：三极管集电极输趱交流电流 i 。：输入三极管基极交流电流 琢：熟电压，在常温下近似为o 。0 2 6 v ：输入三极管的总电压，包括直流偏置电压和信号电压 ：输入三极管的直流偏置电压 圪。：输入e b e r s m o l l 模型的直流电压 k ：三极管的输出总电压，包括直流电压和交流信号电压 圪拧：三极管的输出直流电压 ：电源电压 吃：e b e r s m o l l 模型中集电极与发射极的电压 ：e b e r s - m o l l 模型中基极与发射极之间的电压 吃：e b e r s - m o l l 模型中基极与集电极之间的电压 y ；：输入三极管的信号电篷 ，：输入e b e r s 。m o l l 模型的交流电压 v i 主要符号表 ：三极管的输出交流电压 r c ：连接三极管集电极的电阻 置，r ：直流偏置电阻 ：三极管的基区体电阻 。：三极管的交流电阻 c 6 。：三极管基极与射极之间的结电容 c b 。：三极管基极与集电极之间的结电容 r a o ：输入信号角频率 a ：振幅 刀! ：表示刀阶阶乘 ，：虚量符号 占：误差限 另外，为全文统一符号，在第二章，第三章中所有输入e b e r s m o l l 模型的电流电 压中都带下标b v i i 独创性：声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：至! 室) 日期：弘，? 年厂月7 7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 名一 日期：p 7 年y 月1 7 目 第一章绪论 第一章绪论 三极管相信大家都很熟悉了，也爝褥很多。三极管的等效模型对三极管的使 用和研究来说，显得特别重要，国内外学者很早就对三极管模型有过很多讨论。 最早的三极管模型是由e b e r s j j 在1 9 5 2 年提出来的珏l 。他提出了有关于 p 1 1pn 型三极管的模型和等效电路，他把这种类型的三极管看成是p n - p 三极管 和n p 1 1 三极管的一种结合。这种两种结构的不同在于当电流变化时，对频率响 应和稳定会有很大的影响。1 9 5 4 年，e b e r s 。j j 和m o l l 。j l 共同对三极管的模型进 行了研究和讨论，得出了经典的e b e r s m o l l 三极管模型 2 1 。 e b e r s m o l l 三极管模型是一种分析大信号的三极管模型，它旨在把器件的物 理参数与器件的终端特性联系起来，该模型的理论基础是两个p n 结的相互作用， 这些在1 9 5 2 年时e b e r s 已经研究过了。建立最原始的e b e r s m o l l 的模型，是为了 开关电路分析。为了让三极管模型有更多的应用，不少学者在此基础上提出了他 们的看法和研究成果。 在e b e r s m o l l 模型的基础上，有人对这个模型进行? 一定的修改，由此雨产 生的一种比较经典的模型电荷控制模型【3 】。电荷控制模型最初出现在2 0 世纪 5 0 年代。在那时，基极中的电流主要由基区中的载流予复合构成。但是，此模型 的方程仍然可用于现代的三极管中，尽管在现代的三极管中基极的电流主要由在 发射区中的载流子复含所构成。人们首先用方程表示时间和空间函数的存储过剩 载流子电荷。然后做空间积分，获褥作为时间函数的总的存储电荷。因而，从此 观点看器件中的过量载流子分布，已经与器件的模型相分离。实际上，由时间常 数或频率常数所决定的最后的电荷控铡方程，不再包含更多的器件物理方霹的信 息。由于此原因，有时将电荷控制模型描述为“现象学 。 电荷控制模型的精度取决于模型中关键假设的有效性。这些关键的假设在已 知电荷的空间分布在静态的条件下是正确的，在动态的条件下它是近似正确的。 对于二极管，上述的假设对予小信号的情况是正确的，而对于大信号的情况，此 假定的有效性是很差的。从理论上说，它也是一种静态的模型【4 】【5 】。 在这之后，g u m m e l h 和p o o n h 一起在电荷控制模型的基础上提出了另一种 更加精确的三极管模型，这就是著名的g u m m e l p o o h 模型。g u m m e l p o o n 模型 建立在把终端电学特性和基区电荷联系起来的积分电荷关系的基础之上。这种模 电子科技大学硕士学位论文 型十分精确，把许多物理效应，比如r i t t n e r 效应、w e b s t e r 效应、双极性效应和厄 利效应以及在基区的由扩散和电场作用下的少子输运( 漂移) 等都包括在内，因 此使用g u m m e l p o o n 模型需要大量的物理设计参数，要把很宽的工作范围包括进 去【6 】【7 】【8 1 。