（应用数学专业论文）bl代数的广义模糊滤子.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 在研究非经典数理逻辑的语义理论时( 特别在讨论逻辑系统完备性时) ，通常 要考查与之相关的代数系统的结构，比如l u k a s i e w i c z 连续值逻辑与m v 一代数，形 式系统h 与r o 一代数、基本逻辑系统b l 与b l 一代数等，这与经典逻辑与b 0 0 1 e a n 代 数的关系极为相似因此，研究各种源于逻辑的代数系统的内在联系，不仅对代数结 构本身的研究是重要的，而且对于揭示各种逻辑系统之间的内在关系有重要意 义 本文在国内外已有成果的基础上，引入b l 一代数的( ，v 留) 一模糊滤子、 ( ，v g ) 一模糊关联滤子、( ，v g ) 一模糊正关联和( ，v g ) 一模糊奇妙滤子等概念， 运用模糊逻辑代数相关理论，研究了其性质。同时，利用模糊集的水平集，刻画了 这几类广义模糊滤子的特征最后，我们给出一个重要的结论：b l 一代数的模糊集， 是的( ，v g ) 一模糊关联( b o o l e a n ) 滤子当且仅当它既是( ，v g ) 一模糊正关联滤 子，又是( ，v g ) 一模糊奇妙滤子该文的研究，为b l 代数及其它逻辑代数的理论研 究提供了一个新的研究思路 关键词：b l 代数；( 关联，正关联和奇妙) 滤子；( ，v g ) 一模糊( 关联，正关联 和奇妙) 滤子；水平集 a b s t r a c t w h e n 、es t u d y 也es 锄a 埘ct l l c 0 巧o fan 伽旧l a 豁i c a lm a 廿l 伽喇c a l1 0 百c ( e 币e c i a l l 弘 d i s c u s s i l 培t h e1 0 百c a l 掣鼬e l 】陷) ，i i li n o s tc a s e i ti sn i 咒e s 鼢r yt 0e x 钲i l i i l et l l e 蛐m c t 呱峪o f r e l e v a n ta l 鬻b 畅cs y s t e l n s 鲫e h 笛：l l 墩a s i e 、历c zc 0 眦i m l o u sv 柚1 0 百c 彻dm v a l 簪b f 弱， f o ms 姆锄r 勰d 胁a l g e t 喝b 商c l o 出哪t 锄b l a n d b l a l g e t 臃e t c f r o m 廿l i s v i e w ， i ti ss 谊1 i l a r 幻m a tb e “嗍lc l a s s i c a l1 0 9 c 锄db 0 0 l e a na l g e b 就慨蠡) r e ，i ti s 证1 p o r t a 呲t o s t u d y i i m e fr e l 撕伽幽p so r i g i l l 舢e 缸u mv 撕。璐1 0 9 i ca l g e b r a i cs y s t e l l l s ，n o t 伽崎f 研 s t u d ) ，i n ga 1 蓼b r a i cs h u c t u r e s “s e 坞b u ta l s 0f i o rr e v e a l i l 培t h ei i l ：h 翩e n t 北l 撕0 1 1 sb c 加惴l v a r i o u s1 0 百cs y s t 印晦 b a u s c do nn l ea b o v en l e o w ei 1 1 仃o d u c em en o t i o 璐0 f ( ，v 口) 一m z z ) rb 0 0 1 锄 ( i m p l i c a t i v e ， p o s i t i v ei m p l i c a t i v ea n d 雠t i c ) f i l t e r so f b i 广a l g e b r a s 姐d i n v e s t i g a t es o m er e l a t e dp r o p e n i e s s o m ec h a r a i c t 耐z 撕0 n so ft h e s eg e n e r a l i z e d 勉z y f i l t e r sa r cd 耐v c db ym