小学数与代数问题研究ppt课件

小学“代数初步”问题研究,1,一、小学代数知识的内容及课程标准要求二、小学数学代数部分教材的编排特点分析。三、小学数学代数知识的教学内容分析四、代数知识教学的困惑。,2,一、小学代数知识的内容及课程标准要求：,1.小学代数的初步知识内容有：式与方程：用字母表示数：用字母表示运算定律，表示计算公式，表示数量关系简易方程：方程，方程的解，解方程比和比例意义和性质，求比值，化简比，比例尺，正反比例，解比例解决问题,3,2.2011版课标对代数初步知识的要求,第一学段：没有提出具体的要求,第二学段：明确提出要求,式与方程的要求：1在具体情境中能用字母表示数。2结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。3.能用方程表示简单情境中的等量关系（如3x+25，2x-x3）了解方程的作用。4了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。,4,比和比例的要求,1在实际情境中理解比及按比例分配的含义，并能解决简单的问题。2通过具体情境，认识成正比例的量和成反比例的量。3会根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图，并会根据其中一个量的值估计另一个量的值。4能找出生活中成正比例和成反比例关系量的实例，并进行交流。,5,2011版课程标准对代数初步知识的要求的变化,数与代数的变化,第一学段:在内容结构上没有变化。没有出现代数初步知识的具体内容,第二学段：增加“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。调整的内容：1.将“理解等式的性质”，改为“了解等式的性质”2.将“会用等式的性质解简单的方程(如3x+25，2x-x3)”，改为“能解简单的方程(如3x+25，2x-x3)”。3.使一些目标的表述更加准确和完整。例如将“会用方程表示简单情境中的等量关系”，改为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用”。,6,原课标：“符号感”主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题。”,修改稿：“符号意识”主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,“,意识”有两个意思：第一，用符号可以进行运算，可以进行推理；第二，用符号进行的运算和推理得到的结果具有一般性。,7,二、小学数学代数初步知识教材的编排特点分析,人教版小学数学代数部分教材编排分三个阶段,一、前期渗透、孕伏阶段(14年级)二、集中生发、形成、发展、应用阶段（5上）三、后期拓展、应用阶段（5下6下）,8,一、前期渗透、孕伏阶段(14年级),一上教材第70页填未知加数是结合10的加减法安排的。教材第70页上的插图：盒子里能放10枝圆珠笔，已经放了7枝，还要放几枝才能装满。让学生明确图意列出算式：7+（）=10，明白括号表示一个数。初步孕伏方程思想。,9,一年下册：体会加法、减法之间关系的同时，初步孕伏方程思想。,10,重点是让学生明确符合要求的数有多个，即答案的多样性，（）不是某个特定的数，为以后学习代数知识打下了基础。,11,二年级下册89页：这是在学生学习了表内乘法以后第一次出现的填最值的练习，为以后学习用竖式计算除法作些准备。它采用变式让学生灵活应用乘法口诀寻找答案，使学生明确在括号里只能填一个符合题意的最大整数，同时渗透一点“最值”的思想。,12,二下教材第22页练习四思考题：,这是第一次出现的用或表示加数。初步渗透符感。,13,二下册：这题是用乘法口诀求积、求商的变式练习。通过这个练习，一方面提高学生应用口诀进行计算的熟练程度，另一方面孕伏方程思想。如，4=36，式中的“”就是要求的未知数，将它用一个字母代替，就变成了一个方程，使学生具体地、早期地感受方程的思想。,14,三上教材：是培养学生初步的符号感。,15,三上教材：用表示横、竖式中的数，培养学生初步的符号感。,16,三年级上册：53页练习十二第三题这样的题型是第二次出现，这种练习有助于学生掌握除法的试商方法。同时渗透一点“最值”的想。,17,三年级下册：这道题目是比较抽象的等量代换练习，实际上是二元、三元一次方程组的一种直观表示法，为以后学习简单的代数知识做准备。