正是因为如此，这个模型广泛用于计算机辅助复杂电路分析的程序中， 比如s p i c e as i m u l a t i o n p r o g r a m f o r i n t e g r a t e d c i r c u i t 。已经推导出 g u m m e l p o o n 模型的简化形式，这种简化形式最终又引回到基本的e b e r s m o l l 模 型上去了。所以为了对特定的电路进行分析，必须在精确度和模型复杂性之间进 行折中考虑。 虽然g u m m e l p o o n 模型十分精确，但它过于复杂，要确定的参数过于繁多， 当三极管用于放大小信号的作用时，很多物理效应可以忽略不计，有些根本没必 要考虑，不必使用那么复杂的模型。为了考虑动态的信号，学者们思考提出一种 适合这种情形的三极管模型，这就是大家都非常熟悉的小信号模型【9 】。 首先提出的是乃参数小信号模型，用于低频信号的分析。由于三极管是非线 性器件，这样就使得放大电路的分析非常困难。建立小信号模型，就是将非线性 器件做线性化处理，从而简化放大电路的分析和设计。 当放大电路的输入信号电压很小时，就可以把三极管小范围内的特性曲线近 似地用直线来代替从而可以把三极管这个非线性器件所组成的电路当作线性电路 来处理。 之后，有不少学者对这个小信号模型进行了一定的修改，比较著名的是混合万 模型。由于这种模型元素众多，通常需要进行计算机仿真。然而，为了对三极管 的频率响应进行适当的估计，可以做一些简化。电容会导致三极管的频率效应， 这意味着，以三极管的增益为例，它是输入信号频率的函数。所以这种小信号模 型还只是适用在中低频段。 沿看三极管模型的发展，这些模型都各有利弊，各有自己的适用范围和适用 条件，一般来说，器件模型的参数越多，就越精确。e b e r s m o l l 模型一般用于静 态分析，g u m m e l p o o h 模型过于复杂，而h 参数小信号模型和混合万模型也只适 用于低频和中频。随着时代的进步，工艺的发展，对高频三极管的要求越来越多， 越来越苛刻。 本文正是对这些要求，在e b e r s m o l l 模型的基础上，对各种信号输入建立三 极管模型。 2 第二章建模理论基础 2 。1 建模概述 第二章建模理论基础 在早期，e b e r s 和m o l l 提出了组方程来表示三极管中的电压电流关系。为 了看起来简单，这组方程被写成了矩阵的形式。后来人们用这组方程建立了一些 三极管模型。r o b e r t 戳及暇。程教授在此基础上建立了个兔计算机电路仿真服务 的三极管雪崩模型【1 0 1 。胡正明教授则建立了一个关于s p i c e 的m o s f e t 准静态 模型l l 。其他科学家在三极管建模方面也都各有成就。 本文主要为分析三极管提供可分析的三极管理论模型，低频信号、高频信号、 小信号、大信号的情形都会分别讨论。当频率很低的时候，考虑基区体电阻的影 响，建立方程组，并用牛顿迭代法和二分法解出数值解。当频率很高时，基区体 电阻和结电容都要考虑，建立的是一个非线性非齐次的微分方程，用数值算法解 毒数值解。最后举患一些实例来说鞠这些算法是怎么进行的。 另外，在本文的第二章到第五章中，所用的较大和较小、大信号和小信号、 高频和低频的概念，这些概念的具体界限都会在第六章中专门给出，文中也会有 一定的说明。 2 。2e b e r s - m oll 模型 e b e r s m o l l 模型主要是由e b e r s 和m o l l 两个科学家研究出的来，当然也进过 了一定的进化，最早的是e l j 对二极管的p - n 结方程演变发展而来。把三极管看成 = 个p - n 结的相互作用，并应用p - n 结方程得出了最基本的e b e r s m o l l 三极管模 型。模型主要就三极管集电极、基极、发射极之间的电流电压关系给出相关的方 程。 根据e b e r s m o l l 当初建立的模型，三极管的e b e r s m o l l 方程可以写成 t儿- o etk r e t 黛粤。( 矽强一1 ) 粤( 8 岭一1 ) ( 2 1 ) l 一伐f 伐r l q f 伐r 圪。是基极与发射极之间的电压，圪。是基极与集电极之间的电压，是热电压， 3 电子科技大学硕士学位论文 在常温下近似为0 0 2 6 v ，t 是发射极电流。