e a l l so ft 1 1 e i rl e v e ls l l b s e t s f i n a l l y 也1 er e l a t i 0 1 l s 锄o n gt l l e s e g 觚e r 蜀1 1 i z e d如z z yf i l t e f s a r cd i s c u s s e d i ti sp r o v e dm a ta 句臣z 万s e to fab l 广a l ge _ b f ai s 强( ，v g ) 一缸强拶i i n p h c a t i v e ( b 0 0 l e a n ) 丘1 t e ri f 锄do n l y i fi ti sb o m 缸 ( ，v 9 ) 一矗l z z yp o s i t i v ei m p l i c a t i v e 丘n e r 觚da n( ，v 9 ) 一f i u z z yf m t a s t i cf i l t e r 1 1 1 e 0 b t 豳e dr e s u l t sc 锄b ea p p l i e d t 0 妇l o g ka l g e b r 觞 k e y w o r d s ：b l - a l g e b m ；i i n p l i c 撕v e 0 0 l e 姐，p o s i t i v ei i n p l i c a t i v e ，f 孤t a s t i c ) f i l t i e r ； ( ，v g ) 一f i 您z yi l n p l i c a t i v e ( b o o l e a n ，p o s i t i v ci m p l i c a t i v e ，胁t a s t i c ) f i l t 钙1 e v e ls e t 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：与芬於日期：q 8 年岁月略日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：马号以 日期： o g 年j 月谚日 导师签名： 日期凶铲f 月蜘 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。圃童途塞握銮卮澄卮! 旦圭生；旦二生；旦三玺蕉查! 作者签名：弓菩以 日期： 喀年玉月万日 导师签名： 日期：讪菥j 为诊日 第一章引言 翅终涞，模糊推理麴逻麓囊黜得到精爹薄献的碗：究，比如秦董9 9 6 年以来捷克釜要辑 学专家p h 萄e k 发表了系列富有意义的研究成鹣其中基本逻辑系统既国a 幽h 鳓的 提出对模糊逻辑的基础研究影响较大( 参见文献【1 】) ，几个重要的模糊逻辑系统都是b 三 系统的语：；c 扩张，如融撼e 哦c z 系统、e ；甜e l 系统、积逻辑系统等关于逻辑系统b l 的 相关理论，集中反映在专著【l 】中。p 至溺矗基于剩余格理论提出了与基本逻辑系统b l 对 应的b l 代数理论，它包含m v _ 代数( 2 】) 、c 淑i e l 代数和积代数作为特例为了研究格 中的语义真值问题，徐扬教授在( 【3 ，4 】) 中提出格蕴涵代数为了寻求模糊推理可靠性 豹逻辑基础，王国俊教接警窃蝴麓鹇模糊摧爨新垂存在闷题的分析，在董9 9 6 年前 后提出了个新的形式演绎系统三，并子2 0 0 2 年证明了系统三的完备性( 参见文械5 一刀) 需要说明的是之所以对漉子理论给予如j 琏霪点关注，是因为从逻辑的观点看，各种 各样的滤子正好对应各耪各样的可证公式集。同时，滤子理论直接应用予商代数结构，这 正是硼贫代数系统构造的般方法在【l 】中，p h 萄威利用b l 代数的素滤予，证明了基 本逻辑代数的完备性有关b l 代数的素滤子的其它性质，可参见t u n m c n 【8 1 l 】进一 步，h 钾商澎等在【1 2 】中研究了转。代数的其它滤子的性质鞠特征 自从1 9 6 5 年美嚣控制论专家z a d 矗【1 3 】提出模糊集之后，该理论已广泛应用到 许多领域2 0 0 5 年，刘练珍博士在【1 4 ，1 5 】中讨论了b l 代数的模糊滤予以及模糊 b o o l e a n ( 关联和正关联) 滤子的性质和特征在【1 6 】中，张小红教授探讨了b l - 代 数的模糊超滤子和摸糊固执滤子利用“属于”和“拟一致”的概念【薹7 】，髓呔越等在 【1 8 】中研究了群的( 妫g v g ) 一模糊子群的性质事实上，该概念是r o s 蹦f e l d 模糊群 的重要推广需要提到的是，d a w a z 将这一概念推广到近环中【1 9 】 在芝述理论基础b 本文在国内羚已有戒果的基础上，萼l 入并深入研究了鹭。