,18,四下教材第三单元用字母表示加法乘法五大运算定律：加法交换律:a+b=b+a加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律:axb=bxa乘法结合律:(axb)xc=ax(bxc)乘法分配律:(a+b)xc=axc+bxc,初次用字母表示定律，引导学生体会用字母表示定律比较简洁，能够帮助记忆，为以后进一步学习用字母表示数打下知识基础。,19,从上面的解读中我们不难发现，除了四年级下册出现用字母表示定律外，其他1-3年级都是用（）、等表示数，都是零散的在练习中穿插进行的，没有系统的教学，这称之为渗透、孕伏阶段。,20,二、集中生发、形成、发展、应用阶段,5年级上册教材的第四单元简易方程小学阶段正式教学代数初步知识,本单元的内容分为两节：第一节的主要内容：用字母表示数、表示运算定律、计算公式和数量关系,第二节的主要内容是方程的意义，等式的基本性质和解简易方程，以及列方程解决一些比较简单的实际问题。,21,第一节：用字母表示数共安排了4个例题：例1用字母表示数例2：用字母表示运算定律；例3：用字母表示计算公式；例4：用字母表示数量关系；,第二节的内容安培分为三个层次，先认识方程的意义，等式的性质1，性质2；再学习解方程，包括方程的解，设置4个例题；例1：解形如xa=b的方程；例2：解形如ax=b或xa=b的；例3：列方程解加减计算的问题；例4：列方程解乘除计算的问题解方程。,22,最后学习稍复杂的方程例1：解方程axb=c及其应用例2：解方程axbcd及其应用例3：解方程axbxc及其应用,23,教材这样安排的，在小学数学知识结构中地位和作用：,一、是有助于培养学生的抽象概括能力，发展学生思维的灵活性。,从具体事物的数抽象出字母表示的可变，抽象的数是认识上的一个飞跃用字母表示数到列方程解决问题又是数学思想方法认识上的一次飞跃,二、是有助于巩固和加深理解所学的算术知识,三、是有利于加强中小学数学的衔接。引入等式的基本性质或方程的同解原理，然后重新学习依据等式的基本性质或方程的同解原理解方程，有利于加强中小学数学教学的衔接。,24,三、后期拓展、应用阶段（5下6下）,.五下教材用字母表示长方体正方体的体积计算V=abhVaaa=a3Vsh,在学习用字母表示数的基础上，引导学生自觉用字母表示计算公式，是对新知识高度概括，也是用字母表示数的知识的应用。,25,六上教材用字母表示圆的周长面积计算公式：c=d或c=2rS=r2,引导学生自觉用字母表示计算公式，是对新知识高度概括，也是用字母表示数的知识的应用,用方程解决分数除法问题，用方程解鸡兔同笼问题，是在学生已经学习了列方程解决实际问题以及运用分数乘法解决一些实际问题的基础上进行教学的，是方程知识的拓展应用。,26,用字母表示正比例的意义，是对新知识高度概括，也是用字母表示数的知识的应用。,27,用字母表示反比例的意义用字母表示数的知识应用。,28,29,30,像解比例，用方程求实际距离，比例应用题等运用转化思想将含有未知数的比例式转化为方程，运用解方程方法解题。运用正反比例的关系解答比较简易的应用题。这些其实就是方程解决问题的拓展应用。,31,三、小学代数知识初步的教学内容分析,一、五年级上册第四单元简易方程教学分析：,教学目标：1、初步认识用字母表示数的意义和作用，能够用字母表示学过的运算定律和计算公式，能够在具体的情境中用字母表示常见的数量关系。初步学会根据字母所取的值，求含有字母式子的值。2、初步了解方程的意义，初步理解等式的基本性质，能用等式的性质解简易方程。3、感受数学与现实生活的联系，初步学会列方程解决一些简单的实际问题。,32,教学重点难点：重点是解方程与列方程解决实际问题。列方程解决问题又是教学的一个难点，难点一是思维方式发生了变化，难点二是找相等关系。,33,例1（用字母表示某个具体的数）通过复习以前所学知识，巩固用符号、字母表示某个具体的、特定的数，渗透求未知数的思想，从符号表示逐渐过渡到字母表示，并引出例2。,34,例2（用字母表示运算定律）（1）使学生认识用字母表示运算定律的简明性、优越性，一是可以表示一般规律，二是叙述方便。在这儿，字母不止表示一个特定的数，而是表示一般的数（2）两字母相乘的表示法（3）教材上只给出乘法交换律的表示法，要求学生自己写出其他定律。“你知道吗？”介绍单位名称的字母表示法，今后教材中的单位名称一般用字母表示。,35,例3（用字母表示面积和周长计算公式）（1）两个过程：用公式表示面积、周长公式是一个一般化的过程（具体到象），而根据公式计算某一具体图形的面积和周长则是一个特殊化的过程（代入求值）。