其它参数定义如下 i e o = 当集电极电流为零时的发射极饱和电流， i c o = 当发射极电流为零时的集电极饱和电流， 口f = 当集电极作集电极，发射极作发射极时的三极管电流增益， 口r = 当集电极作发射极，发射极作集电极时的三极管电流增益。 根据定义，上述四个参数之间有关系式 l e o 口f = i c o a 尺 ( 2 。2 ) 也就是说四个参数中只有三个是独立的。 对大多数工作在放大区的三极管，集电极与发射极的电压吃 0 3 v ，因此在方程 ( 2 1 ) 中的第二项比第一项要小很多，可以忽略不计。这样，方程可以近似写为 。 t 五- i 瓦e o p 吩 3 ， 把( 2 3 ) 式中的指数项分成两项 一 鳖一v b , t = 而- - l 鬲e o p 吩p 吩 c 2 4 ， 圪d 为直流偏置，v 6 为输入信号。 这里有口f 、口r 的定义和基尔霍夫电流定律可以得出这样的关系式 i c = 一口f i e ( 2 5 ) 由基尔霍夫电流定律 i b 七ic 七ie = 0 ( 2 - 6 、) 把( 2 6 ) 式代入( 2 5 ) 式，得 i b = ( 一1 ) l ( 2 7 ) 厶= o - a f ) l ( 2 8 ) a f 这样只要知道了三极管参数和其中一极的电流，就可以求出另外两极的电流。 由于输入信号1 ，为实信号，把( 2 - 4 ) 式中的项p 百，在詈= o 处，用泰勒展开【1 2 m 3 1 ， 得 4 兰三童垄篓墨笙茎壁 一 一一 t = 老翻v b dl 苦+ 去印2 + 刍印3 叫 倍9 ， 如果给定鲞流偏置电悉，。，并输入的是小信号v 因为输入信号的电压幅度撮 小，可以只考虑第零阶和第一阶的项，忽略其它高次项，这样( 2 - 9 ) 式写为 ，：幺g 訾+ 二鱼8 警旦 2 1 0 ) f 生g 吩+ _ 二生8 吩导 2 1 一g f 掰投 王一a f a r p r 在( 2 1 0 ) 式中，第一项是直流成分项，第二项是交流成分项。即可以写为 ，。l i ) + i 。 ( 2 - 1 1 ) 其中 = 去g 訾 协m 屯= 老彩等茜 协 由交流电阻定义可以计纂得基极与发射极之闻的交流电隰，在这个电路中郎 输入电阻 铲等= 堡! ! 二竺蚴g 等 ( 1 一醪芦) l e o ( 2 。1 4 ) 从繇。1 4 ) 式爵以看封输入交流电阻由直流偏置电压决定，与输入信号无关。 把( 2 1 2 ) 式代入( 2 1 4 ) 式，得输入交流电阻的表示式为 v r k = j 而t ( 2 - 1 5 ) 另外，由上述电阻并结合( 2 7 ) 式和( 2 8 ) 式可得，输出电流与输入电流乏间是 一释线性关系，在这种输入信号是小信号情况下，三极管可看成是一个线性器律。 2 3e b e r s m o li 模型的仿真 三极管的参数为：j 肋：2 x 1 0 。彬，i c o = 4 8 1 0 3 一，群f 2 o 9 6 ，2 o 4 ， 5 电子科技大学硕士学位论文 电源电压：= 1 5 v ；c 端的电阻：r c = 5 艘；直流偏置电压为：= o 7 v 。 三极管以共射方式接入电路，如图2 1 所示。 如果输入信号为v ，= 0 0 0 1c o sc o o tv ，其中角频率c o o = 1 1 0 5r a d s ，信号波 形如图2 2 所示。 由e b e r s m o l l 模型的基本公式和输出部分电路的回路方程，可以得到输出的 信号波形，如图2 3 所示。 这里还由( 2 1 4 ) 式或( 2 1 5 ) 式，计算出交流电n r b r b 。= 6 3 4 f l 。 图2 1e b e r s m o l l 模型接入电路图 6 ， 第二搴建模理论基础 詈 趔 趟 印 输入信号波形 己 测 挺 曾 时间( u s ) 图2 2e b e r s m o l l 模溅信号输入信号波形图 输出信号波形 时间( u s ) 图2 3e b e r s m o l l 模型信号输出信号波形图 7 电子科技大学硕士学位论文 第三章e b e r s m o l l 模型的贝塞尔函数分析 上一章中叙述了e b e r s m o l l 模型的基本理论和其中的一些结论，下面用贝塞 尔函数的母函数展开原理来分析这个模型。 3 1 贝塞尔函数 贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称。