代 数的( ，v g ) 一模糊滤子、( ，e v g ) 一模糊关联0 0 l e a n ) 滤子、( ，v g ) 一模糊正关 联和心v g ) 一模糊奇妙滤子，并讨论其关系最后，我们给出一个重要的结论： b l - 代数的模糊集，是的( s ，gv 窖) 一模糊关联( b o o l e a n ) 滤子当且仅当它既是 ( ，ev 口) 一模糊正关联滤子，又是( 瞄v g ) 一模糊奇妙滤子该文的研究，为b l 代数 及其它逻辑代数的理论研究提供了一个新的研究思路。 第二章b l - 代数的基本概念和性质 为了行文的方便，本章先介绍b l _ 代数的些基本概念和性质 2 1 基本概念 我们首先给出b l 代数的概念： 定义2 1 1 一个b l 代数是一个结构( 厶 ，v ，o ，1 ) 满足下列条件： ( i ) ( 厶 ，v ，o ，1 ) 是一个有界格； ( i i ) ( 厶o ，1 ) 是加法幺半群，即。是交换的，结合的，且x o1 ； ( i i i ) 坛，y ，z 三，有： 1 ) x o y z 当且仅当x y 专z ； 毋2 ) x y = x o ( 工y ) ； $ 3 ) o 专y ) v ( j ，专曲= 1 对于任意b l - 代数三，下述结论成立( 见【2 0 2 2 】) ： ( 1 ) x y c ，x y = 1 ， ( 2 ) x 一专z ) = o o y ) 专z = y 专 寸z ) ， ( 3 ) x o y x y ， c 4 ，二：；三孑：暑：罢：耄：x 专y 一z ) 专o 专z ) ， ( 5 ) x 专x = x ”专工， ( 6 ) x v x = 1 x x = o ， ( 7 ) x v y = “x 专y ) 哼y ) ( ( y 一工) 专x ) ， 2 其中，工= x 专0 下面，我们给出b l 代数的几类滤子概念： ( 1 ) b l 代数三的非空子集彳称为三的滤子，假若满足：( i ) l 彳；( 哟 v 叠彳，y 三，工专y 彳y 4 显然，三的非空子集彳是工的滤子，当且仅当它满足 ( i ) v l ，y 彳，x o y 彳；( i i ) v 七么，x y = ) ，么 ( 2 ) 称三的滤子4 为关联滤子，假若它满足： 石专( z 一y ) 彳，y 哼z 4j x 专z 彳 ( 3 ) 称三的滤子彳为b 0 0 1 e 锄滤子，假若垤厶石v 工么 ( 4 ) 称三的滤子么为正关联滤子，假若它满足： z 专o _ z ) 彳，石一y 彳j 石寸z 彳 ( 5 ) 称三的滤子彳为奇妙滤子，假若它满足： z 专( y 一工) 彳，z 么j ( o 专y ) 专y ) 哼石么 下面，给出b l 代数的几类模糊滤子概念： 定义2 1 2 1 1 哪b l 代数三的模糊集f 称为三的模糊滤子，假若它满足： ( i ) 坛，y 厶，o o y ) m i i l ，( 力，f ( y ) ) ， ( i i ) f 保序，即坛，y 三，石y ，( 力，o ) 定义2 1 3 b l 代数的模糊滤子f 称为b 0 0 l e 锄的，假若它满足： ( i i i ) v 三，( 工v x = 1 定义2 1 4 1 1 5 1b 【广代数三的模糊滤子，称为关联的，假若它满足： ( i v ) 坛，y ，z 厶，o 专z ) i i l i n f o 一( z 一y ) ) ，o 专z ) ) 定义2 1 5 1 1 5 1b l 代数三的模糊滤子f 称为正关联的，假若它满足： ( v ) 坛，y ，z 厶f 0 一z ) 之i i l i n 伊o 斗( y z ”，o y ) ) 3 2 2 性质和结论 设f 是三的任意模糊集，f ( o ，1 】，集合e = 缸三if ( 力f ) 称为f 的水平集。 