代入求值在这儿要多加训练，后面解方程的验算就是一个代入求值的过程。（2）平方的表示，数与字母相乘的表示。,36,例4（代数式）（1）用一个代数式可以表示两个含义：数量、数量关系。如a30可以表示爸爸的年龄，也可以表示爸爸与小红年龄之间的关系。（2）通过归纳法，从具体到一般，得出代数式的表示法，渗透函数思想，第1小题是加减法数量关系，第2小题是乘除法关系。（3）渗透函数中自变量的取值范围（定义域),37,解简易方程1.方程的意义（1）通过用天平称量物体的活动引出方程概念，与后面利用天平原理解方程相一致。（2）前面已经有了列代数式的基础，因此天平左边的代数式学生比较容易列出来。（3）通过两边物体轻重的直观比较引出不等式及方程。（4）根据方程的概念自己写一些方程，范围可以很广，可以包括多元方程，只要符合方程的定义即可。,38,39,天平原理（等式性质）（1）利用直观的形式使学生理解天平平衡的两条原理（在方程中相当于作同解变换）：天平保持平衡的原理1：两边同时加上或减去相同的数，左右两边仍然相等；天平保持平衡的道理2：两边同时乘上或除以相同的数（0除外），左右两边仍然相等。（2）其中第二、四个图蕴含了解方程的思路即天平的左边只留下一种物体，在解方程时，最终目标是使方程左边只剩下未知数）。,40,方程的解和解方程的概念（1）利用前面天平平衡的素材直接给出现成的方程，因此不涉及到如何列方程。（2）利用已有知识，通过四种不同的方法求出未知数的值，其中一种方法就是后面要学到的一般的解方程的方法。再给出方程的解和解方程等概念。,41,解基本的方程,例1：（x+a=b）（1）情境相对简单，利用直观即很容易列出方程，因此重点不是列方程而是解程。（2）天平原理的直观演示与抽象:的方程解法相对应。（3）重点突出“为什么要减3”这一问题，目的是使方程一边只剩下未知数。（4）验算。就是前面所学的代入求值的过程。,42,例2（ax=b）（1）具体过程同例1。天平原理的直观演示与抽象的方程解法相对应。“除以几”要求学生根据直观图自行探索。（2）xa=b、xa=b这两种类型的解法要求学生利用所学知识进行迁移类推，不出专门例题，在“做一做”中出现。（3）方程的一般性方法、步骤也要求学生自行总结。,43,例3（列方程解决形如xa=b的问题）（1）结合现实情境“洪泽湖蒋坝水位超过警戒水位”。（2）先给出算术解法，但在用算术方法解答时实际已经把“今天水位超过警戒水位0.64米”转化成了“警戒水位比今天水位低0.64米”，就是所谓的逆思考。（3）列方程解决问题时由于未知数是参与运算的，所以第一步要把未知数设成一个“假设已知数”。（4）第二步，根据题目中信息的叙述方式，通过顺向思考列出数量关系。由于是刚接触方程，列出文字性的数量关系对于学生正确地列出方程是很重要的。（5）根据数量关系列出方程（此时数量关系中的每一部分都是作为“已知数”参与运算的），解方程和验算的过程在这儿不是重点，可让学生独立完成。,44,例4（列方程解决形如ax=b或xa=b的问题）（1）基本过程同例3，可更多地让学生自主探究，列方程的过程中要注意单位统一。第一步要把未知数设成一个“假设已知数”。第二步，根据题目中信息的叙述方式，通过顺向思考列出数量关系。根据数量关系列出方程。（2）渗透环保教育。,45,例1（列方程解决形如axb=c的问题）（1）结合现实素材引入，这种问题用算术方法解决思考起来比较麻烦。列方程解就显得较容易。重点是列方程，解方程。（2）可以列出不同的方程，如2x20=4，2x4=20，关键是使学生理解数量关系。（3）解方程的过程其实是由解若干基本方程构成的（y-20=4，2x=24），需要强调把2x看成一个整,46,例2（列方程解决形如axab=c的问题）（1）根据不同的思路列出不同的数量关系，进而列出不同的方程。2x2.8210.4，（2.8x）210.4（2）两个方程之间有内在的联系，从2x2.8210.4到（2.8x）210.4实际是运用了初中的“合并同类项”，而从后者到前者实际是“去括号”的过程。（3）在解法上第一种解法只是在例1的基础上多了一步，可自行解决。（4）第二种解法的重点,47,（列方程解形如axbx=c的问题）（1）此类问题称为“和差、和倍、差倍问题”，用算术方法解比较难。（2）有两个未知数，但是两个未知数之间存在和差关系或倍数关系，因此其中一个未知数可以用另一个未知数的形式来表示，所以用方程解就显得比较简单。（3）重点是设谁是x，一般为了解方程方便，设倍数关系中的单位量为x。当然，也可任意设，只是解答起来比较困难。