贝塞尔函数的几个正整数阶特 例早在1 8 世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔伯努利在研究悬链振动时提出了，当 时引起了数学界的兴趣。 丹尼尔的叔叔雅各布伯努利，欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研 究做出过重要贡献f 1 4 】【1 5 】。利用柱坐标求解涉及在圆、球与圆柱内的势场的物理问 题时出现的一类特殊函数。又称标函数。用柱坐标解拉普拉斯方程时，用到贝塞 尔函数，它们和其他函数组合成柱调和函数。除初等函数外，在物理和工程中贝 塞尔函数是最常用的函数，它们以1 9 世纪德国天文学家f w 贝塞尔的姓氏命名， 他在1 8 2 4 年第一次描述过它们。贝塞尔函数最早出现在涉及如悬链振荡，长圆柱 体冷却以及紧张膜振动的问题中。贝塞尔函数的一族，也称第一类贝塞尔函数， 记作，。( x ) ，用x 的偶次幂的无穷和来定义，数n 称为贝塞尔函数的阶，它依赖于 函数所要解决的问题。第二类贝塞尔函数( 又称诺伊曼函数) ，记作e ( x ) ，它由第 一类贝塞尔函数的简单组合来定义。第三类贝塞尔函数( 亦称汉克尔函数) 定义 为h 。= 以歹l ，其中i 为虚数，用n 阶( 正或负) 贝塞尔函数可解称为贝塞尔方程 的微分方程。 贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆 霍兹方程时得到的，因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有势场的问题中占 有非常重要的地位，最典型的问题有 在圆柱形波导中的电磁波传播问题； 圆柱体中的热传导问题； 圆形( 或环形) 薄膜的振动模态分析问题； 在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。譬如在信号处理中的调频合成或 凯泽窗的定义中，都要用到贝塞尔函数。 8 第三章e b e r s - m o l l 模型的贝塞尔函数分柝 为 这里主要是利用贝塞尔母函数的展开作谐波分析。拧阶的第一类贝塞尔函数 ) = 驴o o ) 嬲志 强t ， 3 2 利用贝塞尔函数的母函数作展开 贝塞尔函数的母函数又称为它的生成函数。是由解析函数g ( x ，z ) ：君。j 在 0 izf e 蝈 幽 脚 艺 j 型 拦 脚 输入信号波形及b 。点处的信号分量波形 时间( m s ) 图4 - 4 输入信号波形图和b 点处的信号分量波形图 输出信号波形 时间( m s ) 图4 - 5 输出信号波形图 第鲤章低频模跫 4 3 低频大信号模型 上西节对小傅号输入的情况傲了一定韵讨论。现在如果输入电压的幅度很 大，那会是一个糖姿蠹杂魄离题。不论从泰勒展开式0 - 9 ) 或者是献贝塞尔展秀式 a 。1 4 ) 上看，拳于输入信号的辐度很大，离阶项的影昀就不毵被忽略，也就是不麓 只取零阶、一阶顼徽近似。这样无不仅包含零阶、一阶顼，阂时也包含了二阶、 二阶以一鎏鲶顼，这意味着输出信号中有其它谐波分量躺产生，三极管成了一今嚣 线性的器件。与此同时，倍号电压对此电阻的影响不能忽略，基极与发射极之间 的交流邀阻就不仅仅惠壹流德置崽压决定了铡l 。 对盥流遇路的计算，与上一节基本相月，可以结合方程( 4 4 ) 翻牛顿逡代法解 撩礁，。簸鲍壹流偏置耄压分爨。对于输出酶直流邀篷分量可塞 。1 2 ) 式算褥。 主要熬难点在交流信号部分。把稼4 ) 式、鞲+ ? ) 代夕4 1 ) 式，并考虑茹珞；+ v i 翻峻，一聪洛+ ；，褥 圪蛰一专如扩弋( 1 i - - = o 丽t f ) i 蓦o 黪訾g 考略+ 一麓鬻。 ( 垂；3 上忒又是一个典型的超越方稷，没有解析解；由于素顼在数壁缓上鸯i 很接 避，不麓蘑寨勒展开墩一阶侔近馘酶方法。考虑用数值方法解上述方程。 蓄先，离散讫时阍并给定隧溺阕隔h ，h 取值一般与频率有美。通过上嚣鲶 计算，融经得到了圪辟。从理论上说，为了得到在每个时刻的交流电压v 妒只 需要在每一个时闻点上做牛顿迭代就可以了。然后事实上，警频率取一定僮时， 在某些时海煮上，攥牛顿迭代法时有被攀除或卷被个接近予零酶数除酶| 、逶题， 从而造成发散。这样就不能用牛顿迭代法解这个方程了。比如职= o o l c o s c o o tv ， 求导之艏会有, v te = - 0 o l a ，os i n t o o t v ，当在下半周期，蛾取特定值时，导函数 。( 1 一掰f ) ，露。 ( 重一窿f 爨嚣) 鳖三 - 8 喙e 珞