定理2 2 1 b l i 代数l 的模糊集f 是三的模糊滤子当且仅当对于v f ( o ，1 1 ， 任何非空水平集只是l 的滤子 定理2 2 2 b l 代数三的模糊集f 是三的模糊关联滤子当且仅当任何非空 水平集e 是三的关联滤子 定理2 2 3 1 1 5 1b i 广代数三的模糊集f 是三的模糊正关联滤子当且仅当任何非 空水平集只是三的正关联滤子 定理2 2 4 b l 代数三的模糊集f 是模糊b o o l e a i l 滤子当且仅当它是模糊关 联滤子。 对于坛厶b l 代数三的模糊集，有如下形式： 胁，= 伊籍毛 称为工和f 的模糊点，记为u o ；f ) 模糊点u ；f ) 称为属于( 或拟一致) 模糊 集，记为u o ；f ) f ( 或u ( x ；f ) 矿) ，假若它满足：f ( 功f ( 或f ( 工) + f 1 ) 若 u o ；f ) f 或u o ；f ) 矿，则记为u o ；f ) v g ，符号v g 意味着v g 不成立 显然，( ，v g ) 一模糊子群是r o s e n f e l d 模糊子群的重要推广具体细节，见 【2 3 】 4 硕士擘住论文 m a s t e s 傀e s i s 第三章b l 代数的( ，v g ) 一模糊( b o o l e a n ，关联) 滤子 本章，我们将讨论b l 一代数的( ，v g ) 一模糊滤子，( ，v q ) 一模糊b 0 0 1 e a n 滤子 和( ，v g ) 一模糊关联滤子这三种广义模糊滤子 3 1b l - 代数的( ，v g ) 一模糊滤子 在这一节，我们将讨论b l 代数的( ，v g ) 一模糊滤子，推广了文【1 4 】中的模糊 滤予的结论 为行文方便，以下三均表示b l 代数 定义3 1 1 上的模糊集，称为工的( ，v g ) 一模糊滤子，假若对于 v f ，( o ，1 】，石，y 三， ( f 1 ) u ( x ；f ) ，且u o ；，- ) f 则u o o y ；l i l i n f ，) ) v gf ， 2 ) 若x j ，【，( x ；，) f ，贝0 己，( y ；，- ) v g f 例3 1 1 令三= 0 ，口，6 ，1 ) ，其中0 口 6 1 定义x y = 1 1 1 i n x ，y ) ， 石v y = m 越 x ，y ) ，且运算。和专定义如下： u口dl 0l1ll 口口111 6o口11 10口 6 1 易验证，( l ，人，v ，o ，_ ，0 ，1 ) 是b l 代数定义三的模糊集，为 f ( 1 ) = f l ，( 6 ) = f 2 ，( 0 ) = f ( 口) = f 3 ，其中，o f 3 乞 ， 4 ) ，y 三，x y = 争f ( y ) i m n ，( 工) ，o 5 ) 证明：( f 1 ) j ( f 3 ) 设z ，y 厶我们考虑下述两种情形： ( a ) m i i l f ( x ) ，( y ) ) o 5 ， ( b ) m i i l f ( x ) ，f ( y ) ) o 5 对于情形( a ) 假设存在x ，y 厶使， o y ) m i n f ( 功，( y ) ，o 5 ) 显然有 f o o y ) “n 伊( 曲，f ( ) ，) 不妨设存在f 使f o o y ) f i i l i n 伊( 曲，f ( y ) ) ，则 【，o ；f ) f ，u ( y ；f ) f ，但u o y ；f ) 五石f ，这与条件( f 1 ) 相矛盾，故3 ) 成立 对于情形( b ) 假设f o o y ) 0 5 ，则u ( x ；o 5 ) f 且u ( y ；o 5 ) f ，但 u oo y ；o 5 ) v gf ，矛盾故 3 ) 仍成立 ( f 2 ) j 伊4 ) 设x ，) ，厶我们考虑下述两种情形： ( a ) f ( 力 0 5 ， ( b ) f ( 工) o 5 对于情形( a ) 令x y 设f ( 曲= f o 5 且f ( y ) = 厂 f ( x ) 选择s 使r s f 且 ，+ s o 5 ，那 6 项士擘位论文 m a 盯e r st i 珏鹦i s 么，o o 力+ l l l i n 和，) 1 若幽p ，) 0 5 ，则，o o 力觚n p ， 因此，由上述两 种情况，知u o o y ；r n i n f ，r ) v qf ( f 4 ) ( f 2 ) 令石y 设u o ；f ) f ，贝0 ，( 功f ， ，( y ) m i n f ( 石) ，o 5 ) m i i