教学时，可能有学生海洋面积为x亿平方千米，列出的方程是xx2.45.1，只是解方程的方法超出学生的接受范围，教师适当引导即可。（4）解方程的过程就是一个乘法分配律进行合并同类项的过程。（5）求海洋面积时可以根据不同的数量关系用不同的方法求（地球总面积陆地面积、陆地面积的2.4倍,48,新课标教材对于解方程这部分内容与原教材相比有以下改进：,（1）用字母表示数的教材编排更贴近学生的认知特点,（2）以等式的基本性质为基础，而不是依据逆运算关系解方程。,（3）调整简易方程的内容，突显利用等式基本性质解方程的优势。,（4）解方程与解决实际问题的教学有机整合。,49,二、六年级上册比的认识内容的分析,比的认识和应用安排在六年级上册第三单元分数除法的最后一节学习,50,传统的算术教材在讲比的意义时，只强调比的一种情况，即两个同类量的倍数关系。,现在的小学数学教材，既讲同类量的比，又讲不同类量的比（必须相关联）。,51,比的读、写及比的各部分名称，并计算出其中一个比的比值，说明“比值通常用分数表示”。然后根据分数与除法的关系，说明比也可以写成分数形式。最后，由小精灵提出问题，引导学生联系比与除法、分数的关系，同时思考比的后项可不可以为0。,由同类量的比和不同类量的比概括出比的意义,52,在比较两个量的关系时，可以把除法、比、分数看作是形式的不同，它们可以互相转化。比的基本性质可由商不变的性质和分数的基本性质导出。,53,比的基本性质的应用教学化简比：1.简化整数比,题目已知两面旗的长和宽，要求这两面旗长和宽的最简单的整数比。这里的两个答案相同，渗透了两面旗按比例缩小的相似变换思想，同时也便于学生感悟化简的必要性，即能使数量关系更加简单明了。选取这一素材，既有思想性、趣味性，且数据真实，又有数学内涵。,2.化简分数、小数比,54,比的应用,两个内容:比例尺和按比例分配,例2，以清洁剂浓缩液的稀释为例，提出问题，引导学生把一个数量按照已知的比分成两部分。,介绍了两种解法。一种是先求出每份是多少，再求几份是多少。即转化为整数的除法、乘法来解决。另一种是把比转化成每种成份占总数的几分之几，变成求一数的几分之几是多少，用分数乘法来解决。,教学时:1.注意相关知识的复习。充分利用学生原有的知识基础，学习新内容。2.让学生感悟相关知识的联系和区别.,55,三、六年级下册比例教学内容的分析,1.比例的意义和基本性质2.正比例和反比例的意义，3.比例的应用三部分内容,56,比例是小学数学的数与代数的最后一个知识点，是前面学习的一个综合应用，是数与计算的发展。同时又是进一步学习中学数学、物理、化学的知识基础。,比例是在比的知识基础上并结合一些常见的数量关系学习的。到了中学学生就要学习正比例函数、反比例函数等知识。,本单元教学的一个重点是：对学生渗透函数思想，进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。,57,比例的意义和基本性质,比例的意义,比例的基本性质,解比例,正比例和反比例的意义,成正比例的量,成反比例的量,比例的应用,比例尺,图形的放大与缩小,用比例解决问题,教学内容及知识间的联系,58,教材前后知识间的联系,小学（三六年级）,已有知识,新授知识,后续知识,1、比的知识2、常见的数量关系,1、比例2、正比例、反比例3、比例尺4、图形的放大与缩小5、用比例解决问题,1、正、反比例函数2、相似图形3、解决问题,小学（六年级下册）,中学,循序渐进、螺旋上升,（承上启下）,59,4了解比例尺，会求平面图的比例尺以及根据比例尺求图上距离或实际距离。5认识放大与缩小现象。,3认识正比例关系的图像，能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画出图像，会根据其中一个量在图像中找出或估计出另一个量的值。,单元教学目标,知识与能力,1、能利用方格纸等形式按一定的比例将简单图形放大或缩小，体会图形的相似。2、通过观察、比较、判断、归纳等方法，建立明晰的概念，把握概念的内涵。3、能找出生活中成正比例和成反比例量的实例.4、学会用转化的方法解比例。,情感、态度、价值观,过程与方法,1理解比例的意义和基本性质，会解比例。2理解正比例和反比例的意义，能运用比例知识解决简单的实际问题。,1、渗透函数思想，使学生受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。2、养成检验的良好习惯。,60,教学重点,教学难点,1、会解比例。