l f ，0 5 若f o 5 ，则f ( y ) f 若f 0 5 ，贝0 ，( y ) o 5 因此，u ( y ；f ) v 矿 注3 1 1 ( 1 ) b l 代数的任何模糊滤子是( ，v g ) 一模糊滤子，其逆命题一般不 成立； ( 2 ) 若f 是三的( ，v 口) 一模糊滤子且f ( 1 ) = m i l l ，( 力，0 5 ) ， 即证明 伊4 ) 成 立 因 x 寸一o o y ) ) = o o 力峥o o 力= 1 由但5 ) 和( f 6 ) 知， ，0 0 y ) m i n f ( y ) ，f 专 o y ) ) ，0 5 ) n l i n ，( y ) ，m i n ，( x ) ，( 1 ) ，o 5 ) ，o 5 ) m i i l 伊( y ) ，f ( x ) ，o 5 ) 这即证明( f 3 ) 成立因而，是三的( ，v g ) 一模糊滤子 反之，若f 是三的( ，v g ) 一模糊滤子坛e 厶x 1 ，则由 4 ) 知， ，( 1 ) l i l l 伊( 破o 5 ) 又由x o 寸) ，) 寸y 知石0 0 专y ) 弘因而 7 硕士擘位论文 m 略f e r s 豫e s l s f ( y ) m i i l f o o o y ) ) ，o 5 ) n l i i l 伊( 曲，f o 寸力，o 5 我们给出b l - 代数的( ，v g ) 一模糊滤子的特征： 定理3 1 3 b l 代数三的模糊集，是( ，v g ) 一模糊滤子当且仅当对于 v o f o 5 ，非空集合c 是三的滤子 证明：设f 是三的( ，v 口) 一模糊滤子，且v o f o 5 若x ，y z ，则f ( 功f 且f ( y ) f 从而 f o o y ) m i l l 伊( 功，( y ) ，o 5 ) m m p ，0 5 = f ， 即x o y e 设x y 且x e ，则由 4 ) 知，( y ) m i l l 扩( x ) ，o 5 ) l n i n 似o 5 ) = f ，即推出 y 只因此，z 是三的滤子 反之，v 0 f o 5 ，非空集合z 是三的滤子，那么对于坛，y 厶记 f ( x ) m i n ，( x ) ，( y ) ，o 5 ) = 岛， f ( y ) m i n f ( x ) ，f ( y ) ，0 5 ) = f 0 因而，x ，y 气，于是工o y 气，从而，o o y ) f o = i 血矿( x ) ，f ( y ) ，o 5 若石y 令f ( 力i i 血矿( z ) ，o 5 ) = ，则x ，因而y 气，于是 f ( y ) = 1 1 1 i n 扩( x ) ，o 5 ) 故f 是三的( ，v 口) 一模糊滤子 自然地，我们需要考虑v o 5 f 1 ，非空集合e 是工的滤子的情形： 定义3 1 2 三的模糊集，称为的( 苫，苫v 孑) 一模糊滤子，假若对于 v f ，( o ，1 】，x ，y 三， 伊7 ) u o o m i n p ， ) 盯，则u ( 墨f ) v 妒或u ( z 厂) v q ， 但8 ) 若x y ，u ( y ；，) f ，贝0 u 0 ；，) v gf 定理3 1 4 三的模糊集，是三的( ，v g ) 一模糊滤子当且仅当对于坛，y 厶 口9 )m a x f ( xoy ) ，o 5 ) m i n f ( 石) ，f ( y ) ) ， 伊1 0 ) 工y m a 】【伊( y ) ，o 5 ) f ( x ) 证明：伊7 ) j 伊9 ) 若存在五) ，厶使 m 觚伊o o y ) ，o 5 ) f = i n i n f ( 功，( y ) ) ， 则o 5 f 1 ，u o o y ；f ) f 和 u ( x ；f ) ，u ( y ；f ) ，由( f 7 ) ，有u 0 ；f ) g f 或u ( y ；f ) g f ，那么( f f ( 石) 且 f + f ( z ) 1 ) 或( f f ( y ) 且f + f ( y ) 1 ) 从而f 0 5 ，矛盾故( f 9 ) 成立 妒9 ) j 伊7 ) 令u o ) ，；m i i l f ，) ) f ，则，o o y ) i i l i n f ，r ) ( a ) 若f o o y ) m i i l ，( 曲，( y ) ，则i l l i n ，( 功，f ( j ，) ) m i i l 0 ，厂) ，因此，f ( 功 f 或f ) ，这即说明，u ( x ；f ) 召或【，( y ；，) 舀从而，u ( x ；f ) 苫v 矽或【，( y ；，后v ( b ) 若f o 力 i i l i n 伊( x ) ，( y ) ) ，那么由( f 9 ) 知，o 5 m i n f ( x ) ，f ( ) ，) ) 令 u o ；f ) ，u ( y ；f ) f ，则u ( x ；f ) 矿或u ( j ，；，) 矿，从而u o ；f ) v 矿或u ( y ；，) v 矿 ( ，8 ) j ( ，1 0 ) 令x y 若存在石，y 厶使 m a ) 【伊) ，o 5 ) f = ，( 石) ，那么o 5 f 1 ，u ( y ；f ) f ，但u ( x ；f ) ，因u ( ) ，；f ) 盯， 由伊8 ) 知，u ( y ；f ) 盈推出u ( z ；f ) ，于是，f f o ) 且f + ，( 功1 从而f o 5 ，矛盾 故伊l o ) 成立 ( f l o ) j ( f 8 ) 令x y 设u ( y ；f ) 印，则，( y ) f 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s ( a ) 若f ( 力f ( 力，则f ( 曲 f 这即说明，u ( x ；f ) f 从而，u ( x ；f ) v 矿 ( b ) 若，) ，( 功，那么由( f 1 0 ) 知，0 5 ，( 力令u ( x ；f ) ，则【，( 工；f ) 矿，从而 u 似f ) v 矿 引理3 1 1 设，是三的模糊集，则对于5 f 1 ，非空集合z 是三的滤子当 且仅当它满足( f 9 ) 和但l o ) 证明：设只是三的滤子假若存在五y 三，使 m a ) 【 ，0 0 ) ，) ，o 5 ) ，= 1 1 1 i n ，( 力，( y ) ) ，则0 5 ，1 ，“o ) ，) ，且 石c ，j ，巧因x c ，j ，巧，z 是三的滤子，则石o y z 即，o o y ) f ，矛 盾，故 9 ) 成立 设石y 假若存在z ，) ，厶使m a x 妒( y ) ，o 5 ) f = f o ) ， 则o 5 f 1 ，f ( 力 f 和石c 因x c ，c 是工的滤子，则y c ，即，( y ) f ， 矛盾，故( f 1 0 ) 成立 反之，若 9 ) 和( f 1 0 ) 成立下证非空集合z 是三的滤子不妨设o 5 f l ，工，y e ， 贝00 5 f m i n t f ( x ) ，f ( y ) ) m a x f ( 工o j ，) ，0 5 ) = f ( x o y ) ，即x o y e 令x y 若工e ，则0 5 f f ( 砷m a x 扩( y ) ，o 5 ) = ，( y ) ，于是y e 故e 是三的滤子 定理3 1 5 b l 代数三的模糊集，是( ，v g ) 一模糊滤子当且仅当对于 v 0 。5 f 1 ，非空集合e 是三的滤子 证明：由定理3 1 4 和引理3 1 1 即证 设，是b l 一代数三的模糊集，且，= pf ( o ，1 】，z 是非空或是三的滤子) 特 别地，若，= ( o ，1 】，那么f 是三的模糊滤子( 定理2 2 1 ) ；若= ( o ，o 5 】，那么f 是三的 ( ，v g ) 一模糊滤子( 定理3 1 3 ) ；若，= ( o 5 ，1 】，那么f 是三的( ，v g ) 一模糊滤子( 定 1 0 理3 1 5 ) 在【2 4 仲，袁学海教授推广了r 0 s 印f e l d 和b h a l 【a t 等的模糊子群概念，引入 具有阙值的模糊子群在此基础上，我们在b l 代数中引入具有阙值的模糊滤子： 定义3 1 3 设口，【o ，l 】且口 卢称l 的模糊集，为具有阙值 ，用的模糊滤 子，假若对于坛，y 厶 口1 1 ) m a ) ( 扩0 0 y ) ，口 n l i n i i l i n ，( 曲，) 注3 1 2 ( 1 ) 由定义3 1 3 ，我们有如下结论：若，为三的具有阙值以，】的模糊 滤子，则推出： ( i ) f 是三的模糊滤子当口= 0 ，= 1 ； ( i i ) ，是l 的( ，v g ) 一模糊滤子当口= o ，= o 5 ； ( i i i ) f 是三的压，苫v 劢一模糊滤子当口= o 5 ，= 1 ( 2 ) 由定义3 1 3 ，我们能定义其它具有阙值的模糊滤子，如( o 2 ，o 7 】，( o 4 ，o 6 】 等； ( 3 ) 存在三的具有阙值的模糊滤子既不是普通模糊滤子，也不是( ，v g ) 一模糊 滤子和压，三v - ) 一模糊滤子，见下例： 例3 1 2 考虑b l 代数( 厶 ，v ，o ，一，o ，1 ) 如例3 1 1 定义三的模糊集f 为 f ( o ) = o 2 ，f 0 ) = 0 4 ，f ( 6 ) = o 8 ，f ( 1 ) = o 6 则 e = o ，口，6 ，b 口，6 ，1 ) 6 ，1 ) 砩 。 若o f o 2 ， 若0 2 f 0 4 ， 若0 4 f o 6 ， 若o 6 f s o 8 ， 若o 8 f s l 因此，f 是三的具有阙值( 0 4 ，0 6 】的模糊滤子，但f 既不是普通模糊滤子，也不 是( ，v g ) 一模糊滤子和( v g ) 一模糊滤子 作为本节结束，我们给出如下结论： 定理3 1 6 b l 代数三的模糊集，是具有阙值 ，仞的模糊滤子当且仅当对于 v 口 f ，非空集合e 是的滤子 证明：类似于定理3 1 3 和引理3 1 1 3 2b l 代数的( ，v g ) 一模糊b o o l e a n 滤子 建立在上一节的基础上，本节，我们将讨论b l 代数的( ，v g ) 一模糊b 0 0 l e 雏 滤子， 定义3 2 1 三的( ，v 口) 一模糊滤子，称为b o o l e a n 的，假若它满足： 口1 3 ) v 戈三，( x v 工i ) 0 5 注3 2 1 三的模糊b o o l e 趾滤子是( ，v g ) 一模糊b o o l e 弛滤子，其逆命题一般 不成立 例3 2 1 令三= o ，口，6 ，1 ，其中0 口 6 1 定义x y = r n j n 扛，拼， x v ) ，= m 觚缸，y ) ，且运算o 和一定义如下： 易验证，( ， ，v ，o ，j ，0 ，1 ) 是b l 代数定义上的模糊集f 为 ，( o ) = 0 3 ，f ( 1 ) = ，( 6 ) = ，0 ) = o 8 经验证，是工的( ，v g ) 一模糊b 0 0 1 e a n 滤子。 1 2 我们给出b l 广代数的( ，v g ) 一模糊滤子的特征： 定理3 2 1 b l 代数三的模糊集f 是( ，v g ) 一模糊b o o l e a l l 滤子当且仅当对于 v o f o 5 ，非空集合e 是三的b o o l e a l l 滤子 证明：设f 是l 的( ，v g ) 一模糊b 0 0 1 e m 滤子，且v o f ， 即x v x 只故z 是三的b 0 0 1 e 孤滤子 反之，对于v o f o 5 ，非空集合只是三的b 0 0 l e a i l 滤子由定理3 1 3 知，是 工的( ，v g ) 一模糊滤子因昂s 是三的b o o l e 觚滤子，则对于坛厶石v x 矗”即 ，o v x l ) 之o 5 故f 是三的( ，v q ) 一模糊b 0 0 l e 觚滤子 自然地，我们需要考虑v o 5 f l ，非空集合e 是三的b o o l e 锄滤子的情形： 定理3 2 2 设f 是工的模糊集，则对于v 0 5 f 1 ，非空集合只是三的b 0 0 l e a n 滤子当且仅当它满足 9 ) ，( f 1 0 ) 和 伊1 4 ) v x 三，( j v z f 证明：设非空集合f 是三的b 0 0 1 e 趾滤子，由引理3 1 1 知，口9 ) 和( f 1 0 ) 成立 因z 是b 0 0 1 e 她的，则坛厶工v x 巧，即f o v x - ) f 故( f 1 4 ) 成立 反之，若( f 9 ) ，口1 0 ) 和( f 1 4 ) 成立由引理3 1 1 知，z 是三的滤子由伊1 4 ) 知， 溉厶f o v x ) f ，即x v z c 故c 是三的b o o l e a i l 滤子 3 3b l 代数的( ，v g ) 一模糊关联滤子 刘练珍博士在【1 5 】研究了b l 代数的模糊关联滤子在此基础上，我们讨论b l 代数的( ，v g ) 一模糊关联滤子，推广了文 1 5 】中的模糊关联滤子的结论。