2能正确判断正比例和反比例，并能运用正、反比例的知识列出算式。,1、理解比例的意义和基本性质，会解比例。2会判断正比例和反比例，能运用正、反比例的知识解决简单的实际问题。3、会根据比例尺求图上距离和实际距离。,1、理解比例的意义和基本性质。2能正确判断正比例和反比例，并能运用正、反比例的知识解决简单的实际问题。,1、理解比例的意义和基本性质，会解比例。2会判断正比例和反比例，能运用正、反比例的知识解决简单的实际问题。3、会根据比例尺求图上距离和实际距离。,61,在比例的意义和基本性质中涵盖三部分知识：(1).比例的意义：表示两个比相等的式子,通过比值是否相等判断是否组成比例。(2).比例的基本性质：在比例里两个外项的积等于两个内项的积。(3).解比例：其解比例的方法就是把比例转化成方程。,62,2、成正比例和反比例的量：在成正反比例的意义中涵盖成正比例的量和成反比例的量两部分（1）正比例的意义：首先是两种相关联的量，当这两种相关联的量的比值一定，也理解为商一定时，可以用字母y:x=k(一定)表示，我们就说y和x成正比例关系（2）反比例的意义：同样是两种相关联的量，这两种相关联的量的乘积一定，可以用字母xy=k(一定)表示，我们就说x和y成反比例关系。,63,3、比例的应用在比例的应用中涵盖：认识比例尺、图形的放大与缩小、用比例解决问题三部分。认识数值比例尺和线段比例尺；会求比例尺，能根据比例尺求图上距离或实际距离；应用比例尺画图；掌握图形的放大与缩小的方法；知道按照一定比例放大缩小后，图形的形状相同，大小不同；用正反比例的意义解决问题，以及实际应用自行车里的数学,64,4.比和比例知识的逻辑线索：比和比例这部分知识教材分别放在六年级的两个学期中，比例的知识生长点就是比，教材按照这样一条线索来编排，学生首先理解除法的意义，然后学习分数，包括分数的意义与基本性质，分数与除法的关系，分数乘除法的计算方法等知识，再次基础上来认识比，研究比的意义和比的基本性质。教材把比的最基础知识提前安排在六年级上册第三单元分数除法这个单元中教学，体现着比与分数有密切的联系。单元的知识呈现由概念到方法技能的递进关系。教科书按照知识的逻辑顺序来编排，既有利于教师的教，有利于学生的学。,65,5.教学建议1.重视基本概念的教学。比例、正比例、反比例是本单元学习的几个基本概念，十分重要。学习比例的相关知识以及比例的应用都有赖于对这些概念的理解和掌握。如解答含正反比例关系的实际问题，首先要对两个量成何比例做出判断，然后依据正比例或反比例数量关系的特点解答教学中要通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念的理解和掌握。,66,2提高学生综合运用知识的能力。本单元的知识综合性比较强。所以学习中既要注意新旧知识的联系，又要注意发展学生综合运用知识的能力。教材的编写也注意体现知识的综合应用，例如比例尺的一些练习，不仅限于计算图上距离和实际距离，而且涉及到测量、图形、方向与位置的知识以及根据实际设计比例尺。,67,教学策略,1、创设与实际生活紧密联系且学生熟悉的情景。便于学生在情景中体验、感知、理解知识，同时又能在情景中灵活运用知识。如：比例的意义、解比例、图形的放大或缩小等。2、重视基本概念的教学。特别是比例、正比例、反比例几个基本概念，教学中通过观察、比较、判断、归纳等方法帮助学生建立明晰的概念，把握概念的内涵。同时通过应用，不断加深对这些概念的理解和掌握。3、提高学生综合运用知识的能力。例如解比例用到方程的相关知识：比例尺的练习，不仅限于计算图上距离和实际距离，而且涉及到测量、图形、方向与位置的知识以及根据实际设计比例尺。4、加强新旧知识的联系，找准连接点，让旧知为新知服务。例如用比例解决实际问题，要用到正、反比例的关系;解比例用到方程的相关知识。,68,代数的初步知识教学中的困惑,1.“简易方程”教学中的问题,（1）代入公式求值计算的结果要不要求写上单位名称？代入公式求值计算的结果原义务教材不要求写单位名称，现课标教材要求写单位名称。这种改变的原因一是为了与中学统一，二是考虑到代入公式求值的结果应与以前学习的直接列式计算的结果统一。另外代入求值，课标教材先写出公式是为了便于学生更好的记忆和应用（事实上，如果没有明确要求，可以不写出公式，用已知数据直接写出算式）。,69,（2）“等式的性质”的教学：是否需要归纳出等式的性质1和性质2？,以往的教材是利用四则运算各部分间的关系来解方程，现在课程标准要求“会用等式的性质解简单的方程”。为了减轻学生的记忆负担，课标教材