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定义3 3 1 b i 广代数三的( ，v g ) 一模糊滤子，称为三的( ，v g ) 一模糊关联滤 子，假若它满足： 1 5 ) 协，弘z 厶，0 专z ) 1 1 1 i n 矿o 专( z 专y ) ) ，f ( y j z ) ，o 5 ) 注3 3 1 ( 1 ) b l 代数的任何模糊关联滤子是( ，v 口) 一模糊关联滤子，其逆命题 不成立； ( 2 ) 若f 是的( ，v g ) 一模糊关联滤子且，( 1 ) 0 5 ，则，是模糊关联滤子 我们给出b l - 代数的( ，v 9 ) 一模糊关联滤子的特征： 定理3 3 1 b 【广代数三的模糊集f 是( ，v g ) 一模糊关联滤子当且仅当对于 v o f 0 5 ，非空集合c 是的关联滤子 证明：设f 是三的( ，v g ) 一模糊关联滤子，且v o f 0 5 由定理3 1 3 知，非 空集合z 是三的滤子若x 专( z 专y ) f 且y 专z e ，则f oj ( z 专y ) ) f 且 ，( y 寸z ) f 从而 f o 专z ) l i l i n 扩o 专( z 朋，o 专z ) ，o 5 ) i m n p ，0 5 ) = f ， 即石专z c 因此，c 是三的关联滤子 反之，v 0 ，s o 5 ，非空集合e 是三的关联滤子由定理3 1 3 知，是上的 ( ，v g ) 一模糊滤子那么对于眠y 三，记 ， 一( z 专y ) ) m i i l 伊 一( z y ) ) ，( y z ) ，o 5 = 岛， ，抄专z ) i i l i n 伊o 专( z y ”，( y 专z ) ，o 5 ) = 岛 1 4 因而，z 寸( z 一y ) ，y z 气，于是x 专z 气 从而，f o 专z ) f o = m i n 伊o 专( z 专y ) ) ，( y 专z ) ，o 5 故f 是工的( ，v g ) 一模糊关联滤子 自然地，我们需要考虑v o 5 f 1 ，非空集合巧是三的关联滤子的情形： 定义3 3 2 三的( 苫，三v 石) 一模糊滤子f 称为压，三v 劢一模糊关联滤子，假若它满 足： 口1 6 ) m a ) ( 护o 专z ) ，o 5 ) l i l i n 伊o 专( z 一y ) ) ，( y z ) ) 引理3 3 1 设f 是的模糊集，则对于v o 5 f l ，非空集合e 是三的关联滤子 当且仅当它满足( f 9 ) ，( f 1 0 ) 和( f 1 6 ) 证明：对于v o 5 f l ，非空集合e 是上的关联滤子由引理3 1 1 知，9 9 ) ， ( f 1 0 ) 成立 假若存在x ，y ，z 厶使 m 觚 ，o 啼z ) ，o 5 ) f = i i l i n 扩o 专( z 一y ) ) ，( y 专z ) ) 则o 5 f 1 ，f o 专z ) f 和x 专( z 专y ) 正，y 专z e 因x 哼( z 哼y ) e ，y 专z 巧，只是的关联滤子，则x z c 即 ，o 斗z ) f ，矛盾，故口1 6 ) 成立 反之，若 9 ) ，( f l o ) 和( f 1 6 ) 成立，下证非空集合c 是三的关联滤子由引理3 1 1 知，e 是l 的滤子不妨设o 5 f 1 ，x 一( z 。_ y ) 互，y 专z c ，则 0 5 f m i i l 伊o 专( z 一y ) ) ，( y 专z ) ) m a x 伊o z ) ，0 5 ) = f o 专z ) ， 即石一z e 故巧是三的关联滤子 定理3 3 2 b l 代数三的模糊集，是压，苫v - ) 一模糊关联滤子当且仅当对于 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s v 0 5 f 1 ，非空集合只是三的关联滤子 证明：由定理3 1 4 和引理3 3 1 即证 设，是b l 一代数上的模糊集，且，= fif ( o ，1 】，e 是非空或是上的关联滤子 特别地，若，= ( o ，1 】，那么f 是工的模糊关联滤子( 定理2 2 2 ) ；若，= ( 0 ，0 5 】，那么f 是 的( ，v g ) 一模糊关联滤子( 定理3 3 1 ) ；若，= ( 0 5 ，1 】，那么，是三的( ，vg ) 一模 糊关联滤子( 定理3 3 2 ) 我们在b l 代数中引入具有